Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
11:44 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Свердловская область


Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г.,



@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2014-01-11 в 11:45 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

Задачи муниципального тура олимпиады подобраны сотрудником Института Математики и Механики УрО РАН д.ф.-м.н. В.Т. Шевалдиным; рецензент — к.ф.-м.н. Д.В. Хлопин.

7 класс

7.1. Мама купила прямоугольную коробку кускового сахара. Дети съели сначала весь верхний слой, состоящий из 77 кусочков (можно считать кусочки одинаковыми кубиками), затем боковой слой оставшейся части коробки, в котором оказалось 55 кусочков, и, наконец, передний слой того, что осталось (толщина слоя равна толщине одного кусочка сахара). После этого в коробке осталось несколько кусочков сахара. А сколько именно? Ответ обосновать.

7.2. Среди 2013 по виду одинаковых монет есть только одна фальшивая, отличающаяся от настоящих по весу. Все настоящие монеты весят одинаково. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая монета тяжелее: фальшивая или настоящая? (Саму фальшивую монету при этом находить не нужно). Ответ обоснуйте.

7.3. В книгах новгородских писцов XV века упоминаются следующие меры веса жидких тел — бочка, насадка и ведро. Известно, что бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, насадка и 15,5 вёдер уравниваются с двадцатью бочками и восемью вёдрами. Сколько насадок содержится в бочке? Ответ обосновать.

7.4. Большой прямоугольник четырьмя линиями, параллельными основаниям, разбит на 9 прямоугольников, периметры пяти из которых указаны на рисунке. Найдите периметр левого верхнего прямоугольника.


7.5. Из чисел A, B и C (не обязательно целых) одно положительно, одно отрицательно и одно равно нулю. Известно, что `A^2 = B^2 (B −C)`. Какое из этих чисел положительно, отрицательно и какое равно нулю? Ответ обосновать.

7.6. Прямоугольный парус корабля викингов состоит из чередующихся красных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находящихся в данный момент на корабле. В начальный момент на корабле было 12 пленных, а на парусе — 12 полос. Затем одного пленного вздёрнули на рее, второго бросили за борт, и пленных стало 10. Как разрезать парус на две части и затем сшить их, чтобы получить новый прямоугольный парус, и площадь, и ширина полос которого не изменились, а число полос снова стало равно числу пленных?

2014-01-11 в 11:46 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

8.1. На доске написано выражение 1 − 2 − 4 − 8 − 16 = 19. Расставьте в нем несколько знаков модуля так, чтобы равенство стало верным.

8.2. Из горячего крана ванна полностью наполняется водой за 23 минуты, а из холодного — за 17 минут. Петя сначала открыл горячую воду. Через сколько минут он должен открыть холодную воду, чтобы к моменту полного заполнения ванны объем горячей воды в ней был в полтора раза больше, чем объем холодной? Ответ обосновать.

8.3. Папа и мама стартовали одновременно на велосипедах из одной точки замкнутой дорожки стадиона в разных направлениях. Длина всей дорожки равна 400 м. Папа проехал 4 круга, мама — 8, и они одновременно завершили свои велосипедные прогулки в точке старта. В начале движения у папы была фляжка с водой, которая передавалась мгновенно во время каждой их встречи на дорожке от её обладателя перед встречей к другому. Таким образом, фляжка проделала некоторый путь по часовой стрелке и некоторый путь против неё. Каков (в метрах) суммарный путь фляжки? Ответ обосновать.

8.4. Большой прямоугольник четырьмя линиями, параллельными основаниям, разбит на 9 прямоугольников, площади пяти из которых указаны на рисунке. Найдите площадь левого верхнего прямоугольника.


8.5. Учительница дала Кате четыре положительных числа (не обязательно целых и не обязательно различных). Катя написала на доске числа 3, 4 и 7, и сказала, что каждое из них является суммой каких-то трёх из четырёх данных ей чисел. Докажите, что Катя ошибается.

8.6. В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) биссектриса AK перпендикулярна медиане BM. Периметр треугольника KMC равен 99 см. Найдите периметр треугольника ABC.

2014-01-11 в 11:46 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

9.1. Пять чисел `x_1`, `x_2`, `x_3`, `x_4` и `x_5` равны числам 7, 4, 11, 10 и 14, но, возможно, в другом порядке. Известно, что числа `(x_1 + x_2)/2`, `(x_1 + x_2 + x_3)/3` и `(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)/4` являются целыми. Найдите `x_3 + 2x_4 + 3x_5`.

9.2. Бумажный квадрат 40 × 40 см расчерчен на квадратики со стороной 1 см. Затем каждый квадратик разрезан по обеим диагоналям. На сколько частей распался бумажный квадрат? Ответ обосновать.

9.3. В трапеции одна из боковых сторон вдвое больше другой, а сумма углов при большем основании равна 120 градусам. Найдите эти углы.

9.4. Пусть `a` и `b` — положительные числа. Известно, что сумма минимального значения квадратного трёхчлена `ax^2 + 8x + b` и минимального значения квадратного трёхчлена `bx^2 + 8x + a` равна нулю. Докажите, что оба этих минимальных значения равны нулю.

9.5. Отрезки AB и CD равны по длине и не параллельны. Найдите геометрическое место всех точек M таких, что площадь треугольника AMB равна площади треугольника CMD.

9.6. Вдоль кольцевой дорожки длиной 3200 метров через каждые 40 метров установлены скамейки (всего их 80), каждая из которых покрашена в какой-то цвет (длиной скамеек можно пренебречь). Известно, что если от любой скамейки пройти 600 метров по часовой стрелке, то мы придём к скамейке того же цвета. Найдите максимально возможное число различных цветов всех скамеек. Ответ обосновать

2014-01-11 в 11:46 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

Задачи муниципального тура олимпиады подобраны сотрудником Института Математики и Механики УрО РАН к.ф.-м.н. С.Э. Нохриным; рецензент — к.ф.-м.н. Д.В. Хлопин.

10 класс

10.1. Докажите следующий признак делимости на 13. Натуральное число n делится на 13 тогда и только тогда, когда на 13 делится число, полученное из исходного отбрасыванием цифры единиц (т.е. последней цифры) с последующим прибавлением к полученному числу учетверённой отброшенной цифры. (Например, число 468 делится на 13 потому, что на 13 делится число 46 + 4 · 8 = 78).

10.2. В треугольнике ABC AB = 6 и AC = 7. Биссектриса CD делится точкой O пересечения биссектрис в отношении CO : OD = 3 : 2. Найдите сторону BC.

10.3. В классе каждый мальчик дружит ровно с тремя девочками из этого класса, а каждая девочка — ровно с двумя мальчиками из класса. В классе 12 парт, за каждой из которых сидит не более двух человек. Известно также, что 16 человек из класса участвовали в районных предметных олимпиадах. Сколько учащихся в классе? Ответ обосновать.

10.4. В выпуклом четырёхугольнике ABCD длины сторон AB и BC равны 1 см, а величины углов ABC и ADC равны 102 и 129 градусам соответственно. Найдите длину диагонали BD.

10.5. Колонна мотоциклистов длиной 220 метров едет по дороге со скоростью 80 км/ч, а навстречу ей едет полицейский патруль со скоростью 20 км/ч. В момент встречи с патрулем каждый мотоциклист моментально разворачивается и едет назад с той же скоростью. Какова будет длина колонны (в метрах), когда все мотоциклисты развернутся? Длиной мотоциклов пренебречь. Ответ обосновать.

10.6. Нарисуйте на плоскости xOy все точки M(x, y), через которые не проходит ни одна прямая из семейства прямых: `y = (2p + 1)x − p^2` (p — произвольное действительное число).

2014-01-11 в 11:47 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

11.1. Число `sqrt(1 + 20000014sqrt(1 + 20000013sqrt(1 + 20000012sqrt(1 + 20000011 * 20000009))))` является натуральным. Найдите его.

11.2. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, у которой сторона основания равна 8. Найти все значения, которые может принимать площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону AB под углом 30◦ к основанию.

11.3. Найдите все тройки простых чисел (a, b, c), которые удовлетворяют равенству abc = 5(a + b + c).

11.4. Пусть AM — отличная от диаметра хорда окружности с центром в точке O. На продолжении этой хорды за точку M отметили точку B. Точка N симметрична точке M относительно прямой OB. Докажите, что четырёхугольник AONB можно вписать в окружность.

11.5. Изобразите на плоскости xOy все точки M(x, y), для которых существует такое действительное число a, что `y = x^2 + a^2` и `x = y^2 − a^2`.

11.6. (Старинная задача). Царь узнал от шпионов, что его хотят отравить и яд находится ровно в одной из 16-и привезённых ему бутылок с вином. Он дал указание своему мудрецу за одни сутки выяснить, какая из этих бутылок отравлена. У мудреца есть всего 4 мыши, каждой из которых для выполнения приказа царя он может пожертвовать. Известно, что если мышь выпьет хотя бы одну каплю яда из отравленной бутылки, то она на следующий день умрёт. Как мудрецу за одни сутки узнать, какая из 16-и бутылок с вином содержит яд?

2017-04-15 в 21:11 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2016-17 г.г.


   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная