Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
14:54 

wpoms.
Step by step ...
Олимпиада "Туймаада". Якутия


Условия задач 2010-2013 г. взяты на сайте www.guas.info.
Попов С.В., Голованов А.С., Храбров А.И., Ростовский Д.А., Иванов М.А., Шамаев Э.И., Марков В.Г. Задачи по математике. Международная олимпиада "Туймаада" 1994-2012 - МЦНМО, 2013, 192 стр.
читать дальше


@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2014-01-02 в 15:11 

wpoms.
Step by step ...
ТУЙМААДА-2010

Старшая лига. Первый день

1. Саша и Дима играют в игру на доске $100\times 100$. В начале игры Саша выбирает 50 клеток и ставит на них по одному королю. После этого Дима выбирает одну из свободных клеток и выставляет на нее ладью. Далее игроки ходят по очереди (начинает Саша). Каждым своим ходом Саша перемещает каждого из королей на соседнюю по стороне или углу клетку, а Дима своим ходом передвигает ладью на любое количество клеток по горизонтали или вертикали. При этом ладья не может ``перепрыгивать" через короля и ``бить" короля. Сможет ли Саша действовать так, чтобы рано или поздно побить ладью одним из королей?
С. Берлов


2. Точка $H$ -- ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$. Внутри стороны $BC$ выбрана точка $D$. Точка $P$ построена таким образом, что $ADPH$ -- параллелограмм. Докажите, что $\angle DCP<\angle BHP$.
С. Берлов


3. По кругу стоят 2010 цифр, каждая из которых равна 1, 2 или 3. Известно, что при любом $k$ в любом блоке из $3k$ подряд идущих цифр каждая из цифр 1, 2, 3 встречается не больше $k+10$ раз. Докажите, что существует блок из нескольких подряд идущих цифр, в котором цифр каждого из видов поровну.
С. Берлов


4. Докажите, что при любом вещественном $\alpha>0$ число $[\alpha n^2]$ четно для бесконечного множества натуральных $n$.
А. Голованов




Набережная Лены в Якутске


Старшая лига. Второй день

5. Барон Мюнхгаузен хвастается, что знает замечательный квадратный трехчлен с положительными коэффициентами: он сам имеет целый корень; если ко всем его коэффициентам прибавить по единице, то полученный трехчлен снова будет иметь целый корень; если второй раз прибавить ко всем коэффициентам по единице, то и этот трехчлен будет иметь целый корень. Не обманывает ли барон?
С. Берлов


6. Дано натуральное число $n$. Известно, что существуют такие 2010 последовательных натуральных чисел, что ни одно из них не делится на $n$, но их произведение кратно $n$. Докажите, что существуют такие 2004 последовательных натуральных чисел, что ни одно из них не делится на $n$, но их произведение кратно $n$.
С. Берлов


7. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а продолжения сторон $AD$ и $BC$ -- в точке $Q$. Докажите, что расстояние между ортоцентрами треугольников $APD$ и $AQB$ равно расстоянию между ортоцентрами треугольников $CQD$ и $BPC$.
Л. Емельянов


8. В стране учатся $4^{9}$ школьников, живущих в четырех городах. В конце учебного года правительство провело ЕГЭ по 9 предметам, за каждый из которых каждый ученик получил 1 балл, 2 балла, 3 балла или 4 балла. Известно, что у любых двух учеников отметки хотя бы по одному предмету отличаются. При этом оказалось, что у любых двух учеников, живущих в одном городе, совпадают отметки хотя бы по одному предмету. Докажите, что найдется такой предмет, что у любых двух детей, живущих в одном городе, совпадают отметки именно по этому предмету.
Ф. Петров




Фрагмент Якутского острога


Младшая лига. Первый день

1. Саша и Дима играют в игру на доске $100\times 100$. В начале игры Саша выбирает 50 клеток и ставит на них по одному королю. После этого Дима выбирает одну из свободных клеток и выставляет на нее ладью. Далее игроки ходят по очереди (начинает Саша). Каждым своим ходом Саша перемещает каждого из королей на соседнюю по стороне или углу клетку, а Дима своим ходом передвигает ладью на любое количество клеток по горизонтали или вертикали. При этом ладья не может "перепрыгивать" через короля и "бить" короля. Сможет ли Саша действовать так, чтобы рано или поздно побить ладью одним из королей?
С. Берлов


2. Точка $H$ -- ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $BC$ выбрана точка $D$. Точка $P$ построена таким образом, что $ADPH$ -- параллелограмм. Докажите, что $\angle BPC>\angle BAC$.
С. Берлов


3. Три различных ненулевых числа таковы, что при любой расстановке этих чисел на места коэффициентов квадратного трехчлена этот трехчлен будет иметь целый корень. Докажите, что у всех таких трехчленов есть корень 1.
А. Голованов


4. На доске записаны 2010 натуральных чисел. Разрешается стереть любую пару чисел $x$, $y$ (в которой $y>1$) и записать вместо них либо пару чисел $2x+1$, $y-1$, либо пару $2x+1$, ${1\over 4}(y-1)$ (если $y-1$ делится на 4). Например, стерев числа 3 и 5, можно написать пару 7 и 4, либо пару 7, 1 (приняв $x=3$, $y=5$), либо пару 11, 2 (приняв $x=5$, $y=3$). Такие операции провели несколько раз, причем при первой операции были стерты числа 2006 и 2008. Докажите, что на доске не сможет появиться вновь первоначальный набор чисел.
М. Антипов




Памятник воинам Отечественной войны.
Нюргун Боотур - якутский богатырь из народного эпоса


Младшая лига. Второй день

5. Множество вещественных чисел $M$ содержит больше одного элемента. Известно, что для любого $x$, лежащего в $M$, хотя бы одно из чисел $3x-2$ и $-4x+5$ также лежит в $M$. Докажите, что множество $M$ бесконечно.
А. Голованов


6. Дано натуральное число $n$. Известно, что существуют такие пять последовательных натуральных чисел, что ни одно из них не делится на $n$, но их произведение кратно $n$. Докажите, что существуют такие четыре последовательных натуральных числа, что ни одно из них не делится на $n$, но их произведение кратно~$n$.
С. Берлов


7. Дан треугольник $ABC$. Из центра $I$ его вписанной окружности опустили перпендикуляр $IP$ на прямую, проходящую через вершину $A$ и параллельную стороне $BC$. Касательная ко вписанной окружности, параллельная $BC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $R$ соответственно. Докажите, что $\angle QPB=\angle RPC$.
В. Смыкалов


8. В стране несколько городов, между некоторыми городами курсируют прямые односторонние авиарейсы. Докажите, что можно выделить из всех городов такую группу $A$, что:
1) между городами группы $A$ нет ни одного рейса;
2) из любого города, не лежащего в группе $A$, можно попасть в какой-нибудь город группы $A$ либо прямым рейсом, либо с одной пересадкой в промежуточном городе.
В. Дольников

2014-01-02 в 15:39 

wpoms.
Step by step ...
ТУЙМААДА-2011

Старшая лига. Первый день

1. Красные, синие и зеленые дети встали в круг. Когда учительница попросила поднять руку красных детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 20 человек. А когда она попросила поднять руку синих детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 25 человек. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку стоит сразу два зеленых ребенка.
А. Голованов


2. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, точка $M$ --- середина $AB$. На прямой $AB$ выбраны точки $S_1$ и $S_2$. Касательные, проведенные из $S_1$ к окружности $\omega_1$ касаются ее в точках $X_1$ и $Y_1$, а касательные из $S_2$ к $\omega_2$ касаются ее в точках $X_2$ и $Y_2$. Докажите, что если прямая $X_1X_2$ проходит через $M$, то прямая $Y_1Y_2$ тоже проходит через $M$.
А. Акопян


3. На каждой клетке бесконечной шахматной доски написано наименьшее количество ходов, за которое конь может дойти от этой клетки до данной клетки $O$. Назовем клетку {\it особой}, если на ней написано число 100, а на всех соседних с ней (по стороне) клетках --- 101. Сколько существует особых клеток?
А. Голованов


4. На отрезке натурального ряда имеется ровно 10 четвертых степеней и ровно 100 кубов. Докажите, что на этом отрезке не менее 2000 точных квадратов.
А. Голованов




Ленские столбы


Старшая лига. Второй день

5. Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цветы использованы). Докажите, что существуют такие вещественные $a$ и $b$, что числа $a+{1\over b}$ и $b+{1\over a}$ разного цвета.
А. Голованов


6. Дано слово более чем из 10 букв, в котором любые две соседние буквы различны. Докажите, что можно поменять местами две соседние буквы так, чтобы полученное слово не было периодическим (не разбивалось на одинаковые подслова).
А. Голованов


7. Дан выпуклый шестиугольник $AC'BA'CB'$, у которого каждые две противоположные стороны равны. $A_1$ --- точка пересечения $BC$ и серединного перпендикуляра к $AA'$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.
А. Акопян


8. $P(n)$ --- квадратный трехчлен с целыми коэффициентами. Для каждого натурального $n$ у числа $P(n)$ нашелся собственный делитель $d_n$ (т.е. $1 < d_n < P(n)$) так, что последовательность $(d_n)$ --- возрастающая. Докажите, что либо $P(n)$ можно разложить в произведение двух линейных многочленов с целыми коэффициентами, либо значения $P(n)$ во всех натуральных точках делятся на одно и то же натуральное $m>1$.
А. Голованов




Река Оленёк


Младшая лига. Первый день}

1. Красные, синие и зеленые дети встали в круг. Когда учительница попросила поднять руку красных детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 20 человек. А когда она попросила поднять руку синих детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 25 человек. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку стоит сразу два зеленых ребенка.
А. Голованов


2. Сколькими способами из клетчатого квадрата $2011\times2011$ можно вырезать квадрат $11\times11$ так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на доминошки?
C. Волченков


3. Вневписанная окружность треугольника $ABC$ касается его стороны $AB$ в точке $P$, а продолжений сторон $AC$ и $BC$~--- в точках $Q$ и $R$ соответственно. Докажите, что если середина $PQ$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, то и середина $PR$ тоже лежит на этой описанной окружности.
С. Берлов


4. Докажите, что среди 100000 последовательных стозначных чисел найдется $n$, такое что длина периода десятичной записи числа ${1\over n}$ больше 2011.
А. Голованов




Река Оленёк


Младшая лига. Второй день

5. Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цвета использованы). Докажите, что существуют такие вещественные $a$ и $b$, что числа $a+b$ и $ab$ покрашены в разные цвета.
А. Голованов


6. Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекает его диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ --- в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельно $CD$.
А. Акопян


7. Дано слово более чем из 10 букв, в котором любые две соседние буквы различны. Докажите, что можно поменять местами две соседние буквы так, чтобы полученное слово не было периодическим (не разбивалось на одинаковые подслова).
А. Голованов


8. Герцог Квадратный завещал своим трех сыновьям квадратное поместье 100 на 100 км, разделенное на 10000 квадратных участков со стороной 1 км. Для раздела наследства он указал каждому сыну по точке внутри поместья и завещал ему те участки, расстояния от центров которых до этой точки меньше, чем расстояния до точек его братьев. В результате все поместье оказалось разделено между сыновьями. Верно ли, что независимо от выбора точек доля каждого сына окажется связной (то есть между любыми двумя точками одной доли существует путь, не выходящий за границы этой доли).
А. Акопян

2014-01-02 в 16:16 

wpoms.
Step by step ...
ТУЙМААДА-2012

Старшая лига. Первый день

1. Таня и Серёжа по очереди ставят фишки на свободные клетки шахматной доски. Первым ходом Таня ставит фишку на любую клетку доски. Каждым следующим ходом Серёжа должен ставить фишку в тот столбец, куда только что походила Таня, а Таня -- в ту строку, куда только что походил Серёжа. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
А. Голованов


2. Квадратный трехчлен $P(x)$, имеющий два вещественных корня, для всех $x$ удовлетворяет неравенству $P(x^3+x)\geq P(x^2+1)$. Найдите сумму корней трехчлена $P(x)$.
А. Голованов, М. Иванов, K. Кохась


3. Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $P$ таким образом, что $\angle PAB=\angle PCB={1\over 4}(\angle A+\angle C)$. $BL$ -- биссектриса этого треугольника. Прямая $PL$ пересекает описанную окружность треугольника $APC$ в точке $Q$. Докажите, что прямая $QB$ -- биссектриса угла $AQC$.
С. Берлов


4. Пусть $p=4k+3$ -- простое число, а $m\over n$ -- такая несократимая дробь, что ${1\over 0^2+1}+{1\over 1^2+1}+\dots+{1\over (p-1)^2+1}={m\over n}.$ Докажите, что $2m-n$ делится на $p$.
А. Голованов




Алмазный карьер


Старшая лига. Второй день

5. Решите уравнение ${1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}$ в натуральных числах.
А. Голованов


6. Четырехугольник $ABCD$ является одновременно вписанным и описанным. Вписанная окружность касается его сторон $AB$ и $CD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Перпендикуляры, восставленные к сторонам $AB$ и $CD$ в точках $A$ и $D$ соответственно, пересекаются в точке $U$, перпендикуляры к ним же в точках $X$ и $Y$ пересекаются в точке $V$, и, наконец, в точках $B$ и $C$ -- в точке $W$. Докажите, что $U$, $V$, $W$ лежат на одной прямой.
А. Голованов


7. Положительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $abc=1$. Докажите, что ${1\over 2a^2+b^2+3}+{1\over 2b^2+c^2+3}+{1\over 2c^2+a^2+3}\leq {1\over 2}.$
В. Аксенов


8. На ребрах ориентированного графа расставлены целые числа, не кратные 2012. Назовем {\it весом вершины} разность между суммой чисел на всех входящих в нее ребрах и суммой чисел на всех выходящих из нее ребрах. Известно, что вес каждой вершины делится на 2012. Докажите, что на ребрах того же графа можно так расставить ненулевые целые числа, по модулю меньшие 2012, чтобы все вершины имели нулевой вес.
У. Татт




"Лучшие друзья девушек" :)


Младшая лига. Первый день

1. Таня и Серёжа по очереди ставят фишки на свободные клетки шахматной доски. Первым ходом Таня ставит фишку на любую клетку доски. Каждым следующим ходом Серёжа должен ставить фишку в тот столбец, куда только что походила Таня, а Таня -- в ту строку, куда только что походил Серёжа. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
А. Голованов


2. Дан прямоугольник $ABCD$. На луче $DC$ отложен отрезок $DK$, равный $BD$. Точка $M$~-- середина отрезка $BK$. Докажите, что $AM$~-- биссектриса угла $BAC$.
C. Берлов


3. Докажите, что произвольные $N^2$ попарно различных натуральных чисел ($N>10$) можно расположить в таблице $N\times N$ так, чтобы все $2N$ сумм по строкам и по столбцам были различны.
С. Волченков


4. Пусть $p=1601$ (простое число), а $m\over n$ -- несократимая дробь, равная сумме тех из дробей ${1\over 0^2+1},\quad{1\over 1^2+1},\quad\dots,\quad{1\over (p-1)^2+1},$ знаменатели которых не делятся на $p$. Докажите, что $2m+n$ делится на $p$.
А. Голованов




"Иней"


Младшая лига. Второй день

5. Вершины правильного 2012-угольника обозначены буквами $A_1$, $A_2$, \dots $A_{2012}$ в некотором порядке. Известно, что если $k+l$ и $m+n$ дают одинаковые остатки при делении на 2012, то хорды $A_kA_l$ и $A_mA_n$ не имеют общих точек. Вася идет вокруг многоугольника, и видит, что первые две вершины обозначены $A_1$ и $A_4$. Как обозначена десятая по ходу вершина?
А. Голованов


6. Решите уравнение ${1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}$ в натуральных числах.
А. Голованов


7. Внутри выпуклого четырехугольника с последовательными сторонами 3, 6, 5, 8 расположен круг. Докажите, что его радиус меньше 3.
К. Кохась


8. В ряд стоит 25 осликов, самый правый из них~-- Иа-Иа. Винни Пух хочет дать каждому ослику воздушный шарик одного из семи цветов радуги так, чтобы стоящие рядом ослики получили шарики разного цвета и шарик каждого цвета хоть кто-нибудь да получил бы. Иа-Иа хочет подарить каждому из 24 других осликов горшок одного из цветов радуги (кроме зеленого) так, чтобы горшок каждого цвета хоть кто-нибудь да получил бы (но соседи могут получать и одноцветные горшки). У кого из друзей больше способов осуществить задуманное и во сколько раз?
Ф. Петров

2014-01-02 в 16:28 

wpoms.
Step by step ...
ТУЙМААДА-2013

Старшая лига. Первый день}

1. На столе лежит 100 куч камней. Два игрока делают ходы по очереди. За один ход разрешается взять со стола произвольное (ненулевое) количество камней из любого числа куч, не превосходящего 99. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Для любого начального положения укажите, кто выиграет при правильной игре --- начинающий или его противник.
К. Кохась


2. Точки $X$ и $Y$ внутри ромба $ABCD$ таковы, что точка $Y$ лежит внутри выпуклого четырёхугольника $BXDC$ и $2\angle XBY=2\angle XDY=\angle ABC$. Докажите, что прямые $AX$ и $CY$ параллельны.
С. Берлов


3. Вершины связного графа нельзя покрасить меньше чем в $n+1$ цвет так, чтобы соседние вершины были разного цвета. Докажите, что можно удалить из графа $n(n-1)/2$ ребер без потери связности.
В. Дольников


4. Докажите, что для любых положительных $x$, $y$, $z$, для которых $xyz=1$, выполнено неравенство ${x^3\over x^2+y}+{y^3\over y^2+z}+{z^3\over z^2+x}\geq {3\over 2}.$
А. Голованов




Мамонт


Старшая лига. Второй день

5. Докажите, что любой многочлен четвертой степени можно представить в виде $P(Q(x))+R(S(x))$, где $P$, $Q$, $R$, $S$ --- квадратные трехчлены.
А. Голованов


6. Решите уравнение $p^2-pq-q^3=1$ в простых числах.
А. Голованов


7. Точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ --- вершины правильного тетраэдра с ребром 1. Точки $B_1$ и $B_2$ лежат внутри фигуры, ограниченной плоскостью $A_1A_2A_3$ и сферами радиуса 1 с центрами $A_1$, $A_2$, $A_3$. Докажите, что $B_1B_2<\max(B_1A_1, B_1A_2, B_1A_3, B_1A_4)$.
А. Купавский


8. Карточки с номерами от 1 до $2^n$ раздают $k$ детям, $1\leq k\leq 2^n$, так чтобы каждый ребенок получил хотя бы одну карточку. Докажите, что количество способов раздать карточки делится на $2^{k-1}$, но не делится на $2^k$.
M. Иванов




Мамонт


Младшая лига. Первый день

1. На столе лежит 100 куч камней. Два игрока делают ходы по очереди. За один ход разрешается взять со стола произвольное (ненулевое) количество камней из любого числа куч, не превосходящего 99. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Для любого начального положения укажите, кто выиграет при правильной игре --- начинающий или его противник.
К. Кохась


2. Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$, в котором $AC\parallel DF$, $BD\parallel AE$ и $CE\parallel BF$. Докажите, что $AB^2+CD^2+EF^2=BC^2+DE^2+AF^2$.
Н. Седракян


3. Для любых положительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство $\sqrt{ab} \leq {1\over 3}\cdot\sqrt{a^2+b^2\over 2}+{2\over 3}\cdot{2\over{1\over a}+{1\over b}}.$
А. Храбров


4. Вершины связного графа нельзя покрасить меньше чем в $n+1$ цвет так, чтобы соседние вершины были разного цвета. Докажите, что можно удалить из графа $n(n-1)/2$ ребер без потери связности.
В. Дольников





Кристаллы снега на потолке подземной лаборатории института мерзлотоведения


Младшая лига. Второй день

5. Каждая грань куба $7\times7\times7$ разбита на единичные квадраты. Какое максимальное число квадратов можно выбрать так, чтобы никакие два выбранных квадрата не имели общих точек?
А. Чухнов


6. В клетках таблицы $6\times 6$ стоят квадратные трехчлены с положительными старшими коэффициентами. Все их 108 коэффициентов --- целые числа от $-60$ до $47$ (по одному разу). Докажите, что хотя бы в одном столбце сумма квадратных трехчленов имеет корень.
К. Кохась и Ф. Петров


7. Решите уравнение $p^2-pq-q^3=1$ в простых числах.
А. Голованов


8. Точка $A_1$ на периметре выпуклого четырёхугольника $ABCD$ такова, что прямая $AA_1$ делит площадь четырёхугольника пополам. Аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$ и $D_1$. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника с вершинами $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ больше четверти площади $ABCD$.
Л. Емельянов

2014-01-02 в 16:30 

wpoms.
Step by step ...

Чорон - деревянный кубок для кумыса

2014-01-02 в 16:31 

wpoms.
Step by step ...

Северное сияние

2014-01-02 в 16:31 

wpoms.
Step by step ...

Северный олень

2014-01-02 в 16:34 

wpoms.
Step by step ...

Якутские лошади

2014-01-02 в 16:34 

wpoms.
Step by step ...

Якутские лошади

2014-01-02 в 16:35 

wpoms.
Step by step ...

Якутские лошади

2014-01-02 в 16:35 

wpoms.
Step by step ...

Якутские лошади

2014-01-02 в 16:36 

wpoms.
Step by step ...

Шикша

2014-01-02 в 16:36 

wpoms.
Step by step ...

Хребет Черского

2014-01-02 в 16:37 

wpoms.
Step by step ...

Край тысячи озёр

2014-01-02 в 16:38 

wpoms.
Step by step ...

Вид на Колыму и её приток

2014-01-02 в 16:38 

wpoms.
Step by step ...

Хозяин северного побережья

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная