12:01 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Курганская область


Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г.



@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2014-01-13 в 13:13 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

7.1. Найдите какие-нибудь три последовательных натуральных числа, меньших 1000, произведение которых делится на 9999.

7.2. В классе больше 20, но меньше 30 учеников. При этом в классе тех, кто ходит в шахматный кружок, в 2 раза меньше, чем тех, кто не ходит. А тех, кто ходит в шашечный кружок, в 3 раза меньше, чем тех, кто не ходит. Сколько учеников в классе?

7.3. Для нескольких точек, расположенных на прямой, вычисляются расстояния между каждыми двумя из них (например, для четырёх точек таких расстояний будет шесть). Отметьте на прямой восемь точек так, чтобы расстояние между крайними точками было равно 7, а среди расстояний между точками ровно три раза встречалось расстояние 1, ровно два раза – расстояние 2, ровно пять раз – расстояние 3.

7.4. В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и даёт победителю забега четыре конфеты, а всем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля – 32, а Вася – 37 конфет. Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике; остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ.

7.5. За круглым столом сидит 11 человек – лжецов и рыцарей (рыцарь всегда говорит правду, а лжец всегда лжет). Каждому из них раздали по две карточки. Известно, что карточки только синие и красные. Каждый сказал: «У меня одноцветные карточки». После этого каждый передал одну из своих карточек соседу справа. Могли ли все после этого сказать: «У меня разноцветные карточки»?

2014-01-13 в 13:13 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

8.1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?

8.2. От шоссе к четырем поселкам A, B,C,D последовательно отходят четыре дороги. Известно, что путь по дороге-шоссе-дороге от A до B равен 9 км, от A до C – 13 км, от B до C – 8 км, от B до D – 14 км. Найдите длину такого пути от A до D .

8.3. Прогульщик Вася в каждый понедельник сентября некоторого года пропускал по одному уроку, в каждый вторник – по два урока, , в каждую пятницу – по пять уроков. Могло ли оказаться так, что за весь сентябрь он пропустил ровно 64 урока? (Все субботы и воскресенья сентября были выходными, а остальные дни – учебными. В сентябре 30 дней.)

8.4. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD, BE и CF . Оказалось, что четырехугольник FBDE – ромб. Докажите, что треугольник ABC – равносторонний.

8.5. Клетчатая доска 100 x 100 разрезана на шестиклеточные «лесенки» (см. рис.) и прямоугольники 2 1. Может ли оказаться, что «лесенок» ровно 333? (Лесенки и прямоугольники могут быть повёрнуты как угодно.)

2014-01-13 в 13:14 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

9.1. Ненулевые числа x, y, z, t таковы, что `(x+1/(yzt))(y+1/(xzt))(z+1/(yxt))(t+1/(yzx)) > 0`. Докажите, что xyzt > 0 .

9.2. Из произведения трех последовательных натуральных чисел вычли их сумму и получили нечетное число N . Докажите, что число N является произведением каких-то трех последовательных нечетных чисел.

9.3. Решить уравнение `x^3-x^2-x=1/3`.

9.4. В круге проведены хорды AB и AC. Биссектриса угла BAC пересекает окружность в точке D. Из точки D опущен перпендикуляр DE на AB. Доказать, что AE= 1/2 (AB+AC).

9.5. В классе на День защитника Отечества девочки принесли подарки для своих одноклассников-мальчиков: одна – 1 подарок, вторая – 2 подарка, третья – 3 подарка и т.д. Оказалось, что каждый мальчик получил одинаковое число подарков. На 8 Марта мальчики поздравляли одноклассниц и принесли: первый – 1 подарок, второй – 2 подарка, третий – 3 подарка и т.д. Также оказалось, что каждая девочка получила одинаковое число подарков. Докажите, что мальчиков или девочек (или и тех и других) в классе нечетное число.

2014-01-13 в 13:16 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

10.1. Парабола y = `ах^2` высекает на прямых y = 1, y = 2 , y = 3 три отрезка. Докажите, что из этих отрезков можно сложить прямоугольный треугольник.

10.2. Найти все периоды функции Дирихле `D(x) = {(1; x in Q), (0; x in I):}`, где Q – множество рациональных чисел, I – множество иррациональных чисел. Существует ли основной период у этой функции?

10.3. Найдите все тройки различных простых чисел, попарные разности которых (из большего числа вычитается меньшее) – также три простых числа.

10.4. Доказать, что в любом треугольнике со сторонами a, b, c `sqrt(p) < sqrt(p-a) + sqrt(p-b) + sqrt(p-c) <= sqrt(3p) `, `p=(a+b+c)/2`.

10.5. Вершины правильного 11-угольника раскрашены в два цвета: красный и синий. Может ли оказаться так, что для каждой вершины A этого 11-угольника найдутся такие красные вершины B и C , а также синие вершины D и E , что выполняются равенства AB = AC и AD = AE ?

2014-01-13 в 13:16 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

11.1. `a >= 0`, `b >= 0`, `c >= 0`, `a+b+c = 1`. Доказать, что `ab+bc+ac-abc <= 1/3`.

11.2. Бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит число `a > 1` и его квадрат. Докажите, что она также содержит и куб числа `a`.

11.3. Квадратный трёхчлен f (x) таков, что каждое из уравнений f (x) = x - 1 и f (x) = 2 - 2x имеют ровно по одному решению. Докажите, что трёхчлен f (x) не имеет корней.

11.4. Решить систему уравнений `2y-x=sinx-sin2y`, `cosx+5siny=4`.

11.5. В клетках квадрата 7 x 7 расставлены действительные числа. Оказалось, что сумма чисел в любом трёхклеточном уголке (повёрнутом как угодно) положительна. Обязательно ли сумма чисел во всем квадрате также положительна?

2015-10-05 в 06:07 

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!

URL
2015-10-22 в 18:01 

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!

URL
2017-03-21 в 11:58 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2016-17 г.г.


     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная