23:19 

Дифференциальная геометрия

Добрый день, очень нужна ваша помощь,
Задание: Найти уравнение параболы y=x^2+ax+b, касающейся окружности x^2+y^2=2 в точке M(1,1).
Начало моего решения :
Выпишем условия касания 0,1,2 - порядка:
Для этого подставим в уравнение окружности значение y:
0) x^2+(x^2+a*x+b)^2=2
(x^2)+(x^4)+2*a*(x^3)+(a^2)*(x^2)+2*(x^2)b+2*a*x*b+(b^2).
Найдем первую производную: 1) 2*x+4(x^3)+6*a*(x^2)+2*(a^2)*x+4*b*x+2*a*b=0
Найдем вторую производную: 2) x+12*(x^2)-12*a*x+2*(a^2)+4*b=0
Далее мы подставляем координату точки M(1,1), НО тут возникает вопрос: Зачем нам дана целая точка, если мы пользуемся только точкой x?
Сразу понятно, что задание выполнено неверно, но что не так? Где ошибка? Подскажите, буду очень благодарна!
запись создана: 03.03.2015 в 16:59

@темы: Аналитическая геометрия, Касательная, Линии в полярной системе координат, Линии второго порядка, Образование, Производная

Комментарии
2015-03-03 в 18:22 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Ваша парабола имеет два параметра... значит, надо два уравнения - условия касания 0 и 1 порядка... (то есть обе линии имеют общую касательную) ...

Все условия касания - это сравнение функции и её производных в данной точке... а то, что у Вас написано выглядит очень странно... :upset:

2015-03-03 в 18:30 

Значит, мы находим только одну производную?
То есть все, что идет после первой производной неправильно?
Я вообще правильно подставила в уравнение окружности?
Так нужно было делать?

2015-03-03 в 18:56 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Я вообще правильно подставила в уравнение окружности? - в неё вообще не надо подставлять...

Условие касания 0-го порядка - линии проходят через одну точку... формально надо писать уравнение (систему уравнений)...
НО Вам точка дана... посему надо просто убедиться, что парабола проходит через точку `(1; 1)`...

Условие касания 1-го порядка - в точке функции имеют одинаковые производные в данной точке...
Для окружности уравнение касательной выписывается очевидным образом (если лень считать производную) ... и сравниваете с производной от параболы...

Вот Вам система из двух уравнений...

2015-03-03 в 19:23 

Значит, в первом случае я должна подставить в уравнение параболы координаты точки, а в касании 1-го порядка нужно найти производную окружности, производную параболы и приравнять?

2015-03-03 в 19:42 

В общем, получилось вот: y=x^2+a*x+b => a+b+1-1=0 => b=-a => y=x^2+a*x-a, далее нахожу производную y'=2*x+a

2015-03-03 в 19:50 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Значит, в первом случае я должна подставить в уравнение параболы координаты точки, - да ...

а в касании 1-го порядка нужно найти производную окружности, производную параболы и приравнять? - да ...

2015-03-03 в 20:33 

Но так не получается :(. У меня а=2, а в ответе а=1...

2015-03-03 в 20:46 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Уж не знаю как у Вас получился такой ответ... но а=2 И а=1 не удовлетворяют условию задачи... в этом случае вершина параболы будет иметь отрицательную абсциссу ... а, следовательно, данная касательная к окружности будет пересекать параболу...
Нарисуйте картинку и всё увидите сами...

У меня получилось `a = -3`...

2015-03-03 в 20:57 

не могу найти производную от этого уравнения ... (x^2)+(y^2)=2, поэтому так и получается...

2015-03-03 в 21:00 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Продифференцируйте его по `x`, помня, что `y` есть функция от икса... потом подставьте данную точку...
Или выразите `y` через `x`... а затем найдите производную...
Или напишите уравнение касательной, используя геометрические соображения...

2015-03-03 в 21:12 

F по x = 2*x, F от 1 = 2, так? Дальше приравниваем к производной параболы?

2015-03-03 в 21:16 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
F по x = 2*x, F от 1 = 2, так? - нет... забыли, что `y` есть функция от икса...

2015-03-03 в 21:22 

Значит, по y дифференцируем?

2015-03-03 в 21:25 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Нет... уравнение окружности задаёт неявную функцию`y(x)`... то есть уравнение имеет вид `x^2 + [y(x)]^2 = 2` ...

Но, если Вы никогда не сталкивались с неявными функциями, то может выберите второй вариант... Или выразите `y` через `x`... а затем найдите производную...

2015-03-16 в 23:18 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Пишет ela1994:
Добрый вечер!

Прошу проверить, если не трудно, правильность решения.
Задание : Найти уравнение параболы вида: y=(x^2)+a*x+b, касающейся окружности : (x^2)+(y^2)=2 в точке M(1;1).


Так как в уравнении две переменные неизвестные, выполняется условие касания второго порядка, находим две производные от уравнения параболы:
0) (2-(x^2))^(1/2)=(x^2)+a*x+b
или: 2-(x^2)=((x^2)+a*x+b)^2
1) -1=2*(x^2)+2*a*x+2*b
2) 4*x+2*a=0
2*x=-a
a=-2*x (*)
т.к точка М задается координатами (1;1)
подставляем значение х во вторую производную, получаем а=-2, затем в со значением а подставляем в первую производную, получается b=1
Затем подставляем значения a и b в искомое уравнение.
получается y=(x^2)-2*x+1.

Так?
Заранее спасибо!!!

2015-03-16 в 23:27 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
ela1994, используйте ранее созданные топики с задаваемым Вами вопросом... при необходимости попросите модератора поднять вопрос в начало списка, чтобы его могли увидеть другие посетители...

А про новый вариант решения... ну, прочитайте ещё раз комментарии выше...
Во-первых, уже говорилось, что нужно только условие касания 0-го и 1-го порядка... зачем Вам вторая производная?...
Во-вторых, откуда взялось равенство под цифрой 1)?...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная