21:40 

Площадь

wpoms.
Step by step ...


Длины сторон треугольника не превышают `2`, `3` и `4`, соответственно. Определите, с доказательством, максимально возможную площадь треугольника.



@темы: Планиметрия

Комментарии
2015-09-25 в 07:26 

Максимально возможная площадь реализуется на треугольнике со сторонами 2, 3, 4 (существование которого следует из критерия неравенства треугольника). Его площадь можно найти по формуле Герона. Любой другой треугольник, стороны которого удовлетворяют условию задачи, помещается внутри указанного. Следовательно его площадь не превосходит максимальной найденной.

URL
2015-09-25 в 12:20 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Гость, Любой другой треугольник, стороны которого удовлетворяют условию задачи, помещается внутри указанного.
Это неверное утверждение.
Представьте, что вы уменьшаете только сторону длины 4. Тогда высота, опущенная к этой стороне увеличится и вершина нового треугольника окажется выше, чем была.
Пример с равнобедренным треугольником, площадь которого возрастает при уменьшении основания от значения `a+2b` до значения `a` (остальные стороны остаются неизменными):

2015-09-25 в 13:48 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Дилетант, ...

2015-09-25 в 14:17 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
2015-09-26 в 14:34 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Если смотреть на формулу площади `S = {a*b*sin(phi)}/2`, то понятно, что надо выбирать длины и синус по максимуму...
Возможно надо рассмотреть все пары сторон максимальной длины и посмотреть на максимизацию синуса...
До конца этого не проделал, но в качестве гипотезы - максимум площади у прямоугольного треугольника со сторонами 2 и 3 ...

2015-09-26 в 15:26 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
До конца этого не проделал, но в качестве гипотезы - максимум площади у прямоугольного треугольника со сторонами 2 и 3 ...
Да, я тоже голосую за это решение ))
Интуитивно кажется, что это оно. Главное, доказать, что площадь увеличивается при увеличении любого синуса. Тогда остальное очевидно (так мне кажется).

2015-09-26 в 17:01 

sexstant
Посчитал численно. Получился треугольник со сторонами 2, 3 и 3.60 и площадью 2.985 :)

2015-09-26 в 19:14 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
sexstant, надо же! Всё-таки угол слегка меньше прямого :upset:

2015-09-26 в 19:16 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
А почему?
Ведь если угол прямой, то площадь будет 3?
Или я не туда?

2015-09-26 в 20:34 

sexstant
Дилетант у вас все правильно. Это у меня точность была маловата. Я ее увеличил и получилась площадь=3.000
Я рассмотрел площади таких треугольников: 1<=a<=2, 2<=b<=3< 3<=c<=4 с шагом 0,005.

Кстати, если положить a=2, b=3 и исследовать на экстремум формулу Герона, то легко получить максимум S=3 при c=sqrt(13). А это и есть прямой угол :)
S^2=-(c^2-1)*(c^2-25)/16

2015-09-26 в 21:31 

sexstant
Задача решается с помощью формулы Герона.
1. Пусть a=2-x, b=3-y
2. Тогда Smax^2=13-(4*x*y+3*x+7*y)/2
3. То есть Smax^2<=13
Что и требовалось :)

2015-09-26 в 21:33 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
sexstant, ух ты, какая красота!
:red:

2015-09-26 в 23:22 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
sexstant, То есть Smax^2<=13 - хм... что-то я недопонял... :upset: ... какая-то оценка сверху у Вас великовата ... :upset:

2015-09-27 в 00:50 

sexstant
Да. Поторопился :(. Это оценка не площади, а третей стороны, что не есть решение данной задачи.
Но все же.
1. Пусть `a=2-x, b=3-y`
2. Тогда по формуле Герона: `S^2=-((5-x-y)^2-c^2)*((1+x-y)^2-c^2)/16`
Это квадратный трехчлен от `c^2`. Максимум в вершине перевернутой параболы в точке `c_0^2=((5-x-y)^2+(1+x-y)^2)/2` а сам максимум `S_max=3-(2*x+3*y-x*y)/2`=3-p`
Легко показать, что `p>=0`:`3*y-x*y=y*(3-x)>=0` так как ` 0<=x<=2`

Окончательно получаем оценку `S_max<=3`

2015-09-27 в 17:02 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
sexstant, да, это рассуждение построже, чем рассуждения в моём комментарии...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная