• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: kanoChan (список заголовков)
18:28 

Найти координаты вектора

kanoChan
Здравствуйте!
Заданы две карты, определяемые отношениями `x^{1'}=(x^1)^2-(x^2)^2, x^{2'}=x^1*x^2`. В точке `A` с координатами `x^1=1, x^2=1` задан вектор `u=\partial/(\partial x^1) + \partial/(\partial x^2)`. Найти координаты вектора `u` в базисе `(\partial/(\partial x^1'), \partial/(\partial x^{2'}))`.

Можете подсказать, как хотя бы начать делать?

@темы: Векторная алгебра, Векторный анализ

09:07 

Дифференциальное уравнение

kanoChan
Здравствуйте! При решении задачи к приведению к каноническому виду получилось уравнение `dy/dx= (-xy \pm sqrt(x^2+y^2-1))/(1-x^2)`. Простой метод разделения переменных применить здесь не получится... Можете подсказать как можно здесь провести интегрирование?

@темы: Дифференциальные уравнения

16:24 

Однородное волновое уравнение

kanoChan
Здравствуйте! Дано волновое уравнение `U_{t t}=a^2 U_{x x}` с однородными начальными условиями `U(x,0)=U_{t}(x,0)=0` и граничными условиями `U(0,t)=U_{x}(l,t)=Q/E`, где `Q/E` - это константа.
Верно ли, что сначала надо найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля при условиях `y(0)=0,y'(l)=Q/E`?

@темы: Уравнения мат. физики

20:41 

Отображение области функцией

kanoChan
Здравствуйте!
Имеется функция `f(z, \alpha) = z/((1+z*e^{-i \alpha})^2)`. Нужно найти в какую область она отображает единичный круг.
Собственно, ответ известен, эта функция отображает единичный круг на плоскость с разрезом `t*e^{i \alpha}`, где `t \in [1/4, +\infty)`.

Вводя параметрическое представление окружности `z=e^{i \varphi}`, где `0<=\varphi<=2 \pi`и подставляя ее в функцию `f(z, \alpha)`,у меня не получается луч, данный в ответе... Может что-то упускаю?

@темы: ТФКП

22:26 

Доказательство свойства компактных операторов

kanoChan
Здравствуйте!

Существует следующее свойство компактных (вполне непрерывных операторов): Если А и В - вполне непрерывны то А+В - тоже вполне непрерывен;

Поиск доказательства этого свойства в различных учебных пособиях не увенчался успехом. Подскажите, может в каком-либо учебнике все-таки доказательство этого факта есть. В противном случае,можете подсказать как можно доказать это свойство?

@темы: Функциональный анализ

14:40 

Интеграл с помощью вычетов

kanoChan
Задание следующее: вычислить интеграл с помощью вычетов:
` I= int_{C} (z^3*e^(1/z)dz )/(z+1) `, где `C` - окружность `|z|=2`

Решение

@темы: ТФКП

16:06 

Помогите оценить выражение

kanoChan
Есть выражение `max_{0<=t<=1} | e^(x_n(t))-e^(x(t))|`, надо прийти с помощью оценок данного выражения к выражению, содержащее `max_{0<=t<=1} |x_n(t) - x(t)|`...

Решение

@темы: Математический анализ

13:35 

Норма в общем виде

kanoChan
Дано: `f: R^n -> R, f(x)=alpha_1x_1+alpha_2x_2+...+alpha_nx_n`;
`||x||=sum_{i=1}^{n} |x_i|`. Найти `||f||`.

Решение

@темы: Функциональный анализ

19:29 

Найти норму

kanoChan
Дано: `f: R^3 -> R, f(x)=4x_1-3x_2+x_3`;
`||x||` - евклидова. Найти `||f||`.

Решение:
1) Пусть `A` - линейный ограниченный оператор, `A: X->Y`. Норма оператора A `||A||` - это наименьшая константа `c`, для которой выполняется ` \exists c>0 \forall x in X ||Ax||_{y} <= c*||x||_{x}`;
2) `f`-линейный функционал, это очевидно и легко показать;
3) Докажем, что `f` - ограниченный, то есть `\exists c>0 \forall x in R^3 |f(x)|<=c*||x||`;
4) Пусть `x in R^3`.
Так как норма евклидова, то `||x||=sqrt(sum_{k=1}^{n} (x_k)^2 )`, таким образом мы должны прийти к тому, что `|f(x)|<=c*sqrt(sum_{k=1}^{3} (x_k)^2 ) = c* sqrt(x_1^2 + x_2^2 +x_3^2 )`;
Рассмотрим `|f(x)|=|4x_1-3x_2+x_3|<=4|x_1|+3|x_2|+|x_3|<=4(|x_1|+|x_2|+|x_3|) = 4*sum_{k=1}^{3} |x_k| `...
А вот с дальнейшей оценкой туговато... как можно прийти в итоге к `|f(x)| <= c* ||x||` ?

@темы: Функциональный анализ

18:58 

Привести примеры операторов

kanoChan
Привести примеры операторов в заданных пространствах:
`1) C[0,2) -> C[0,2]`
`2) m -> C[0, infty)`, где `m`-пространство ограниченных последовательностей

В первом, подозреваю, что будет интеграл с пределами от 0 до 2 от какой то функции + еще что-нибудь
А по второму ничего не могу сказать...

Подскажите, пожалуйста, как действовать в таких заданиях?

@темы: Функциональный анализ

13:07 

Задает ли формула оператор?

kanoChan
Дано: `y(t)=(Ax)(t)=1/(x(t)), A:C[0,1] -> C[0,1]`. Задает ли данная формула оператор?

Ход решения:
1) `C[0,1]` - пространство непрерывных функций на отрезке `[0,1]`;
2) Оператор - это отображение, которое каждому элементу одного множества ставит в соответствие определенный элемент из другого множества.
Так как `C[0,1]` - пространство непрерывных функций, то элементами являются непрерывные функции.
3) Проверим, что формула ставит в соответствие непрерывной функции непрерывную функцию

4) Пусть `x_1(t) \in C[0,1]`. Тогда надо проверить определение:

`forall t_0 in[0;1] \ forall epsilon > 0 \ exists \ delta > 0 \ : \ forall \ 0 < |t - t_0| < delta \ => |1/(x_1(t))-1/(x_1(t_0))| < epsilon`
Теперь нужно рассмотреть разность и оценить ее... Подскажите, пожалуйста, как дальше...

@темы: Функциональный анализ

14:28 

Проверить, задает ли формула оператор?

kanoChan
Дана формула `A=\int_{0}^{1} e^{t\tau }x(\tau )d\tau`, `A:C[0,1]\rightarrow C[0,1]`. необходимо проверить, задает ли она оператор? Решаю следующим образом:
Пусть `x1(t)=t`, получаю уравнение `\int_{0}^{1}e^{t\tau }\tau d\tau` и вычисляю его по частям. В ответе получаю `\frac{e^{t}(t-1)+1}{t^{2}}`. Что дальше с этим делать ума не приложу (

@темы: Функциональный анализ

12:15 

Доказать, что оператор является сжимающим

kanoChan
Дано: `X=[0,1], rho(x,y)=|x-y|` - полное метрическое пространство.
Оператор `f: [0,1] -> [0,1]`, является непрерывным оператором и `f(t), 0<=t<=1, |f'(t)|<1` для всякого `t`. Доказать, что `f` - сжимаюший оператор.

Оператор `f:X ->X` называется сжимающим, если `EE 0< alpha < 1 AA x_1,x_2 in X rho(fx_1,fx_2)<= alpha rho(x_1, x_2)`
Надо проверить выполнение неравенства `rho(fx_1,fx_2)<= alpha rho(x_1, x_2)`;
`rho(fx_1,fx_2)=|f(t)x_1-f(t)x_2|=|f(t)(x_1-x_2)|<|f'(t)||x_1-x_2|`, а `|f'(t)|<= alpha`, следовательно `|f(t)x_1-f(t)x_2| <= alpha |x_1-x_2|= alpha rho(x_1,x_2)`, следовательно `f` является сжимающим оператором.

Подскажите пожалуйста, ничего не нарушено при переходе к неравенству с производной?

@темы: Функциональный анализ

11:18 

Является ли полным пространство

kanoChan
Всем здравствуйте!

Является ли полным пространство `C[0,1] \\ {sint}`.

Пространство `C[0,1]` - это пространство всех непрерывных функций на отрезке `[0,1]`, очевидно, что оно является полным.
`sint` - непрерывная функция на `[0,1]`, следовательно пространство `C[0,1]` без непрерывной функции `sint` будет являться неполным.

Рассуждения верны?

@темы: Функциональный анализ

18:42 

Является ли полным метрическое пространство

kanoChan
Является ли полным метрическое пространство `(X, rho)`, где `X=(0,1)` принадлежит `R`, где `R` - полное метрическое пространство, относительно метрики `rho(x, y) = |x-y|`.

Пространство` (X, rho)` называется полным, если всякая его фундаментальная последовательность сходится.
Пусть `{x_n(t)}` - произвольная фундаментальная последовательность из `X`. Покажем, что она сходится.

Так как `{x_n(t)}` фундаментальная, то по определению фундаментальной последовательности `rho(x_n(t), x_m(t)) -> 0`, при `m,n -> oo` для всех `t` из `(0,1)`.
Значит, `|x_n(t)-x_m(t)| -> 0`, при `m,n -> oo`. Устремим `m` к бесконечности, получим` |x_n(t)-x(t)| -> 0` для любого `t` из `(0,1)`, из чего следует, что
последовательность`{x_n(t)}` сходится к `x(t)`, следовательно метрическое пространство `(X, rho)` является полным.

Проверьте, пожалуйста, ход решения

@темы: Функциональный анализ

19:59 

Доказать, l1 лежит в l2 или l2 в l1

kanoChan
Доказать, l1 лежит в l2 или l2 в l1, где l1 - пространство суммируемых последовательностей, а l2 - пространство квадратично-суммируемых последовательностей.

Решение начал так, записал определение пространства суммируемых последовательностей, это ряд |x_n| сходится
Затем записал определение пространства квадратично-суммируемых последовательностей, это ряд (x_n)^2 сходится
Далее, думаю, надо записать условие того, что одна последовательность лежит в другой, и с этим уже возникают трудности.

Подскажите как можно продолжить решение, или может идти по другому пути?

@темы: Функциональный анализ

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная