12:00 

wpoms.
Step by step ...
Математическая олимпиада школьников города Омска им. Г.П. Кукина

Сайт: Омские олимпиады

Задания 2013/14 у.г.

Адельшин А.В., Кукина Е.Г., Латыпов И.А., Усов С.В., Чернявская И.А., Штерн А.С. Математическая олимпиада школьников города Омска им. Г.П. Кукина (2007-2008 и 2008-2009 годы) - Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, 2009, 44 стр.
Книга предназначена для школьников, учителей, преподавателей математических кружков и любителей математики. В ней содержатся задачи математической олимпиады города Омска имени Г.П. Кукина за 2007-2008 и 2008-2009 учебные годы. Все задачи снабжены подробными решениями.
Скачать http://mirknig.com
Купить http://biblio.mccme.ru



@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2014-01-13 в 12:23 

wpoms.
Step by step ...
2013-14 г.г.

8 класс

1. Разбойники засыпали сундук доверху золотым и серебряным песком, причём золотого песка насыпали в 2 раза больше по объёму, чем серебряного. Али-Баба подсчитал, что, если высыпать половину серебряного песка и досыпать сундук доверху золотым песком, цена сундука поднимется на 20 процентов. Как и на сколько процентов изменится стоимость сундука, если высыпать половину золотого песка и досыпать сундук доверху серебряным песком?

2. На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD выбраны соответственно точки K, L, M, N так, что AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN и KLMN — прямоугольник. Докажите, что ABCD — ромб.

3. К переправе подошли царевна Соня и 7 богатырей. Богатыри выстроились в ряд так, что каждые двое рядом стоящих богатырей — друзья, богатыри, стоящие не рядом, между собой не дружат, а царевна дружит со всеми кроме среднего богатыря. Имеется одна лодка, в которой могут плыть либо двое друзей, либо трое попарно дружащих (в одиночку плыть нельзя). Смогут ли переправиться все подошедшие к переправе?

4. Петя и Вася играют на клетчатой доске 20×20. Каждым ходом игрок выбирает клетку, у которой все 4 стороны не окрашены, и красит все стороны в красный и синий цвета в любом порядке (например, может покрасить все в один цвет). При этом не должно получаться отрезков одного цвета длиной более чем одна сторона клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первым ходит Петя. Кто из игроков может выигрывать, как бы ни играл соперник?

5. Какое наибольшее количество двузначных чисел можно записать в ряд так, чтобы любые два соседних числа были не взаимно просты, а любые два несоседних числа — взаимно просты? Напомним, что числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, больших единицы.

2014-01-13 в 12:24 

wpoms.
Step by step ...
2013-14 г.г.

9 класс

1. Все стороны прямоугольного треугольника увеличили на одну и ту же величину. Может ли полученный треугольник снова оказаться прямоугольным?

2. Четыре окружности расположены на плоскости так, что первая касается второй, вторая третьей, третья четвертой, а четвертая первой, и все касания внешние. Точки касания образуют прямоугольник. Радиусы каких-то двух окружностей составляют 1 и 2 см. Найдите радиусы двух других окружностей.

3. Три попарно различных числа образуют хорошую тройку, если одно из них равно полусумме двух других. Докажите, что для любой хорошей тройки `x_1`, `x_2`, `x_3` можно подобрать приведённый квадратный трёхчлен `f(x)=x^2+px+q`, значения которого в этих точках `f(x_1)`, `f(x_2)`, `f(x_3)` тоже образуют хорошую тройку.

4. На доске написаны дроби 2/1, 3/2, …, n/(n-1). Отличник Олег хочет перевернуть некоторые дроби так, чтобы произведение всех получившихся дробей было равно 1. При каких n ему удастся это сделать?

5. На каждой клетке шахматной доски лежит 2013 бусинок. Двое играющих по очереди делают ходы по следующим правилам. Первый снимает по бусинке с каждой клетки одной выбранной им горизонтали. Второй – по две бусинки с каждой клетки одной выбранной им вертикали. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может выиграть, как бы ни играл соперник?

2014-01-13 в 12:24 

wpoms.
Step by step ...
2013-14 г.г.

10 класс

1. Отличные от нуля числа `a`, `b` подобраны так, что уравнение `(ax+b)/(bx+a)=0` не имеет решений. Докажите, что числа `a` и `b` совпадают по модулю.

2. Расставьте по кругу числа 1, 2, 3, ..., 9 так, чтобы среди любых трёх чисел, записанных подряд, одно было равно полусумме двух других.

3. Четыре окружности расположены на плоскости так, что первая касается второй, вторая третьей, третья четвертой, а четвертая первой, и все касания внешние. Точки касания образуют квадрат. Следует ли отсюда, что все окружности имеют одинаковые радиусы?

4. Иван-царевич надел сапоги-скороходы и отправился искать Василису Прекрасную. Его первый шаг был длиннее двух метров, а каждый следующий шаг был на 1 метр длиннее предыдущего. Иван сделал несколько шагов, потом вспомнил, что не захватил лук и стрелы, и за три шага вернулся назад. Какое расстояние он успел пройти до того, как вернулся назад? Найдите все варианты ответа и докажите, что другие невозможны.

5. Какое наименьшее число клеток можно отметить на шахматной доске так, чтобы в каждом прямоугольнике из 9 или более клеток хотя бы одна клетка была отмечена? Нарисуйте соответствующий рисунок и объясните, почему отметить меньшее число клеток с соблюдением условия невозможно.

6. В главном супермаркете страны рыцарей и лжецов продаются блюдца и чашки. Чашки бывают белые, синие, и красные, а блюдца – белые, желтые, красные и зеленые. Во время рождественской распродажи 11 человек купили по чайному сервизу (блюдце и чашка, возможно, разного цвета). При выходе каждый получил анкету, состоящую из трёх вопросов: "Вы купили желтую чашку?", "Вы купили белое блюдце?", "Вы купили желтое блюдце?". На каждый вопрос утвердительно ответили по три человека. Докажите, что какие-то двое покупателей купили одинаковые сервизы.

2014-01-13 в 12:24 

wpoms.
Step by step ...
2013-14 г.г.

11 класс

1. Представьте число 100 в виде суммы девяти натуральных чисел, ни одно из которых не делится на другое.

2. Пространственным четырехугольником называется замкнутая ломаная в пространстве без самопересечений. Могут ли все четыре угла BAD, ABC, BCD, CDA пространственного четырехугольника ABCD быть меньше одного градуса?

3. Учительница математики нарисовала на доске прямоугольный треугольник. Одиннадцатиклассник Петя уверяет, что он может увеличить все стороны этого треугольника на одну и ту же величину, так что снова получится прямоугольный треугольник. А его друг Вася говорит, что он может уменьшить все стороны этого треугольника на одну и ту же величину, так что тоже получится прямоугольный треугольник. Кому из них стоит верить?

4. Треугольник ABC вписан в окружность ω. Точка M лежит на дуге BC этой окружности, не содержащей точку A. Касательные к вписанной окружности треугольника ABC, проведённые из точки M, пересекают окружность ω в точках N и P. При этом /_BAC=/_NMP. Докажите, что треугольники ABC и MNP равны.

5. На доске написано уравнение `(x^2+ax+b)/(x^2+bx+a)=0`. Петя пишет число, а Вася подбирает два числа a и b так, чтобы задуманное Петей число было единственным корнем получившегося уравнения. Какое число должен придумать Петя, чтобы Вася со своей задачей не справился? Найдите все возможные варианты ответа и докажите, что других быть не может.

6. На доске выписаны три натуральных числа, при этом каждая цифра использована одинаковое четное число раз. Известно, что второе число равно сумме цифр первого, а третье однозначно и равно сумме цифр второго. Найдите третье число.

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная