17:07 

Полные квадраты

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа `n`, для которых `12n -119` и `75n - 539` являются полными квадратами.



@темы: Теория чисел

Комментарии
2015-09-22 в 21:28 

У меня получилось единственное такое n равное 20.

2015-09-22 в 21:44 

wpoms.
Step by step ...
beubeff, ...

2015-09-23 в 11:33 

Обозначим 12n-119 = a^2
и 75n-539 = b^2
Для простоты целые a и b полагаем неотрицательными: a>=0 и b >=0
Вычитаем из второго числа, умноженного на 4, первое число, умноженное на 25, чтобы члены с n взаимно уничтожились.
В левой части остается число 819 = 3*3*7*13. А в правой части остается разность квадратов 4*b^2-25*a^2. Раскладываем ее на множители.

Перебираем 6 вариантов представления 819 в виде произведения целых (остальные варианты, как легко можно показать, можно не рассматривать в силу того, что (2b-5a)*(2b+5a) =819 > 0 и 2b+5a >=0 при a >= 0 и b >= 0. Отсюда имеем: 0 < 2b-5a <= 2b+5a):
1*819,
3*273,
7*117,
9*91,
13*63,
21*39.

Лишь для разложения 7*117 система уравнений
2b-5a=7
и 2b+5a=117
и 12n-119 = a^2
и 75n-539 = b^2
совместима и имеет целочисленное решение: a=11, b=31, n=20
Ответ. Условие задачи выполняется при единственном n=20.

2015-09-23 в 17:29 

beubeff, спасибо

URL
     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная