13:58 

Жорданова форма матрицы

IWannaBeTheVeryBest
Такое ощущение у меня, что я вроде как знаю теорию, а вроде и нет...
Найти Жорданову форму матрицы
$A = \left(\begin{array}{c c c}-13/4 & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & -11/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right)$
Находим детерминант матрицы
$A = \left(\begin{array}{c c c}-13/4 - \lambda & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & -11/4 - \lambda & 1/2 \\ 0 & 0 & -3 - \lambda \end{array}\right)$
И приравниваем его к 0. Находим корни. Уже посчитал. `\lambda = -3` (кр.3)
Дальше подставляем это значение в матрицу и расширяем ее нулями. Ну просто мы же по идее подставляем это значение в характеристическое уравнение.
Как расширять тут матрицу я не знаю. Ну можно пока обойтись. Получится матрица
$A = \left(\begin{array}{c c c}-1/4 & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Она же
$A = \left(\begin{array}{c c c}-1/4 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Находим вектор.
`x_2 = C_2`, `x_3 = C_3` (индексы те же поставил, чтобы не запутаться)
`x_1 = C_2 + 2C_3`
Вектор можно такой построить
`\xi_1 = C_2(1, 1, 0)^T + C_3(2, 0, 1)^T`
Теперь нахожу присоединенный. То есть, как я понимаю, в расширении матрицы теперь должен стоять какой-то из этих двух векторов, предположим первый. Просто второй сомнительно туда ставить.
У матрицы также останется только верхняя строчка, только расширенная единицей. Добавится новый вектор
`\xi_3 = (-4, 0, 0)^T`
Где я ошибся? Из этих же векторов составляется матрица, скажем, S, благодаря которой получается Жорданова форма
`J = S^(-1)AS`

@темы: Матрицы, Линейная алгебра

Комментарии
2015-08-02 в 15:15 

IWannaBeTheVeryBest, не забывайте ставить @Тему при создании топика

URL
2015-08-02 в 15:22 

IWannaBeTheVeryBest
Гость, ага)) Забыл опять

2015-08-02 в 20:21 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Дальше подставляем это значение в матрицу и расширяем ее нулями - :upset: ... не знаю такой терминологии...

Получится матрица - нет... тут у Вас `A - 3*E` ...

Она же - совсем не она ... это уже преобразованная ...

То есть, как я понимаю, в расширении матрицы теперь должен стоять какой-то из этих двух векторов, предположим первый. собственных векторов, соответствующих этому собственному числу .... То есть там стоит линейная комбинация найденных собственных векторов, которая описывает любой такой вектор ...
(Хотя у Вас получится, что присоединённый будет как раз к первому... тут размеры матрицы небольшие, поэтому все достаточно просто увидеть... Правда, Вы удачные векторы выбрали :) ... ) ...

Где я ошибся? - я в чём сомнение? ...

2015-08-02 в 20:31 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Под расширяем нулями я имел ввиду расширенную матрицу. Ну матрица 3х3, вертикальная черта и столбец нулей. Потом вместо столбца с нулями поставить какой-то вектор.
Хорошо. Получится матрица - нет... тут у Вас
Так у меня там и записана матрица `A - 3*E`. Просто я ее сразу преобразовал.
То есть, как я понимаю, в расширении матрицы теперь должен стоять какой-то из этих двух векторов, предположим первый. собственных векторов, соответствующих этому собственному числу .... То есть там стоит линейная комбинация найденных собственных векторов, которая описывает любой такой вектор
Ну вообще вот я выбрал такой вектор и получил в результате еще один, `\xi_3` который. Сомнение в том 3-ий он уже или второй все же. Ведь я то думаю, что матрица S примет вид
$S = \left(\begin{array}{c c c}1 & 2 & -4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$

2015-08-02 в 20:53 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Так у меня там и записана матрица `A - 3*E`.
Вы её вычислили... но обозначили просто `A` ... к этому и была претензия...

Просто я ее сразу преобразовал. - это Вы про матрицу с двумя нулевыми строками.... это другая матрица, по которой удобно выписывать собственные векторы...

Сомнение в том 3-ий он уже или второй все же.
Жорданова форма определяется неоднозначно, а с точностью до расстановки жордановых клеток... присоединённые векторы стоят за соответствующим собственным вектором... а как Вы клетки расставите, так векторы в матрице перехода и будут стоять...

2015-08-02 в 21:10 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Дело в том, что такая матрица неверная. При подстановке ее в формулу собственные числа, в матрице J, действительно стоят на диагонали, а во единица стоит не над собственными числами, а в углу на месте {1, 3} в матрице 3x3. Поэтому как-то это странно все. Я знаю собственно какая жорданова форма будет. Там будут на диагонали -3 и над ними всеми будут единицы. Но мне надо именно таким способом найти жорданову форму. Можно конечно схитрить. Зная исходную жорданову форму можно найти и матрицу преобразования, но этот способ сомнительный, если заранее неизвестно какая форма будет в итоге.

2015-08-03 в 00:15 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Всеее. Вспомнил. Я тупанул немного. В матрице преобразования присоединенный вектор пишется сразу после собственного. 2 и 3 столбец надо местами поменять. Также я ошибочно предполагал, что если в многочлене степени 3 вылезает одно собственное число кратности 3, то обязательно над всей диагональю будут стоять единицы. Оказалось, что я тут нашел только один присоединенный и поэтому единица одна. Так что все в порядке. Спасибо что помогаете)) Даже летом))

2015-08-03 в 11:42 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
В матрице преобразования присоединенный вектор пишется сразу после собственного. - ну, я про это и писал ...

Оказалось, что я тут нашел только один присоединенный и поэтому единица одна - про то, что у Вас две жордановых клетки я намекнул, но не успел раскрыть мысль... :nope: .. выгнали из-за компьютера ... :) ...

Спасибо что помогаете)) Даже летом)) - welcome ... спасибо, что учитесь (даже летом) ... :)

2015-08-03 в 12:00 

IWannaBeTheVeryBest
ну, я про это и писал ... Дада, точно)) Просто я захотел расписать полностью свои мысли)) Кстати, не подскажете какая здесь т.н. полная кратность?
Алгебраическая 3, Спектральная или геометрическая... ну вроде как 2. Где-то читал, что это количество Жордановых клеток.

2015-08-03 в 13:14 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
не подскажете какая здесь т.н. полная кратность?
:upset: ... такой терминологии уже не помню... покопался в сети... похоже, что это алгебраическая кратность, но введённая по другому (в более общем виде что ли... :upset: ) ...

2015-08-03 в 13:15 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Если дадите Ваши определения, то можно будет дать более точный ответ ...

2015-08-03 в 13:29 

IWannaBeTheVeryBest
All_ex, Тут например. Только я чето все-равно не понял
neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80...
Кстати универ, в котором я учусь )))

2015-08-03 в 15:02 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Хм... ну, судя по этим определениям (если смотреть на дополнительные определения... NB - Note Bene ...) ... то:
Алгебраическая кратность равна 2... геометрическая - равна 2... полная - равна 3...

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная