20:38 

Алгебра и теория чисел, подгруппы

Здравствуйте, есть задание:
Даны подстановки `x`, `y`, `p` и указаны соотношения между ними.
`x=(123)(456)`, `y=(12)(45)`, `p=(14)(25)(36)`
`x^3=x^2=p^2=1`, `yx=x^(-1)y`, `px=xp`, `py=yp`
1. Пользуясь ими, выписать все элементы группы `A` с образующими `x`, `y`, `p`.
2. Выполнить геометрический смысл элементов группы `A` как самосовмещение соответствующей фигуры (см. рисунок ниже)

Подсказка: в группе 12 элементов


Первое у меня вышло, прошу проверить.



А вот со вторым не знаю, как поступить. К примеру, взять `x=(123)(456)`. Скорее всего, производится какой-то поворот, а вот относительно чего и каков градус, я не знаю.
Прошу помощи, заранее спасибо

@темы: Теория групп

Комментарии
2014-05-18 в 23:31 

Треугольники 123 и 456 вращаются. Надо чтобы прямая, соединяющая их центры , была перпендикулярна плоскостям треугольников. Тогда эта прямая - ось поворота .

2014-05-18 в 23:36 

Yri, а как узнать, на какой градус повернутся эти треугольники?
Ясно только, что в положительном направлении (против часовой стрелки)

2014-05-18 в 23:40 

На 120. А насчет направления - Вы же в пространстве, смотря как на ось вращения посмотреть.

2014-05-18 в 23:48 

Yri, тогда, `y=(12)(45)` ответом будет:
поворот четірехугольника 1245 вокруг прямой 36, проходящей через этот четырехугольник на 90 градусов
правильно ли я мыслю? если да, то сейчас остальное напишу

2014-05-18 в 23:52 

Нет, это будет `(1245)`.

2014-05-18 в 23:56 

Yri, не совсем понял, что в данном случае означает `(1245)`...

2014-05-18 в 23:58 

1 переходит в 2, 2 в 4, 4 в 5 , 5 в 1.
Перемножение перестановок `(12)(45)` это 1 переходит в 2, 2 в 1, 4 в 5, 5 в 4.

2014-05-19 в 00:03 

Yri, это я понял, а геометрически каков смысл?

2014-05-19 в 00:14 

Ну так придумайте преобразования квадрата, когда в каждой из двух пар вершины меняются между собой. Таких преобразований 2, Вам одно из них подойдет. Т. е. не смотрите в пространстве, а нарисуйте на плоскости квадрат 1245, надо чтобы 1 и 2 менялись, 4 и 5 менялись друг с другом.
Потом примените это преобразование в пространстве, надо чтобы 3 и 6 остались на месте.
Переберите все виды преобразований, их немного.
Успеха!

2014-05-19 в 00:23 

Yri, получилась симметрия относительно плоскости, проходящая через середины ребер 54 и 12 соответственно и вершины 3 и 6

2014-05-19 в 08:43 

Да.

2014-05-19 в 23:19 

Yri, спасибо за ответ!
проверьте, пожалуйста, следующие:
1. `p=(14)(25)(36)`
получился поворот всей фигуры 123456 вокруг прямой 25 на 180 градусов и после симметрия вершин относительно получившейся после переворачивания фигуры диагонали 14.
2. `x^2=(132)(465)`
осууществляется поворот треугольников 132 и 465 вокруг прямой, проходящей через центры этих треугольников, на 120 градусов
3. `xy=(13)(46)`
поворот вокруг прямой 25 ромба 1346 на 90 градусов и симметрия вершин относительно прямой 36
4. `yx=(23)(56)`
здесь не понял, что да как...
5. `xp=(153426)`
симметрия относительно плоскости, проходящая через середины ребер 53 и 16 и ребер 34 и 26

2014-05-20 в 00:49 

Вы используете последовательное выполнение преобразований, а там достаточно одного преобразования. Есть центральная симметрия и симметрия относительно плоскости.

2014-05-20 в 21:04 

Yri, я, честно говоря, не совсем понимаю, как, к примеру здесь (`p=(14)(25)(36)`) обойтись лишь одним преобразованием?

2014-05-20 в 21:08 

Симметрия

2014-05-20 в 21:28 

Я рассиатриваю четырехугольник 1245, он должен перейти в 4215 соответственно, при этом, вершины 3 и 6 должны поменяться местами.
не могу понять, где провести плоскость, чтобы сразу все выполнилось

2014-05-20 в 22:02 

Есть центральная симметрия и симметрия относительно плоскости.

2014-05-20 в 22:19 

Yri, т.е, в первом это есть центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей 14 и 52?

2014-05-20 в 22:34 

Да

2014-05-20 в 23:50 

Yri, проверьте, пожалуйста:

2. `x^2=(132)(465)`
осуществляется поворот треугольников 132 и 465 вокруг прямой, проходящей через центры этих треугольников, на 120 градусов
3. `xy=(13)(46)`
симметрия относительно плоскости, проходящей через середины ребер 13 и 64 а также вершин 2 и 5
4. `yx=(23)(56)`
симметрия относительно плоскости, проходящей через середины ребер 56 и 32 и вершины 1 и 4

5. `xp=(153426)`
здесь не могу сообразить, как поступить

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная