02:04 

ГУ-ВШЭ Прикладная математика .№5

FirstAID
Из вершины А и С остроугольного треугольника АВС опушены высоты АМ и CN на стороны ВС и АВ соответственно .Из вершин М и N треугольника BMN опущены высоты МР и NQ на стороны BN и BM.Площадь треугольника АВС относится к площади четырёхугольника MNQP как 81:20 .Длина отрезка MN равна 20 .Найдите площадь круга , описанного около треугольника ABC .
Площадь нудо будет искать через формулу
`S=(abc)/(4R)`
Очевидно , что AC||MN||PQ , но как это доказать не знаю ((( .Даже если мы типо это доказали , то не знаю , что делать потом.
Рисунок
(не к спеху )

@настроение: Геометрия не даётся (пока)=))

@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2011-07-24 в 08:31 

Белый и пушистый (иногда)
1. AC не параллельно в общем случае MN.
2. Воспользуйтесь подобием треугольников ABC и AMN. Коэффициент подобия найдите сами.

2011-07-24 в 12:21 

FirstAID
AC не параллельно в общем случае MN. Это общий случай . ( равнобедренный случайно получился )
Воспользуйтесь подобием треугольников ABC и AMN
А почему они будут подобны ?

2011-07-24 в 15:25 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
FirstAID
VEk опечатался, по-видимому
Треугольники АВС и МВN

Это достаточно известный и часто используемый факт: если в треугольнике АВС проведены высоты AM и CN, то треугольники АВС и MBN будут подобны с коэффициентом подобия cosB

2011-07-24 в 18:29 

Белый и пушистый (иногда)
Robot Конечно, MBN. А вот коэффициент подобия FirstAID должен был найти сам. В конце используется теорема синусов.

2011-07-25 в 12:22 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
должен был найти сам
VEk, там его еще долго искать...

Хотела спросить: хоть в каком-то из учебников этотдостаточно известный и часто используемый факт формулируется, доказывается?
Потому что все-таки он не совсем уж очевидный...

2011-07-25 в 13:13 

Белый и пушистый (иногда)
Обычно в качестве задач.

2011-07-28 в 20:47 

FirstAID
А как доказать ,что они подобны?

2011-07-28 в 21:09 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Литература по геометрии для школьников Габович Алгоритмический подход стр. 11-12
или использовать признак подобия: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. (доказать, что MB/AB=NB/CB)

2011-07-29 в 23:55 

FirstAID
А у нас же тут нет пропорциональности сторон .

2011-07-30 в 00:10 

FirstAID
Robot И вообще , такие задачи ( геометрические ) вызывают у меня нервозность и пот .Сижу , часами тужусь , пока , в конце концов не забиваю .Может у меня подход не тот ? Вроде большинство геометрических теорем и формул знаю , но не решаются задачки .Может можете дать какие-нибудь рекомендации ?

2011-07-30 в 07:54 

Белый и пушистый (иногда)
А у нас же тут нет пропорциональности сторон .
Найдите отношение сторон BM:BA и BN:BC.

можете дать какие-нибудь рекомендации ?
Попробуйте посмотреть на книги Фискович, Зеленского, которые есть на полках сообщества.

2011-07-30 в 17:44 

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
какие-нибудь рекомендации

Часто встречается, что человек начинает сразу с решения олимпиадных задач (здесь, правда, просто хорошая планиметрическая, но нельзя сказать, что слишком уж олимпиадная). Потому что он считает, что надо готовиться к олимпиадным задачам.. Да и время поджимает. Но Чтобы решить олимпиадную, надо нарешать достаточное число не слишком убойных геометрических. Чтобы сформировать некое геометрическое мышление, чтобы формулы и теоремы стали чем-то естественным, а не просто списком.
Да, я тоже считаю, что нужно взять какую-то книжку из тех, что рекомендует VEk

2011-08-01 в 12:15 

Проверьте, пожалуйста.
Пусть площадь треугольника АВС равна S.
Треугольник NBM подобен ему с коэффициентом k=cosB. Значит, его площадь равна k^2*S.
В свою очередь, треугольник QBP подобен NBM с тем же коэффициентом подобия k, поэтому его площадь равна k^2*k^2*S.
Площадь четырехугольника MNQP тогда равна (k^2-k^4)*S.
Получаем, что
S/(k^2-k^2)*S=81/20
81k^4-81k^2+20=0
k^2=5/9 или k^2=4/9
Но ведь они оба подходят!
И как быть ?!

URL
2011-08-01 в 12:45 

Белый и пушистый (иногда)
Ответ в обоих случаях получается одинаковый (если не ошибся).

2011-08-01 в 13:11 

Точно!
Они в сумме дают 1.
R=10/k*sqrt(1-k^2)=9sqrt(5)
Спасибо большое!

URL
2011-08-01 в 17:01 

FirstAID
VEk
CN/AB=AM/CB
NQ/MB=MP/NB ( в обоих случаях использованы свойства высот )

`(MB*CN)/(AB*NQ)=(AM*NB)/(BC*MP) ` но , CN/NQ=1/(asinBCN)=AB/MP`
`(BM)/(BA)=(BN)/(BC)=cosB` ` =>` треугольники NBM и ABC подобны . Ну и дальше как написал Гость. Верно ?

2011-08-01 в 17:33 

Белый и пушистый (иногда)
Да.
Полагал, что Вы под Гостем и писали.

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная