22:54 

Приближение произвольной функции линейной.

Команданте Роха
Мы катим мир, а все остальные сидят внутри и кричат "А-а-а! Куда катится этот мир?!"
Не знаю, сюда ли вопрос, и затрудняюсь с тегами. Но попробую.
Было дано задание приблизить выпуклую функцию линейной. В общем-то, ничего сложного - проводим хорду, проводим касательную в точке экстремума, прямая, лежащая посередине - есть приближение. Затем было дано задание расширить вычисление на произвольную функцию, не обязательно выпуклую. И вот тут я зависла.
По идее нужно найти два самых больших расстояния между максимумами/минимумами, разделить пополам и провести через эти две точки прямую. Но теперь я сомневаюсь, верно ли это. Будет ли это приближением? Ведь тогда все остальные значения функции учтены не будут.
Сразу скажу - обращаться к преподавателю смысла нет, он мне сказал "подумать!", не разъясняя способов решения.

@темы: Задачи на экстремум, Исследование функций

Комментарии
2014-09-08 в 23:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
По идее нужно найти два самых больших расстояния между максимумами/минимумами - ну, такой вариант решения можно считать приближением... вот только это не согласуется с первым вариантом - проводим хорду, проводим касательную... :upset:

Может речь у Вас идёт о методе наименьших квадратов?...

2014-09-08 в 23:15 

Команданте Роха
Мы катим мир, а все остальные сидят внутри и кричат "А-а-а! Куда катится этот мир?!"
All_ex, первый вариант для выпуклой функции.
Вот так это выглядит
Может быть, сейчас почитаю, что это.

2014-09-08 в 23:20 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Роха_, первый вариант для выпуклой функции. - я понял про что Вы говорите...
Я же выше обратил внимание на то, что Вы для разных функций предлагаете разные методы приближения...

2014-09-08 в 23:22 

Alidoro
На это счет есть теоремы. Ищите в Википедии Чебышевский альтернанс. Но задача нахождения многочлена наилучшего приближения сама по себе трудная в вычислительном плане. Возможно, для линейного случая, как у вас, и имеется какое-то простое решение. Но вообще можно предложить такой алгоритм: выбираем две точки на графике и проводим через них прямую. Эти точки разбивают область определения (отрезок) на три отрезка. Дальше смотрим, где функция наиболее удаляется от прямой. Если между точками, то точки сближаем, если на крайнем отрезке, то приближаем точку к соответствующему краю. При этом добиваемся, чтобы выполнялась теорема об альтернансе, т. е. чтобы уклонения функции на трех получившихся отрезках были равными по модулю и чередовались по знаку. Такой вот итеративный процесс.

2014-09-08 в 23:26 

Команданте Роха
Мы катим мир, а все остальные сидят внутри и кричат "А-а-а! Куда катится этот мир?!"
All_ex, не знаю, о методе ли квадратов шла речь, но в качестве идеи программировать буду его, спасибо)

2014-09-08 в 23:29 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Когда говорят о приближении функций, то говорят о "наилучшем приближении в каком-то смысле"... и вот в каком именно смысле понимается приближение надо пояснять ...
Видимо, Вы пытаетесь найти минимум нормы `||f(x) - (k*x + m)|| = max_{x in [a; b]} |f(x) - (k*x + m)| `... для выпуклой функции видимо там именно такое решение и получится (ну, это на вскидку... :) ) ...

2014-09-08 в 23:30 

Команданте Роха
Мы катим мир, а все остальные сидят внутри и кричат "А-а-а! Куда катится этот мир?!"
Alidoro, про Чебышевский альтернанс я в курсе, но Ваш алгоритм сложнореализуем, кмк. Мало того, что итерировать нужно, так еще и отслеживать уклонение функции.

2014-09-08 в 23:47 

Alidoro
Ваш алгоритм сложнореализуем, кмк
Кто же говорил, что будет легко. Смотрите алгоритм Ремеза, официальный алгоритм.
А потом вас же не просили реализовывать алгоритм, а просто подумать.

2014-09-08 в 23:57 

Команданте Роха
Мы катим мир, а все остальные сидят внутри и кричат "А-а-а! Куда катится этот мир?!"
Alidoro, это вычметоды. "Подумать" означает "подумать и написать так, чтобы работало".
Спасибо, завтра попробую представить метод наименьших квадратов, не пройдет - пойду читать про Ремеза. В курсе его не было.
Хотя и квадратов толком не было.

2014-09-09 в 00:09 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Роха_, Хотя и квадратов толком не было. - там ничего сложного нет...
Ищите `min int_{a}^{b} [f(x) - (k*x + m)]^2 * dx` ... для определения оптимальных параметров получаете линейную систему, для которой придётся вычислить численно два интеграла...

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная