• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: zodiyelite (список заголовков)
16:17 

Найти фокусы эллипса

Здравствуйте!
Такая вот задача:
Найти фокусы эллипса, получающегося при пересечении цилиндра `x^2+y^2=36` плоскостью `3x+4y+12z=0`.
Что пытался сделать я.
Выразил переменную(`x` или `y`) из второго уравнения и подставил в первое. Получил уравнение эллипса. Однако привести его к каноническому виду не удается(получается слишком "некрасивые" собственные числа, собственные векторы тем более).
При этом ответ вполне красивый. Первый фокус - `(18/13;24/16;-25/26)`, второй симметричен относительно нуля.
В ответе фигурирует число 13, а это длина вектора нормали к плоскости.
Может быть есть какое-то красивое решение этой задачи?
Спасибо.

@темы: Аналитическая геометрия, Линии второго порядка

15:29 

Исследовать интеграл на сходимость

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, найти ошибку в моих рассуждениях(может быть вообще все делаю не верно).
Задача - исследовать интеграл на сходимость:
`int_0^oo sin(x+1/x)/x^ndx`
Мои мысли:
Разобьем интеграл на 2:
`int_0^1 sin(x+1/x)/x^ndx` и `int_1^oo sin(x+1/x)/x^ndx`.
В первом сделаем замену переменных `y = 1 / x`, получим:
`int_1^oo sin(x+1/x)/x^(-n+2)dx`
Значит, нам достаточно понять условия сходимости для интеграла вида
`int_1^oo sin(x+1/x)/x^adx`.
Абсолютная сходимость:
`int_1^oo |sin(x+1/x)|/x^adx >= int_1^oo (sin(x+1/x))^2/x^adx = int_1^oo dx/x^a - int_1^oo cos(2(x+1/x))/x^adx`.
При `a <=1` интеграл не сходится абсолютно, т.е. при `n<=1` не сходится второй интеграл, и при `-n+2 <=1 <=> n>=1` не сходится первый. Таким образом весь интеграл не сходится абсолютно.
Сходимость:
`int_1^oo sin(x+1/x)/x^adx <= int_1^oo dx/x^a`.Т.е. при `a > 1` - сходится.
`int_1^oo sin(x+1/x)/x^adx >= -int_1^oo dx/x^a`.Т.е. при `a <= 1` - расходится.
Получается, весь интеграл сходится при `n>1` и `-n+2 > 1 <=> n < 1`. Таким образом интеграл не сходится.
Где я допустил ошибку?
Спасибо

@темы: Несобственные интегралы

19:45 

Найти матрицу оператора

Добрый день!
Задача: найти матрицу оператора поворота трехмерного пространства на угол `2pi/3` вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями `x_1=x_2=x_3`, в базисе из единичных векторов осей координат.

Мое решение:
Перейдем к новому базису `f_1=((1),(0),(-1)), f_2=((1),(-2),(1)), f_3=((1),(1),(1))`.
Матрица оператора в новом базисе :
`A = 1/2*((-sqrt(3),-1,0),(1,-sqrt(3),0),(0,0,2))`
Матрица перехода:
`T = ((1,1,1),(0,-2,1),(-1,1,1))`.
Обратная ей:
`T^(-1) = -1/6*((-3,0,3),(-1,2,-1),(-2,-2,-2))
Тогда матрица оператора в стандартном базисе равна `TAT^(-1)`.
Ответ указан вообще другой :
`((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0))` и `((0,1,0),(0,0,1),(1,0,0))`.
Как я понимаю в ответе 2 матрицы, потому что не сказано в каком направлении происходит вращение(по часовой или против часовой).
Я же рассматривал только случай вращения против часовой, но матрица в любом случае не получается такой как в ответе.
Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так?

@темы: Аналитическая геометрия, Векторная алгебра, Матрицы, Линейные преобразования, Линейная алгебра

10:27 

Обратный элемент в поле вычетов

Добрый день!
Подскажите, пожалуйста, почему в поле `Z_p` обратный элемент имеет вид `a^(-1) = a^(p-2)`. Насколько я понимаю, используется МТФ, но вывести данную формулу не могу. Спасибо

@темы: Высшая алгебра, Теория чисел

18:59 

Интерполяция многочленом

Здравствуйте!
Вопрос такой - когда нам дана таблица значений функций, мы можем найти интерполяционный полином наименьшей степени методом Лагранжа или Ньютона.
Но что делать, если в качестве известных данных, нам даны не только значения функции, но и ее производной?
Понятно, что можно написать искомый многочлен в искомом виде, подставить все известные точки и получить систему линейных уравнений.
Но нет ли более "красивого" способа? Например, в методе Ньютона мы вычисляем коэффициенты последовательно и насколько я понимаю при добавлении новой точки, мы просто считаем еще одно значение(и старые при этом не меняются).
Например, как наиболее рационально решить какую-то такую задачу:
`f(x_0) = y0, f'(x_0) = y1, f(x_1) = y2, f'(x_1)=y3`.
Спасибо

@темы: Линейная алгебра, Системы линейных уравнений, Теория многочленов

09:41 

Доказать, что специальная линейная группа порождается множеством матриц.

Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, как доказать, что `SL_2(ZZ) = <((0,-1),(1,0)), ((1,1),(0,1))>`.
Не до конца понимаю "на пальцах", что значит группа, порожденная множеством.
Если `a = ((0,-1),(1,0))`, то `a^2 = ((-1,0),(0,-1)), a^3 = ((1,0),(0,1))`
`b=((1,1),(0,1)), b^n = ((1,n),(0,1))`.
Т.е. надо доказать, что любая матрица из `SL_2(ZZ)` представима в виде `\alpha a^k * \beta b^m`?

@темы: Высшая алгебра, Матрицы, Теория групп

17:38 

Доказать утверждение

Даны две пересекающиеся не взаимно перпендикулярные прямые `A_1x+B_1y+C_1 = 0, A_2x+B_2y+C_2 = 0`Доказать, что угол между векторами `n_1 = (A_1,B_1), n_2 = (A_2,B_2)` равен тому из углов между данными прямыми, внутри которого лежат точки, принадлежащие полуплоскостям, определяемым данными прямыми, для координат точек которых левые части данных уравнений имеют противоположные знаки.

Вектор нормали, составленный из коэффициентов уравнения прямой всегда направлен в положительную полуплоскость, относительно этой прямой. Но как строго доказать, то что требуется?

@темы: Аналитическая геометрия

17:52 

Вычислить определитель

Здравствуйте!
Готовлюсь к потоковой контрольной, возникли проблемы с решениями нескольких номеров.
читать дальше
Как я понимаю, здесь легче всего домножить матрицу на какую-то другую и воспользоваться свойством определителя произведения матриц. Но не могу понять, какая матрица здесь нужна.
Что делать со следующим заданием вообще не знаю.
читать дальше
Думал разбить его на 2 определителя, но ничего дельного не вышло. При этом ответ немного похож на определитель Вандермонда, что окончательно меня сбило.
Буду благодарен любой подсказке!

@темы: Матрицы, Линейная алгебра

08:40 

Векторная алгебра

Добрый день!
Хотелось бы найти книжку(возможно методичку), где подробно различные действия в векторной алгебре, причем на конкретных примерах(с теорией все понятно).
Например, как доказывать линейную независимость мне понятно, но почему при поиске базиса суммы подпространств координаты вектора мы уже записываем не в столбец, а в строку мне не ясно.
Хочу именно понять способы решения, а не просто заучить какой-то алгоритм.
Спасибо

@темы: Векторная алгебра

16:44 

Изобразить множество точек на комплексной плоскости

Здравствуйте!
Задание такое - изобразите на комплексной плоскости множество точек вида `2z+z^4`, где `z` пробегает единичную окружность с центром в 0.
Мои мысли: пусть `z = cos(phi) + isin(phi)`.
Тогда `2z+z^4 = (2cos(phi) + cos(4*phi)) + i(2sin(phi) + sin(4phi))`
Значит `Re(2z+z^4) = 2cos(phi) + cos(4*phi)`, а `Im(2z+z^4)= 2sin(phi) + sin(4phi)`
Но как построить это на комплексной плоскости?
Вольфрам выдает красивую картинку, но не понимаю, как это сделать полностью вручную? Спасибо

@темы: Комплексные числа

13:09 

Найти сумму

Здравствуйте!
1 курс, указание - использовать комплексные числа

Найти `S = sin(x) + 2*sin(2*x) + 3*sin(3*x) +ldots + n*sin(n*x)`

До чего дошел - прикреплено в изображении, но как найти мнимую часть А не знаю.
Пожалуйста, подскажите, что делать дальше, а может - как стоило решать задачу более рационально.
Спасибо
читать дальше

@темы: Тригонометрия, Комплексные числа

15:21 

Модель Леонтьева

Может быть не совсем по теме, но может кто - то поможет.
Имеется таблица баланса трех отраслей промышленности.
Далее составляется структурная матрица.
С первыми 2 строчками все понятно, а вот с 3 нет.
Валовый выпуск машиностроения - 50, при этом она потребляет 20 ед. 1 отраслей. Значит ее коэффициент прямых затрат - 20/50 = 0,4
В матрице же указано 0,2.
Подскажите, где я ошибаюсь.
читать дальше

@темы: Математика в экономике, Матрицы

13:03 

Задания из ЗФТШ

Добрый день!
Прошу подкинуть идеи к решению следующих 2 задач:

1) Решить систему:
`{(x+3y+14<=0),(x^4+2x^2y^2+y^4+64-20x^2-20y^2=8xy):}`
Конечно хочется свернуть первые три слагаемых в полный квадрат, но потом не получается сделать какие-либо преобразования.
Насколько понимаю, идея в том, чтобы преобразовать второе равенство и получить две окружности, а первое неравенство задает прямую, касающуюся окружность в единственной точке - и вот оно решение. Но как его найти не понимаю.

2) При каких целых значениях параметра k система неравенств имеет хотя бы одно решение:
`{(x^2+y^2-2x+4y<=k^2+10k+20),(5x^2+5y^2-2kx+4ky<=5-k^2):}`
Преобразовал первое неравенство, получил `(x-1)^2+(y+2)^2<=(k+5)^2`, т.е. это область внутри окружности с центром (1; -2) и радиусом `abs(k+5)`
Из второго пробовал вычитать первое, но дальше не получается.

Заранее спасибо!

@темы: Системы НЕлинейных уравнений, Задачи с параметром

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная