23:51 

Математический анализ, кратные интегралы

Здравствуйте! Есть 6 заданий:
1. В `iint_D f(x,y)dxdy` расставить пределы интегрирования в том и другом порядке. Область D ограничена кривыми:
a) `D: 3y-4x=0, 3y+4x=0, x^2+y^2+9=10x`
б) `D: y=cosx, y=0, 0<=x<=pi/2`




2. Поменять порядок интегрирования в повторной интеграле
a) `int_0^(pi/2) dx int_0^sinx f(x,y) dy`
б) `int_0^1 dx int_(y^2/2)^(sqrt(3-y^2)) f(x,y) dy`



3. С помощью двойного интеграла вычислить площадь, ограниченную кривыми
а) `r=a(1+cosphi)`, `r=acosphi`, `a>0`
б)`x=0`, `x=2`, `y=x/2`, `y=x/2-3`




4. Вычислить
`iint_D x dxdy` D ограничена линиями `y^2=4x+4`, `y^2=-2x+4`
`iint_D (x^2+y^2)dxdy` D ограничена линиями `x=1`, `y=x`, `y=-x`





5. В `iint_D f(x,y) dxdy` расставить пределы интегрирования в полярных координатах, если область D ограничена линиями:
D: `-2<=x<=2`, `x^2/2<=y<=2`



6. Переходя к полярным координатам, вычислить
`iint_D sqrt(x^2+y^2) dxdy` D - общая часть кругов `x^2+y^2=ax`, `x^2+y^2=ay` , `a>0`




Прошу проверить мои решение, и, если не правильно, помочь исправить ошибки
Заранее большое спасибо!

@темы: Математический анализ

Комментарии
2013-12-23 в 16:16 

Всем доброго времени)
на топик подписываюсь - хотя всё проверить сейчас не успею..
Sunline1990, 1-ое (а) - верно наполовину.. да, линии такие, и рисунок такой ( и точки `(9/5; 12/5)` и `(9/5; - 12/5)` - да, именно точки касания ), и там, где "внешняя" переменная интегрирования `x`, и "внутренняя" - это `y` ( первая часть решения ) - там верно..
а вот там, где "внешняя" `y`- там немного не то.. во "внутреннем" интеграле пределы странные =) нельзя говорить, что `x` изменяется от `+-sqrt{10x - y^2 - 9}` — надо полностью выразить `x` через `y` ( чтобы в пределах по `x` самого же `x` уже не было бы.. ), т.е. должно быть записано что-то такое: `(x- 5)^2 = 16 - y^2`, отсюда `x - 5 = ...` и `x =...`
1-ое (б) - вроде всё верно.

2013-12-23 в 16:30 

2-ое (а) no.. :no: у Вас вот это получилось..
(немного по-другому должны идти `x`-ы.. от синусоиды - до.. ? =))
2-ое (б) что-то не понятное.. если верно то условие, которое на фото ( а в топике - немного не так.. ), то тогда в решении потерян кусок `+ int_{1/2}^sqrt{2} dx int_{0}^1 dy` но тогда и в тех интегралах, которые там записаны - там тоже в пределах не будет нигде `x=1`..
хотя вообще-то я не очень поняла, какое все-таки было условие.. ( `int_{0}^{1} dy int_{y^2/2}^{sqrt(3-y^2)} dx` - так ?.. и "наша" область - это "трапеция" с криволинейными боковыми сторонами ?..)
лучше здесь начинать с перепроверки условия..
------------------------------------------------------------
по остальным смогу ответить разве что ночью.. ( извините..)

2013-12-23 в 21:26 

~ghost, в 1 а) понял, где ошибка, спасибо.
В 2 б) задании правильно то, что на листочке(исправил условие).
Честно говоря, не понял, почему потерян кусок. Я нашел пересечение половинки круга и параболы (`x=1`, `y=+-sqrt(2)`), также нашел пересечение полукруга с осью ох(`R=sqrt(3)`). Диапазон по иксам будет от 0 до 1(первый интеграл), от 1 до `sqrt(3)` (второй интеграл). И по игрекам тоже, что и на фото. Не понял, в чем ошибка(
2. а) тоже не понял, почему другая область. Ведь по иксам идем слева направо, по игрекам снизу вверх...

URL
2013-12-23 в 21:27 

Последний Гость - это я, авторизация "скинулась"

2013-12-24 в 15:26 

Sunline, извините, я не успеваю проверять ( и комментировать..)
2-ое (a) - если Вы берете `x` от `0` до `x = arcsin (y)`, то у Вас получается ТА область, которая от оси `oy` до кривой ( до синусоиды ) - я пыталась ее закрасить красным на рисунке.. А нужна другая область - от кривой и "до упора" - до `x = pi/2` (поменяйте пределы `x`-а)
2-ое (б) Вроде задание такое: `int_{0}^{1}dy int_{y^2/2}^{sqrt(3-y^2)}dx` ( первый, "внешний" интеграл - по `y`, от `0` до `1` ) — тогда получается действительно точка пересечения параболы с окружностью - это `(1;sqrt{2})`, но в задании `y` "не доходят" до `sqrt{2}`, там только до `y=1`, и получается так:

Т.е. если "внешнее" интегрирование - по `x`, то придется разбивать на 3 интеграла..
-----------------------------------
3-е (а) "Нехорошее задание" =( (в смысле я сама сначала ошиблась, когда пыталась посчитать..)
Sunline, рисунок у Вас немного не правильный.. Да, `rho = a*cos(phi)` - это окружность, а `rho = a*(1+ cos(phi))` - кардиоида. Но там будет окружность полностью "внутри" кардиоиды.. Как-то так:


То, что я вчера попыталась сделать: записать, что это будет `2*int_{0}^{pi}d(phi) int_{a*cos(phi)}^{a*(1+cos(phi))} rho*d(rho)` {мол, для кардиоиды `phi` берем от `0` до `pi`, а для окружности - даже если при `phi in [pi/2; pi]` точек вообще не будет - то "это и неважно".. } — и на самом деле получилась глупость.. Sunline, попробуйте понять, почему
не то, чтобы я "заставляла" Вас еще мои ошибки искать =)) но если сами поймете, почему нельзя так - то точно запомните.. =)

На самом деле:

И т.к. `rho = a*cos(phi)` - это окружность `(x - a/2) + y^2 = a^2/4` - радиуса `R = a/2`, то площадь окружности `S_1 = pi*a^2/4`, а для кардиоиды `rho = a*(1+cos(phi))` ее площадь `S_2 = 3/2*pi*a^2` {можно даже считать известным - в справочниках есть =)}, то ответ должен получиться `S = S_2 - S_2 = 5/4*pi*a^2`

2013-12-24 в 16:37 

~ghost, спасибо Вам большое за ответы, разобрался. (с остальным, вроде, тоже)

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная