10:35 

Ряды. Помогите пожалуйста.

`sum_(n=1)^(infty) (n/(2n+1))^(n^3)`

Н.п. `lim_(n -> infty) a_n = lim_(n -> infty) (n/(2n+1))^(n^3)=lim_(n -> infty) (1/2)^(n^3)=0`

Р.п.К `lim_(n -> infty) root(n)(a_n)= lim_(n -> infty) root(n)(n/(2n+1))^(n^3)= lim_(n -> infty) (n/(2n+1))^((n^3)/n)=`
`lim_(n -> infty) (n/(2n+1))^(n^2)=lim_(n -> infty) (1/2)^(n^2)`

А что делать дальше? Подскажите... Ведь мне нужно получить конечное число, а что-то не выходит. Мысль такая, можно ли для `lim_(n -> infty) (n/(2n+1))^(n^2)` еще два раза применить Радикальный признак Коши? Или я узко мыслю? Помогите пожалуйста :(


Можно задать вам еще вопрос?
`sum_(n=2)^(infty) (ln(5n))/n` и `sum_(n=1)^(infty) 1/( n*ln^2 n )` можно решить каким-нибудь признаком кроме интегрального?
преподаватель дал нам только три признака необходимый, сравнения и радикальный признак коши, это что касается знакоположительных рядов. и сказал решать тем, что есть.

@темы: Ряды

Комментарии
2015-09-23 в 11:49 

Белый и пушистый (иногда)
ПО признаку Коши предел посчитайте, получится число.

2015-09-23 в 12:36 

VEk,
РПК `lim_(n -> infty) root(n)(a_n)= lim_(n -> infty) root(n)(n/(2n+1))^(n^3)= lim_(n -> infty) (n/(2n+1))^((n^3)/n)=`
`lim_(n -> infty) (n/(2n+1))^(n^2)=(infty/infty)^infty`

`lim_(n -> infty) (n/(2n+1))^(n^2)=lim_(n -> infty) ((n/n)/(((2n)/n)+(1/n)))^(n^2)= lim_(n -> infty) (1/2)^(n^2)=0 < 1` , сход-я. ? Ну или я не понимаю что вы хотели сказать...

2015-09-23 в 13:34 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
shkolnik, еще два раза применить Радикальный признак Коши? Или я узко мыслю?
Вы слишком широко мыслите. :)
"Признак" нельзя применить еще два раза.
Признак — это достаточное условие для выполнения чего-то.
Признак Коши говорит нам, что если предел `root(n)(a_n)<1`, то такой ряд сходится.
Вы нашли предел. Оценили его...
В чем сомнения?

2015-09-23 в 13:40 

Дилетант, Я не знаю парвильно ли нашел и оценил предел, может я что-то не так сделал, вот и хотелось бы услшыать от людей, которые явно знают больше меня. Так сказать, чтобы проверили).

2015-09-23 в 14:38 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
shkolnik, предел нашли правильно. Плохо, что вы в этом не уверены...

2015-09-23 в 14:48 

Дилетант, Извините за мою неуверенность...

Можно задать вам еще вопрос?

`sum_(n=2)^(infty) (ln(5n))/n` и `sum_(n=1)^(infty) 1/(n(ln^2)n)` можно решить каким-нибудь признаком кроме интегрального? преподаватель дал нам только три признака необходимый, сравнения и родикальный признак коши, это что касается знакоположительных рядов. и сказал решать тем, что есть.

2015-09-23 в 15:12 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
shkolnik, не нужно извиняться))
Неуверенность изживается большим количеством практики.

Первый из двух рядов — типичный признак сравнения. Попробуйте сравнить с чем-нибудь, вам известным.
А второй — даже не знаю, как справиться вашим набором признаков...

2015-09-23 в 15:54 

Белый и пушистый (иногда)
Последний пример- все-таки интегральный признак. Из приведенного набора необходимый, сравнения и родикальный ничего не подойдет.

2015-09-23 в 15:58 

VEk, Спасибо большое!

2015-09-23 в 16:37 

VEk, Извните, вынужден к вам снова обратится. Это касается тех двух рядов о которых я упамянул.
Вы сказали, что первый пример можно решить сравнением.
Вы имели ввиду что-то похожее на это?

`sum_(n=2)^(infty) (ln5n)/n`
Н.п. `lim_(n -> infty) a_n = lim_(n -> infty) (ln5n)/n=0`

Ср. `sum_(n=2)^(infty) b_n=1/n`

`lim_(n -> infty) (a_n)/(b_n)= lim_(n -> infty) ((ln5n)/n)/(1/n)=lim_(n -> infty) ln5n` К слову у меня не получается... Т.е что-то получается `infty`, но это не то что нужно, либо я делаю неправильно, либо не до конца сделал...

Или вы имели ввиду сравнение с подбором. Допустим к `sum_(n=2)^(infty) (ln5n)/n` я выберу такой ряд как `sum_(n=2)^(infty) b_n=1/n` расходится и проведу подбор `n=(1, 2, 3, ...)` и сделаю вывод.

Если `n=2`, то `ln5 > 1/2`
Если `n=3`, то `ln5 > 1/3`
Если `n=4`, то `ln5 > 1/4`

Таким образом, для всех членов ряда выполнено неравенсво `(ln5n)/n > 1/n` , по признаку сравнения исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим.

2015-09-23 в 16:51 

Белый и пушистый (иногда)
То,что Вы назвали подбором, делается так: `ln(5n)>=ln(5)` при `n >= 1`, `ln5 > ln e=1`, поэтому `(ln(5n))/n > 1/n`.

2015-09-23 в 16:56 

VEk, Вот как... На практике ни разу не привелось делать подобное... А сравнением это решить нельзя? Ну вот то что я пытался сделать в первом случае...

2015-09-23 в 17:02 

VEk, Вот как... На практике ни разу не привелось делать подобное... А сравнением это решить нельзя? Ну вот то что я пытался сделать в первом случае...

2015-09-23 в 17:02 

Белый и пушистый (иногда)
А сравнением это решить нельзя?
Если Вы имели ввиду вычисление предела, котрой свелся к `lim ln(5n)`, то можно. Этот предел бесконечен, и так как ряд для сравнения расходится, то и данный ряд расходится.

2015-09-23 в 17:24 

VEk, а разве бесконечность должа получатся? вроде как же конечно число долнжо получиться... и тогда мы будем гворить о том, что наш ряд `ln5/n` расходится также как и
`sum_(n=2)^(infty) b_n=1/n`

т.е при отношениия `lim_(n -> infty) (a_n)/(b_n)` не должна получается `infty` и `0` ?

2015-09-23 в 17:30 

Белый и пушистый (иногда)
а разве бесконечность должа получатся? вроде как же конечно число долнжо получиться...
Может получиться и конечное число и бесконечность и 0.
Если ряд, выбранный для сравнения, расходится то получения предела `>= 1` говорит о расходимости сравнивваемого ряда.
Если ряд, выбранный для сравнения, сходится, то получение предела `<=1` говорит о сходимости сравниваемого ряда.

2015-09-23 в 17:36 

VEk, Извините, не знал этого... Нам сказали, что в сравнении всегда должно полчится конечно число, если оно есть, то сравнимаемый ряд сход или расходит также как и выбранный...

2015-09-23 в 17:39 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Немного с запозданием. но всё равно напишу про начальный ряд...

`n/{2*n + 1} < n/{2*n} = 1/2 \ => \ (n/(2n+1))^{n^3} < (1/2)^{n^3}` откуда в силу того, что основание меньше единицы получаем, что `(1/2)^{n^3} < (1/2)^n` ... итого, ряд оценивается сходящейся суммой геометрической прогрессии...

2015-09-23 в 17:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
shkolnik, Извините, не знал этого...

Начальный признак сравнения имеет вид следующий ..." Пусть `0 <= a_n <= b_n`, тогда: 1) если `sum a_n` расходится, то `sum b_n` тоже расходится; 2) если `sum b_n` сходится, то `sum a_n` тоже сходится."

Нетрудно понять, что для положительных последовательностей из условия `lim {a_n}/{b_n} = 0` или `infty` следует, что `a_n <= b_n` или `a_n >= b_n` соответственно... а дальше ссылаемся на указанный признак сравнения...

2015-09-23 в 17:49 

All_ex, Огромное спасибо! Благодаря вам я извлек для себя много нового!

2015-09-23 в 17:50 

VEk, Спасибо большое за ваше время и вашу помощь!

2015-09-23 в 17:53 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
shkolnik, welcome от всех ...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная