Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: Trotil (список заголовков)
11:02 

Trotil
Практическая задачка.

Было в тексте 1000 символов.
(условимся, что все символы в тексте разные).

Удалили 300 символов.
Затем написали 100 новых символов (не встречающихся в изначальном тексте).

На сколько процентов изменился текст?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

16:18 

Trotil
Апелляционный суд Англии и Уэльса выдвинул правовое определение единице: это число, значение которого больше или равно 0,5 и меньше 1,5. Это решение было вынесено во время разрешения патентного спора между фармацевтическими компаниями ConvaTec и Smith & Nephew, сообщает The Independent.

«Цифры, не в меньшей степени, чем слова, меняют смысл в зависимости от контекста. Для лингвиста "единица" означает единицу, не более и не менее. Но в определенном контексте оно может отсылать к значениям, выходящим за пределы целого числа», — заявил лорд-судья Кристофер Кларк (Christopher Clarke).

Судебное дело было вызвано апелляцией компании ConvaTec на решение по патентному спору, в результате которого действие ее патента было признано в отношении лекарств с концентрацией серебра от 0,95 процента до 25,5 процента. Из-за этого конкурирующая фирма Smith & Nephew, в лекарстве которой применялся 0,77-процентный раствор, получила право получать многомиллионные прибыли, ничего не выплачивая ConvaTec.

Решение суда первой инстанции было принято в 2013 году, исходя из правила округления с учетом количества значащих цифр (все числа меньше 0,95 округлялись до десятых: 0,9, 0,8 и так далее). Однако компания ConvaTec обратила внимание судей высшей инстанции на странную асимметрию в первом решении: разница между минимальным значением до целого числа почти в десять раз меньше, чем между максимальным и ближайшим целым. Для исправления этой асимметрии Апелляционный суд учел операцию округления и постановил, что единице соответствует все, что больше или равно 0,5 и меньше 1,5. Таким образом, 0,77-процентный раствор Smith & Nephew теперь попадает под действие патента ConvaTec.

Фирма ConvaTec запатентовала антисептический раствор с содержанием серебра. Патент покрывал любой раствор, содержащий от 1 до 25 процентов всего объема лекарственного средства. Компания Smith & Nephew создала конкурирующий продукт с концентрацией в 0,77 процента.

@темы: Про самолеты

10:37 

Trotil
Придумал задачу.

Как с помощью бросаний одной правильной монеты можно закодировать равновероятное получение одного из пяти чисел {0,1,2,3,4}?
Лучше способ тот, который затребует в среднем меньшее количество подкидывания монет.

Для затравки первый способ, который приходит в голову.
OOO - 0
OOP - 1
OPO - 2
OPP - 3
POO - 4
POP, PPO, PPP - бросаем монету еще три раза.

В среднем, если не ошибся, 4.8 бросков потребуется.
Есть ли способ лучше?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

21:41 

Trotil
На stepic.org открылся курс "дискретные структуры", посвящённый комбинаторике и теории графам. На курс можно записаться прямо сейчас. Первый модуль будет доступен еще неделю.

Курс интересен практической направленностью, постоянно возникают задачи со сложными структурами, свойства которых приходится анализировать самостоятельно. Рекомендую его всем, кто хочет о комбинаторике узнать чуть больше, чем это даётся в стандартном курсе теории вероятностей. Я два модуля прошёл.

Пример среднего по сложности задания:

читать дальше

@темы: Дискретная математика, Комбинаторика, Образование, Теория графов

12:01 

Trotil
Может ли число, записанное из одних единиц, кроме чисел 1 и 11 быть простым?

@темы: Теория чисел

00:41 

Как доказать равенство, не используя индукцию?

Trotil
Как доказать равенство, не используя индукцию?

`sum_{i=1}^{n} S(n,i)*i!*C(n,i)*i = n(n^n-(n-1)^n)`

@темы: Комбинаторика

23:02 

О гипотезе Пуанкаре и о доказательстве Перельмана 2003 года

Trotil
Еще в XIX веке было известно, что если любую замкнутую петлю, лежащую на двумерной поверхности, можно стянуть в одну точку, то такую поверхность легко превратить в сферу. Так, поверхность воздушного шарика удастся трансформировать в сферу, а поверхность бублика – нет (легко вообразить себе петлю, которая в случае с бубликом не стянется в одну точку). Гипотеза, высказанная французским математиком Анри Пуанкаре в 1904 году, гласит, что аналогичное утверждение верно и для трехмерных многообразий.

Доказать гипотезу Пуанкаре удалось только в 2003 году. Доказательство принадлежит нашему соотечественнику Григорию Перельману. Эта лекция проливает свет на объекты, необходимые для формулировки гипотезы, историю поиска доказательства и его основные идеи.



Начало лекции в конспектированном виде на хабре: habrahabr.ru/company/yandex/blog/211851/

Уровень лекции - для продвинутых школьников (и старше).

Рекомендую к просмотру.

Все лекции Малой Школы Яндекса: tech.yandex.ru/education/m/shad/

@темы: Образование, Полезные и интересные ресурсы

22:25 

Trotil
Издательство «ДеАгостини» с 2014 года начала выпускать новую серию книг «Мир математики». Пока вышло всего 2 номера, планируется к выпуску 40 томов (30 + 10 дополнительных). Издание переводное, описание томов оригинальной публикации 2011-2012 года можно посмотреть здесь.

Мир Математики №1 – Золотое сечение – 07.01.2014
Мир Математики №2 – Математики, шпионы и хакеры – 21.01.2014
Мир Математики №3 – Простые числа – 28.01.2014
Мир Математики №4 – Когда прямые искривляются – 04.02.2014
Мир Математики №5 – Секта чисел – 11.02.2014
Мир Математики №6 – Четвертое измерение
Мир Математики №7 – Секреты числа Пи
Мир Математики №8 – Загадка Ферма

Видел в продаже, даже в руках вертел, но решил не покупать - дороговато 249 рублей за брошюру с известными фактами. А вот школьнику такая серия - самый раз - весьма познавательно.

Аннотации к вышедшим выпускам

Фернандо Корбалан, Золотое сечение. Математический язык красоты (т.1) - Де Агостини, 2013
Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение - ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение "божественной пропорции" помогает художникам достичь эстетического идеала. Книга "Золотое сечение. Математический язык красоты" открывает серию "Мир математики" - универсальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.
читать дальше

@темы: Литература

00:14 

Trotil
Хорошие задачи выкладываются на research.ibm.com/ponder. По одной задаче каждый месяц. Задачи публикуются с мая 1998 года.
Им можно отсылать свои решения на проверку. В конце месяца публикуется список решивших и оригинальное решение задачи месяца.

Вот пример задачи:

domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/Ch...

Задача в двух частях:

Часть 1:
Числа от 1 до 9999 (десятичная система счисления) были записаны на бумаге. Этот документ частично был съеден червями. Так вышло, что съедены были только кусочки бумаги, на которых была написана цифра "0". Следовательно, числа 1200 и 3450 превратились в 12 и 345 соответственно, в то время как число 6078 стало выглядеть как два числа 6 и 78. Какова сумма чисел, указанных на поеденной червями бумаге?

Часть 2:
Пусть числа представлены в b-ичной системе счисления. В ней имеются цифры 0,1,2,3,...,a, где "a" численно равно b-1. Первые b^n-1 чисел, от 1 до aaa...a, (это означает последнее n-значное число со всеми цифрами, равными "a") были написаны на бумаге. Так случилось, что именно те части бумаги, на которых были написаны цифры "0", "1", ..., "x-1" были съедены червями (т.е. оставшиеся числа состоят из цифр множества {"x", "x+1", ..., "a"}, и предположим 0<x<a). К примеру, в первой части мы имели b=10, a=9, n=4 и x=1. Какова сумма чисел, сохранившихся на поеденной червями бумаге, выраженная через b, n и x?

Проверить своё решение части 1 и части 2 можно по ссылке выше.

@темы: Полезные и интересные ресурсы

12:27 

Функции с точки зрения абстрактной алгебры

Trotil
Я изучал кольца многочленов в курсе абстрактной алгебры и я изучал многочлены в курсе анализа.
Но сама операция замены переменных элементами кольца в теоретическом курсе мы не проходили, и в учебниках не встречалось. Она преподносилась, как "очевидная".

Меня интересует операция подстановки переменной и формализация этого процесса.
Вот мы можем задать гомоморфизм пси: R[x] -> R. Он переводит элементы кольца в себя, единственное, нужно определить, куда переводится x: пси(x)=a=f(x0) - выбрали. Всё остальное вытекает из свойств гомоморфизма. Явно это не то. Это способ задать f(x0) на всём пространстве кольца многочленов. А как правильно формализовать?

@темы: Высшая алгебра

21:48 

Trotil
Придумал задачу.

Пусть имеется N различных пронумерованных от 1 до N камней в ящике.
Человек за один ход вытаскивает 1 случайный камень, кладёт обратно, записывает его номер. Если его номер был записан ранее, ничего не записывает.
Игра прекращается, когда человек выпишет все номера от 1 до N.
Найти вероятность победить на i-том ходе.
Найти матожидание количества ходов до остановки игры.


У меня получился ответ (в комментариях). Хочется узнать, правильный ли он.

@темы: Порешаем?!, Теория вероятностей

09:52 

Trotil
Найдите дробь вида m/n, которая в десятичной системе счисления будет выглядеть как 0.001002003...997998999...

@темы: Головоломки и занимательные задачи

09:35 

Trotil
Задачка, то и дело возникающая в работе, но не знаю, как её точно решать.

Есть некоторое множество состояний объекта А. Число состояний можно обозначить, как |А|.

И есть функция f:A ->{0,1}, которая проверяет, хорошее состояние объекта, или плохое.

Задача: выявить как можно больше плохих состояний или дать оценку, что плохих состояний нет.
Проблема: все состояния физически проверить невозможно, для этого нет необходимых вычислительных мощностей (даже с учётом обработки данных на вычислительном кластере).
Пусть плохие состояния распределены случайным образом, равномерно.

Вопрос. Пусть мы проверили долю состояний p<1 и обнаружили, что плохих состояний там k штук (k может быть и нулём.). Что можно сказать про вероятность того, что на непроверенном участке плохих состояний - m штук?

Частный случай: проверили 1/1000 состояний, ничего не нашли. С какой вероятностью на оставшейся части есть
0 плохих состояний, 1 плохое состояние, 2 плохих состояния и т.д.?

----------------

Похожую задачу можно сформулировать про опросы. Опросили 5% населения, из них поддерживают некоторое нововведение 30%, не поддерживают 60%, затрудняются ответить 10%. Что можно сказать про мнение населения в целом? Понятно, что для 100% числа могут отличаться. С какой вероятностью, 100% населения поддерживают нововведение, скажем, в доверительном интервале (30-5%, 30+5%). Как такая задача решается в общем виде?

Попыток не будет, ибо это не учебная задача. Статистику в отличие от теорвера в институте преподавали весьма скверно.

@темы: Теория вероятностей

14:14 

Сильные простые числа

Trotil
Недавно заметил, что некоторые простые числа, если их рассматривать в поле комплексных чисел, становятся составными.

Например:
13 = 9+4 = (3-2i)(3+2i)
В то же время как 3 разложить не удаётся (по крайней мере у меня не получилось).

Назовём число `a` сильным простым числом, если оно остаётся простым и в `CC`.

Теоремы, по которым можно установить, сильное ли простое число или нет, мне неизвестны. Но можно увидеть следующее:

- те простые числа, которые раскладываются в сумму двух квадратов - составные в `CC`
- существует утверждение, что (-1) является квадратичным вычетом по основанию p, если p=4n+1. Таким образом для чисел вида p=4n+1 следует, что x^2+1=(x-i)(x+i) делитель числа p, т.е. либо x/p-i/p, либо x/p+i/p должно быть целым, а это и значит, что p разлагается на комплексные множители.
Пример: решением уравнения x^2 = -1 mod 13 есть числа 5,8.
Для числа 5: (5-i)/(3+2i)=1-i целое комплексное.
Для числа 8: (8-i)/(3-2i)=2+i целое комплексное.

Вопросы:
1) Для чисел вида 4n+3 хотелось бы узнать, в каких случаях они разложимы в произведение двух комплексных чисел, а в каких - нет.
2) Обязательно ли условие разложения в сумму двух квадратов для разложения на комплексные множители (вроде бы обязательно)

@темы: Высшая алгебра, Теория чисел

06:49 

Различие математического и гуманитарного подхода к решению задач

Trotil
24.11.2010 в 14:59
Пишет the wanderer Maxima:

Сколько видишь квадратов?
Значит, смотрите. Рисуете квадрат со стороной в 4 маленьких квадрата (то есть внутри одного большого дб 16 маленьких). Теперь смотрим на всю фигуру,что получилась. В ней 32 квадрата. Я вижу 30. Кто-нибудь может найти 32 или,если знает эту загадку, объяснить где еще 2 квадрата?

URL записи

Далее по ссылке - обсуждение этой довольно несложной, но увлекательной задачи людьми и можно понаблюдать зависимость версий решения задачи от различного склада ума. Надо только заметить, что несмотря на то, что задача изначально строго математическая, это не мешает приписывать ей различные дополнительные трактовки. С точки зрения математики это противоречит общепринятым определениям. Но что будет, если абстрагироваться от чёткого условия задачи? (тут возникает интересный другой вопрос - а стоит ли вообще искусственно наделять задачу дополнительными смыслами, которые автором не подразумевались? Правомерен ли переход от математической задачи к более общей?). Предлагаю обсудить.

11:58 

Начались трансляции online из ПомиРАН Computer Science Club

Trotil
31 октября. Computer Science Club

Проблема изоморфизма графов.

4 лекция 11:15 — 12-50
5 лекция 13:00-14:35

Функциональное прграммирование

6 лекция 15:35-17:10

Регистрация не требуется. Доступ к вебинару по ссылке lektorium.tv/online

Для тех, кто опоздал, но хотел бы посмотреть, спустя некоторое время записи лекций выкладываются на сервер. Лекции и расписание можно посмотреть здесь: logic.pdmi.ras.ru/csclub/calendar-lecture/

Архив лекций, начиная с 2008 года, лежит здесь: lektorium.tv/university/?id=2677
Начиная с 2010 года, качество записи аудио и видео значительно повысилось.

05:40 

Жизненная задачка

Trotil
Пусть на дайри в день регистрировалось одинаковое число пользователей и к настоящему моменту зарегистрировалось 1999999 пользователей, которые (в среднем) равномерно пополняют свою библиотеку изображений.
У всех пользователей, имеющие свой ID с 1, изображения хранятся в 1-ой папке, с 2 - во второй и т.д.

Задача - во сколько раз объем первой папки превышает второй?

@темы: Интересная задача!

21:53 

Trotil
MZ
[[TZ]]С какой вероятностью 13-тое число выпадает на пятницу? :-)[[/TZ]]

@темы: Теория вероятностей

00:00 

Trotil
Расчет горизонта: ссылка

Как получается вторая формула?

@темы: Планиметрия

03:32 

Trotil
Пусть F - множество всех дифференцируемых функций одной переменной.
Верно ли, что `d/dx F` совпадает с F?
Можно ли найти предел (или аналог sup и inf ) `lim_(n->infty) d^n/dx^n F` и будет ли он совпадать с F?
Сроков нет.

@темы: Функции

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная