13:03 

Задания из ЗФТШ

Добрый день!
Прошу подкинуть идеи к решению следующих 2 задач:

1) Решить систему:
`{(x+3y+14<=0),(x^4+2x^2y^2+y^4+64-20x^2-20y^2=8xy):}`
Конечно хочется свернуть первые три слагаемых в полный квадрат, но потом не получается сделать какие-либо преобразования.
Насколько понимаю, идея в том, чтобы преобразовать второе равенство и получить две окружности, а первое неравенство задает прямую, касающуюся окружность в единственной точке - и вот оно решение. Но как его найти не понимаю.

2) При каких целых значениях параметра k система неравенств имеет хотя бы одно решение:
`{(x^2+y^2-2x+4y<=k^2+10k+20),(5x^2+5y^2-2kx+4ky<=5-k^2):}`
Преобразовал первое неравенство, получил `(x-1)^2+(y+2)^2<=(k+5)^2`, т.е. это область внутри окружности с центром (1; -2) и радиусом `abs(k+5)`
Из второго пробовал вычитать первое, но дальше не получается.

Заранее спасибо!

@темы: Системы НЕлинейных уравнений, Задачи с параметром

Комментарии
2015-08-23 в 13:33 

Белый и пушистый (иногда)
№2. Второе уравнение системы также хорошо сворачивается в уравнение окружности с плавающим центром `(k/5, -2k/5)`.

2015-08-23 в 14:44 

В первом, неравенство задаёт полуплоскость. Для разложения на множители можно использовать метод неопределённых коэффициентов.

URL
2015-08-23 в 16:07 

Гость, а как использовать этот метод? В школе изучали лишь разложение дробей этим методом

2015-08-23 в 16:11 

VEk, да точно спасибо

2015-08-23 в 16:19 

Белый и пушистый (иногда)
Задайте разложение в виде `(x^2+ay^2+bx+cy+d)(x^2+ey^2+fx+gy+h)=0`, получите систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Надо подобрать какое- либо ее решение.

2015-08-23 в 18:28 

К задаче 1
После преобразование получаем следующее:
`{((x-1)^2+(y+2)^2<=(k-5)^2),((x-k/5)^2+(y+(2k)/5)^2<=1):}`
Для того чтобы было хотя бы одно решение, нужно чтобы сумма радиусов была больше или равна расстоянию от центров окружностей.
Получаю неравенство:
`1+abs(k+5)>=sqrt((1-k/5)^2+(2+(2k)/5)^2)`
Но решая его, получаю бесконечно много целых решений.
Что я делаю не так?

2015-08-23 в 19:05 

Нашел ошибку, буду пробовать заново :)

2015-08-23 в 19:24 

Нет, к сожалению не получилось.
Надеюсь, кто-нибудь подскажет что все-таки сделать со вторым номером

2015-08-24 в 00:57 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
zodiyelite, Но решая его, получаю бесконечно много целых решений.
А почему такого не может быть?... :upset:

Посмотрите на геометрию задачи... центр единичной окружности в зависимости от параметра движется по прямой ... центр второй окружности лежит на этой прямой, но у неё меняется радиус...
Там всё достаточно наглядно... хотя и аналитически всё красиво вычисляется (в правой части неравенства хорошо извлекается корень) ...

2015-08-24 в 12:32 

All_ex, ну задание - указать целые k, при которых есть решения, думаю, что их какое-то ограниченное количество
А что сделать с первым номером не подскажите? Метод неопределенных коэффициентов не помог....

2015-08-24 в 14:15 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
думаю, что их какое-то ограниченное количество - думать это хорошо... но получается, что Вы вообще не верите в своё решение... :upset:

ну задание - указать целые k, - Как я понимаю, тут получаются все целые числа в решении .... :nope:

2015-08-24 в 14:55 

Белый и пушистый (иногда)
что сделать с первым номером не подскажите?
Листочек с разложением я уже выбросил. Но помню уравнение одной из окружностей `(x-1)^2+(y-1)^2=10`. Если все раскрыть, получится один из многочленов в разложении.

2015-08-24 в 16:25 

VEk, да, судя по wolframalpha, получаются две окружности радиуса корень из 10.
Попробую вечером еще раз сделать, как вы говорили

2015-08-24 в 17:42 

Белый и пушистый (иногда)
Так и есть.

2015-09-23 в 20:58 

У меня получилось так k= -10-n и k = -3+n где n - любое натуральное число.

URL
2015-09-24 в 21:28 

нет, я ошибся. Там другой ответ будет. Но мне лень его писать)

URL
     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная