Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
22:36 

Математическая олимпиада Мексики




Математическая олимпиада Мексики

erdos.fciencias.unam.mx/omm/

читать дальше

В комментарии - условия национального финала 2011 года

@темы: Новости, Образование, Олимпиадные задачи

Комментарии
2012-06-06 в 22:37 

25a Olimpiada Mexicana de Matemáticas, San Luis Potosí Noviembre de 2011

1. Двадцать четыре лампочки располагаются в вершинах правильного двадцатичетырехугольника, двадцать пятая - в его центре. С ними можно выполнять такие операции:
■ Можно взять две вершины, между которыми находится нечетное число других вершин, и изменить состояние состояние лампочек, находящихся в этих двух вершинах и лампочки в центре;
■ Взять три вершины многоугольника, которые образуют равносторонний треугольник, и изменить состояние лампочек, находящихся в этих вершинах, и лампочки в центре.
Докажите, что при любой начальной конфигурации лампочек возможно применением конечного числа указанных выше операций достичь конфигурации в которой все лампочки включены.

2. Пусть ABC - остроугольный треугольник вершины которого лежат на окружности C. l - касательная окружности C, проходящая через точку A. Окружность с центром в точке B и радиусом BA пересекает l в точке D и прямую AC в точке E. Докажите, что прямая DE проходит через ортоцентр треугольника ABC.
Примечание: ортоцентром треугольника называется точка пересечения его высот.

3. Дано натуральное `n >= 3`. Найдите все решения `(a_1, a_2,..., a_n)` системы:

`a_1^2 + a_1 - 1 = a_2`
`a_2^2 + a_2 - 1 = a_3`
.........
`a_{n-1} + a_{n-1} - 1 = a_n`
`a_n^2 + a_n - 1 = a_1`.

4. Найдите наименьшее натуральное число такое, что в его десятичной записи используются только две различные цифры и оно делится на все числа от 1 до 9.
Пример числа в десятичной записи которого используются только две различные цифры: 2202022002.

5. Сетку размера (`2^n - 1`) х (`2^n + 1`) нужно разделить на прямоугольники со сторонами, лежащими на линиях сетки, состоящей из квадратов 1х1. Площади прямоугольников должны быть равны степеням двойки.
Найдите наименьшее количество прямоугольников, на которые можно разделить сетку.
Примечание: 1 считается степенью 2, `2^0 = 1`.


6. Пусть `C_1` и `C_2` - окружности разных радиусов, пересекающиеся в точках A и B. C - точка прямой AB такая, что точка B лежит между A и C. Пусть P и Q - точки на окружностях `C_1` и `C_2`соответственно, такие, что CP - касательная `C_1`, CQ - касательная `C_2`, P не находится внутри `C_2`, Q не находится внутри `C_1`. Отрезок PQ пересекает `C_1` еще и в R и `C_2`еще и в S, обе точки не совпадают с точкой B. Прямая CR пересекает `C_1` еще и в точке X, CS пересекает `C_2` в точке Y. Пусть Z - точка на прямой XY. Докажите, что SZ || QX тогда и только тогда, когда PZ || RX.

Благодарю Дилетант за помощь ...

2012-06-06 в 22:45 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Очень здорово!
Разные национальные олимпиады... Прямо аналог "национальных кухонь" (или кухней?))
Надо теперь выявлять, какая математическая традиция к чему тяготеет. :)

2012-06-07 в 05:23 

Белый и пушистый (иногда)
Спасибо! Очень интересно!

   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная