• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: IWannaBeTheVeryBest (список заголовков)
21:40 

Функции нескольких переменных.

IWannaBeTheVeryBest
Задача такая:
"Определяет ли уравнение `F(\vec x, y) = 0` (`F(\vec x,\vec y) = 0`) неявную функцию `y = f(\vec x)` (`\vec y = f(\vec x)`) в точке М? Будет ли эта функция дифференцируема? Если да, найти ее дифференциалы и все производные первого и второго порядков."
Функции две в системе:
`F_1(x, \vec y) = x^2 + y_1^2 - y_2^2 - 1`
`F_2(x, \vec y) = x^2 + y_1^2 + 3y_2^2 - 5`
Точка
`M(1,1,1)`
Я не понимаю, как вообще с системой работать. И так все интересно складывается, что именно в моем варианте дана система. Я рад просто... Ничего не могу нагуглить по этой теме относительно системы. Какие критерии у системы будут тоже не знаю. Может надо по отдельности рассматривать эти функции? Не думаю. Если нет, то как еще и дифференциалы отсюда искать? Ну просто замечательно.
В случае одной функции, там, если не ошибаюсь, можно просто попробовать выразить игрек через икс. А тут что-то странное прямо.

@темы: Математический анализ

23:14 

Задача на дифференциальные уравнения

IWannaBeTheVeryBest
Задача такая.
"Написать уравнение кривой, проходящей через точку M(0; 4), если известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат".
Проблема в том, что здесь столько БУКАФ, что я ничего не могу себе представить. У меня ощущение, что создатели этой задачи специально хотят усложнить ее тупо таким текстом, что ее фиг представишь. Вот что это? "что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью..." Как отрезок может отсекаться отрезком?? Это как? Этот отрезок от 0 до какого-то "а" или от 4 до "а"?
В общем-то все остальное конечно понятно, но представить я это просто не могу. Ну конечно же мне надо найти такую кривую, поэтому, теоретически, я и не должен ее себе представлять. Что делать? Или есть какой-то аналитический шаблон?

@темы: Математический анализ, Дифференциальные уравнения

17:06 

Условный экстремум функции при заданном уравнении связи.

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Вообще мне попалась задачка несколько по-сложнее. Дело в том, что она текстовая и нет явной функции и уравнения связи. Вот задача.
"В заданный шар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема." Собственно все.
Мои действия. Если требуется вписать параллелепипед наибольшего объема, то надо найти максимум этого объема или максимум функции `f(x, y, z) = xyz`
Уравнение связи. Здесь, как я полагаю, нам надо описать радиус шара, но так как нам дан еще и параллелепипед, то я подумал, что как-то через стороны надо выражать этот объем. Думаю, что уравнение связи должно быть таким
`(4/3) * pi * (sqrt {x^2 + y^2 + z^2})^3 = (4/3) * pi * R^3`
В итоге, функция Лагранжа, будет выглядеть так:
`L = xyz + \lambda * ((4/3) * pi * (sqrt {x^2 + y^2 + z^2})^3 - (4/3) * pi * R^3)`
Это верно? Или я что-то не так делаю? Просто если так, то там такие некрасивые получаются уравнения в системе... Лучше бы это было неправдой, чем возиться со всем этим решением. Заранее спасибо))

@темы: Математический анализ

13:07 

Сделать рисунок поверхности второго порядка

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. У меня было задание привести квадратичную форму к каноническому виду.
`5x^2 - 2y^2 -2yz - 2z^2 = 0`
К каноническому виду я привел. Вышло что-то вроде
`5x^2 + 2sqrt{5}(1 - sqrt{5})y^2 - 2sqrt{5}(1 + sqrt{5})z^2 = 0`
Это конус, и как его изобразить, даже несмотря на такие кривые значения, я представляю. Можно сделать, собственно, примерно. Просто ввести обозначения и сказать какая полуось какое расстояние имеет. Но в задании сказано: "Сделать рисунок, интерпретируя ортогональное преобразование координат как некоторый поворот системы координат в `R^3`".
Приводил к каноническому виду так:
1. Нашел собственные значения матрицы квадратичной формы
2. Нашел собственные векторы
3. Нормировал их. (в данном случае я забыл это сделать, но это не трудно. все равно вышел диагональный вид)
4. Составил матрицу `B` из найденных собственных векторов (по столбцам)
5. Произвел преобразование `B^T*A*B`
6. Получил в итоге такую каноническую форму.
Что значит "интерпретировать, как поворот системы координат"? Я думал, что надо изобразить поверхность, которая дана вначале и которую я получил в конце. Поверхность будет та же самая, но находится эти поверхности будут в разных точках пространства. Что делать?

================================

В общем-то я привел ее к каноническому виду
`5x^2 - 2y^2 - 2yz - 2z^2 = 0 -> 5x^2 - 3y^2 - z^2 = 0`
Но в задании сказано: "Сделать рисунок, интерпретируя ортогональное преобразование координат как некоторый поворот системы координат в `R^3`"
Что это значит?
Сорри за повтор. Просто тогда я не поставил тему, да и привел не так к каноническому виду.

@темы: Аналитическая геометрия, Линейная алгебра

16:33 

Задача на доказательство

IWannaBeTheVeryBest
В n-мерном евклидовом пространстве дано подпространство `L` и линейно независимые векторы `a_1, \dots, a_p`. Обозначим `a'_1, \dots, a'_p` ортогональные проекции этих векторов на `L`. Доказать, что
`det \Gamma (a_1, \dots, a_p) >= det \Gamma (a'_1, \dots, a'_p)`
Я думал вводить еще вектора `a''_1, \dots, a''_p`, как вектора ортогональных дополнений. Потом указать, что
`\Gamma (a) = \Gamma (a') + \Gamma (a'')`
Обозначил коротко, без перечисления. Просто как обозначения систем векторов.
Потом если взять детерминанты во втором уравнении и подставить в первое, то получится, что
`det \Gamma (a'') >= 0`, что в общем-то верно, c одной стороны, ведь матрица Грама положительно определена, но мне кажется, что это слишком коротко и я тут где-то ошибся. Сомнения мои от того, что матрица Грама не может быть нулевой. Ну вернее иметь детерминант нулевой.
Может как-то надо в другом направлении двигаться?

@темы: Линейная алгебра

14:30 

Скалярное произведение

IWannaBeTheVeryBest
При каких условиях на матрицу квадратную матрицу P размерностью NxN данная функция является скалярным произведением в пространстве матриц МхN
`F(X, Y) = trX^TPY`
В ответах сказано, что она должна быть положительно определенной. Во-первых, почему она должна быть симметричной? Ведь, если я правильно понимаю, определенность определяется только у симметричных матриц. Я так понимаю здесь важен критерий `P^T = P`. Во-вторых я не совсем понимаю, как на матрицах проверять признаки. Например
`F(X, Y) = F(Y, X) => trX^TPY = trY^TPX`
Здесь наверняка есть какое-то свойство матриц. Может быть матрицы между собой можно как-то транспонировать? Ведь в итоге след последней матрицы не поменяется. Хотя я могу ошибаться.
Другие свойства попытаюсь сам, но если что спрошу тут))
И да, не подскажете кое-что по технической части? Касается скрипта, который отображает формулы. При каждом новом запуске хром блокирует его. Я смотрел в инете решения проблем, но вдруг тут у кого-то было что-то подобное? Может быть тут кто-то решил эту проблему, не залезая в реестр? Причем у меня на ноуте стоит линукс убунту. И, как ни странно, там этот скрипт спокойно живет. На ПК стоит лицуха винда 7.

@темы: Матрицы

11:11 

Ортогональная проекция 2.

IWannaBeTheVeryBest
Задание из типового расчета.
Вещественное евклидово пространство `X` реализовано как `R^5` со стандартным скалярным произведением. Подпространство `L` евклидова пространства `X` задано как линейная оболочка векторов
`a_1 = (-2, 1, -1, -5, -1)^T, a_2 = (1,-1,1,3,0)^T, a_3 = (1,3,-1,1,2)^T.`
Задан также фиксированный вектор `x`
`x = (1,-2,2,4,-1)^T`
Найти ортогональную проекцию `x_L` вектора `x` на подпространство `L` и ортогональную составляющую `x_M` этого же вектора.
Решение получить двумя способами:
Первый способ.
1)Найти ортонормированный базис подпространства `L`;
2)Написать явный вид ортогонального проектора `P_L` на подпространство `L`;
3) Вычислить с помощью `P_L` ортогональную проекцию `x_L`, а затем и `x_M` (как разность `x_M = x - x_L`)
Второй способ.
1) Найти неортонормированный базис подпространства `L` (анализируя структуру `L` как линейной оболочки векторов `a_1, a_2, a_3`);
2) С помощью представления `x = x_L + x_M` (где `x_L` разложено по базису `L`),
3) Составить и решить систему линейных уравнений для определения коэффициентов разложения `x_L` по базису `L`.

Знаю я тут такой способ.
`x_L = \alpha_1*a_1 + \alpha_2*a_2 + \alpha_3*a_3`
`x = \alpha_1*a_1 + \alpha_2*a_2 + \alpha_3*a_3 + x_M`
Дальше скалярно умножаю уравнение на вектора оболочки и получаю 3 уравнения в системе. Отсюда вытекает `x_L` ну и `x_M`.
К какому из этих двух он относится? Я вроде как решаю систему уравнений (второй способ), с другой стороны я вычисляю `x_M = x - x_L` - первый способ.

Если по логике, то это второй больше способ. Я не ищу ортонормированный базис.
Кстати я решил таким способом и у меня `x_M` равен нулевому вектору. Такое возможно?
Первый способ.
Ортонормированный базис я найду методом ортогонализации, затем нормирую.
Что там про явный вид ортогонального проектора?
Там в методе ортогонализации есть оператор проекции, вид которого я знаю, но, боюсь, это не то. Как с помощью проектора вычислять ортогональную проекцию? Может ответ банален и прост, но я что-то не помню, чтобы делал это.

@темы: Линейная алгебра

13:58 

Жорданова форма матрицы

IWannaBeTheVeryBest
Такое ощущение у меня, что я вроде как знаю теорию, а вроде и нет...
Найти Жорданову форму матрицы
$A = \left(\begin{array}{c c c}-13/4 & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & -11/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right)$
Находим детерминант матрицы
$A = \left(\begin{array}{c c c}-13/4 - \lambda & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & -11/4 - \lambda & 1/2 \\ 0 & 0 & -3 - \lambda \end{array}\right)$
И приравниваем его к 0. Находим корни. Уже посчитал. `\lambda = -3` (кр.3)
Дальше подставляем это значение в матрицу и расширяем ее нулями. Ну просто мы же по идее подставляем это значение в характеристическое уравнение.
Как расширять тут матрицу я не знаю. Ну можно пока обойтись. Получится матрица
$A = \left(\begin{array}{c c c}-1/4 & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Она же
$A = \left(\begin{array}{c c c}-1/4 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Находим вектор.
`x_2 = C_2`, `x_3 = C_3` (индексы те же поставил, чтобы не запутаться)
`x_1 = C_2 + 2C_3`
Вектор можно такой построить
`\xi_1 = C_2(1, 1, 0)^T + C_3(2, 0, 1)^T`
Теперь нахожу присоединенный. То есть, как я понимаю, в расширении матрицы теперь должен стоять какой-то из этих двух векторов, предположим первый. Просто второй сомнительно туда ставить.
У матрицы также останется только верхняя строчка, только расширенная единицей. Добавится новый вектор
`\xi_3 = (-4, 0, 0)^T`
Где я ошибся? Из этих же векторов составляется матрица, скажем, S, благодаря которой получается Жорданова форма
`J = S^(-1)AS`

@темы: Матрицы, Линейная алгебра

19:18 

Переход от базиса к базису.

IWannaBeTheVeryBest
В общем-то я имею представление, как составлять матрицу перехода. Ну вот у меня дан такие базисы.
`g_1 = 1/sqrt(10) * (1, 1, -2sqrt(2))^T`, `g_2 = 1/(2sqrt(2)) * (2, -2, 0)^T`, `g_3 = 1/sqrt(10) * (2, 2, sqrt(2))^T` - ортонормированный.
`a_1 = (1, 1, -2sqrt(2))^T`, `a_2 = (3, -1, -2sqrt(2))^T`, `a_3 = (4, 2, -sqrt(2))^T` - не ортонормированный.
И мне надо выписать матрицу перехода от базиса `a` к базису `g`.
Все довольно просто с этими базисами. Ну было до этого момента.
`a_1 = \alpha_1 * g_1 + \alpha_2 * g_2 + \alpha_3 * g_3`
`a_2 = \alpha_4 * g_1 + \alpha_5 * g_2 + \alpha_6 * g_3`
`a_3 = \alpha_7 * g_1 + \alpha_8 * g_2 + \alpha_9 * g_3`
Найденные "альфы" записываются в столбик и образуется матрица перехода. Только вот не совпадает она с ответом у меня. Решать такие кривые системы не стал. Юзал вольфрам. Есть вероятность того, что я не так мог написать что-то в вольфраме. Но боюсь проблема в том, что я перехожу от не ортонормированного базиса, к ортонормированному.
В общем-то это вторая половина задачи. Найденные вектора базиса `g` сверены по ответам. Найдены путем ортогонализации от базиса `a`.

@темы: Линейная алгебра

11:26 

Ортогональная проекция полинома.

IWannaBeTheVeryBest
Найти ортогональную проекцию полинома `35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4` на подпространство полиномов степени не выше 2.
Скалярное произведение определено как `F(p, q) = sum_(i = 0)^(n) a_i * b_i`.
Когда задача была с векторами, то там было все понятно. `x = x' + x''`, где `x'` - ортогональная проекция на `L`
Я просто брал вектора, на которые было натянуто подпространство, и с ними составлял систему уравнений. А вот что тут сделать - не ясно.
Если формула сохраняться должна та же, только для полиномов, то тогда, как я предполагаю, p'(t) - это как раз подпространственный, если так можно выразиться, полином. Именно он будет степени не выше 2. Тогда `35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4 = a_1t^2 + a_2t + a_3 + p''(t)`
Дальше, на примере векторов, я расписывал `x'`. То есть, если проводить аналогию, то `a_1t^2 + a_2t + a_3 = 35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4 - p''(t)`.
Только вот с векторами-то я это все расписывал как линейную комбинацию. Ну вектор `x'` у меня составлял линейную комбинацию. Я домножал уравнение на данные вектора в линейной оболочке скалярно и находил коэффициенты. Тут такого нет.

@темы: Линейная алгебра

20:39 

Ортогональная проекция.

IWannaBeTheVeryBest
Вот такая задача.
Подпространство L - линейная оболочка векторов `a_1, ... , a_k`. В ортонормированном базисе заданы координатные столбцы этих векторов и координатный столбец `\xi` вектора `x`. Найти координатные столбцы `\xi'` и `\xi''` ортогональных проекций вектора `x` на `L` и `L^\perp`.
`a_1 = (2, 3, 0, 1)^T`, `a_2 = (0, 5, -2, -1)^T`, `\xi = (6, 0, 4, 2)^T`.
Ну и идея моя в том, чтобы составить систему линейных уравнений с двумя уравнениями, чтобы получить два ортогональных вектора из ортогонального подпространства. Ортогональное дополнение короче говоря. Таким образом я получу 2 вектора плюсом. Дальше, по формуле `\xi' = \xi - \xi''` я найду ортогональную проекцию на L. Просто я подразумеваю, что один из этих двух векторов можно взять за `\xi''` (или нет?) и спокойно дорешать. И я так и делал пока, опять же, не посмотрел в ответы. Причем меня смущает тот факт, что при решении такой системы, получается сразу 2 ортогональных вектора из ортогонального подпространства, хотя по теории такой вектор может только однозначно расписываться в сумму двух других.
Была идея получить такой вектор с помощью решения уравнения из линейных комбинаций двух данных векторов и двух тех, которые получаются. Ну типа
`\xi = \alpha * a_1 + \beta * a_2 + \gamma * x_1 + \delta * x_2`, где `x_1` и `x_2` найденные векторы, в результате решения системы.

IWannaBeTheVeryBest, не забывайте указывать @темы.

@темы: Линейная алгебра

15:24 

Ортогональное дополнение.

IWannaBeTheVeryBest
Вот такая вот задачка.
Подпространство L задано как линейная оболочка векторов, имеющие в ортонормированом базисе координаты:
`(3, -15, 9, 1)^T` и `(3, -6, -3, 2)^T`.
Найти: 1)Матрицу системы уравнений, определяющую `L^\perp`
2) Базис в `L^\perp`
Как я думал подойти. Ну вообще может я не то хочу находить, но по учебнику так обозначается ортогональное дополнение вроде как.
Каждый вектор из ортогонального дополнения ортогонален каждому вектору из изначального подпространства, ведь так?
Ну вот я как бы и попытался составить систему уравнений из двух уравнений с четырьмя неизвестными, для того чтобы найти третий вектор, перпендикулярный двум этим. Не вышло. Потом до меня дошло, что надо проверить на ортогональность данные вектора. Оказалось, что они не ортогональны друг другу, значит найти третий вектор, перпендикулярный двум этим не получится. Может найти сначала какой-то вектор, перпендикулярный какому-то из этих двух? Я просто как-то сильно не въезжаю. Или надо сначала найти базис в L...

@темы: Линейные преобразования, Линейная алгебра

11:36 

Скалярное произведение

IWannaBeTheVeryBest
1) В пространстве многочленов степени <= 3 со стандартным скалярным произведением задан треугольник со сторонами t, t^3 и t - t^3.
Найти углы треугольника и длины его сторон.
Не могу понять, как находить скалярное произведение полиномов? Блин, в учебнике рассказано про Евклидовы пространства, как пространства с векторами. Действия с векторами я понял. Тут даны полиномы. Просто ступор.
2) В линейном вещественном пространстве даны два скалярных произведения `(x, y)_1` и `(x, y)_2`. Доказать, что функция `(x, y) = \lambda * (x, y)_1 + \mu * (x, y)_2`также будет являться скалярным произведением для любых положительных `\lambda` и `\mu`.
Здесь не понятно почему именно для положительных сказано. Да и вообще как доказывать? Ну я могу сказать, что сумма скалярных произведений - это скалярное произведение, так как... Ну и там по аксиомам пройтись типа коммутативности (кстати не ясно как дистрибутивность доказывается, когда даны только 2 элемента) и т.д.
Помогите плз.

@темы: Линейная алгебра

14:11 

Остаточный член в формуле Тейлора

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Помогите пожалуйста разобраться с остаточным членом в форме Шлемильха и Роша.
Читаю я тут Фихтенгольца и смотрю как там остаточные члены выводятся. Не в форме Пеано.
Будет возможно долго, но пожалуйста прочтите краткий экскурс, кто не в курсе как оно по Фихтенгольцу)) Вопрос у меня довольно простой.
Ну значит там говорится...
1) рассматривается какой-то отрезок `[x_0, x_0 + H]`, ну и на нем существуют
и непрерывны первые n производных функции `f(x)` (`f'(x), f''(x), ... , f^(n)(x)`), а также существует и конечна `n+1` производная.
2) Дальше в силу `r_n(x) = f(x) - p(x)` вытекает:
`r_n(x) = f(x) - f(x_0) - ((f'(x_0))/(1!)) * (x - x_0) - ((f''(x_0))/(2!)) * (x - x_0) - dots - ((f^(n)(x_0))/(n!)) * (x - x_0)`
3) Потом, фиксируя определенное значение на данном промежутке, вводится вспомогательная функция:
`varphi(z) = f(x) - f(z) - ((f'(z))/(1!)) * (x - z) - ((f''(z))/(2!)) * (x - z) - dots - ((f^(n)(z))/(n!)) * (x - z)`, где `z in [x_0, x]`
Также на `(x_0, x)` существует `varphi'(z) = -((f^(n)(z))/(n!)) * (x - z)`
4) Вводится произвольная функция `psi(z)`, которая никак не определяется, только со свойствами: непрерывна на промежутке `[x_0, x]` и
имеет ненулевую производную на `(x_0, x)`.
Почти приехали))
5) Применяем формулу Коши к `varphi(z)` и `psi(z)` получаем:
`(varphi(x) - varphi(x_0))/(psi(x) - psi(x_0)) = (varphi'(c))/(psi'(c))`, где `x_0 < c < x` или `c = x_0 + theta(x - x_0)`, где `0 < theta < 1`
6) В силу того, что `varphi(x) = 0, varphi(x_0) = r_n(x), varphi'(c) = -(f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n` мы получаем
`r_n(x) = (psi(x) - psi(x_0))/(psi'(c)) * (f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n`
И вот теперь получается так, что подставляя вместо `psi(z)` любые, удовлетворяющие условиям функции, мы получаем различные формы дополнителного члена.
Внимание вопрос.
Пусть `psi(z) = (x - z)^p,p>0` => `psi'(z) = -p(x - z)^(p-1), x_0 < z < x`
Тогда `r_n(x) = (-(x-x_0)^p)/(-p(x-c)^(p-1)) * (f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n`
Это как так получилось-то? Ну я про последние строчки. Как мы так подставляем, что получается множитель `(-(x-x_0)^p)/(-p(x-c)^(p-1))`?
Причем понятно как получился знаменатель примерно. Он как производная выглятит. А вот как числитель? Такое ощущение складывается, что `psi(x) = 0`.

@темы: Математический анализ

09:32 

Дискретная математика.

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Не нашел нигде, кто бы мог решить вот эти 2 задачки или хотя-бы поставить на правильный путь.
1. "Доказать, что если P - силовская подгруппа в G, то нормализаор нормализатора P равен нормализатору P"
Ну начну с того, что знаю.
Порядок конечной группы - это мощность или количество элементов этой группы. Пусть `G` — конечная группа, а `p` — простое число, которое делит порядок `G`. Подгруппы порядка `p^t` называются p-подгруппами. Выделим из порядка группы `G` примарный делитель по `p`, то есть `|G| = p^ns`, где `s` не делится на `p`. Тогда силовской p-подгруппой называется подгруппа `G`, имеющая порядок `p^n`.
Определение нормализатора группы
`N_G(P) = {g in G | gP = Pg}`
Ну я это понимаю как множество всех элементов в G которые коммутируют со всеми элементами в P.
С чего бы начать? Я просто очень слабо в этом соображаю.
Ну вот предположим, что G - группа, с какими-то рандомными элементами.
Скажем, что мощность или порядок G = 90. Простое число p = 3 делит порядок G = 3^2 * 10, где 10 не делится на 3. Таким образом у нас есть 3-подгруппа силовская, имеющая порядок 3^2. Так вот, нам надо опеделится с тем, что такое этот номализатор скажем 3-группы. Так что это? Ну это какое-то множество элементов, которые коммутируют со всеми элементами нашей 3-группы. Нормализатор нормализатора в моем представлении - это и есть наша 3-группа. Вот тут то и начинаются странности


2. "Пусть S - полугруппа эндоморфизмов End V линейного пространства V (умножение - композиция эндоморфизмов). Доказать, что любой идеал в S - главный. (т.е. порождаетсяодним элементом)"
Плииииз хоть кто-нибудь, хоть немного.

@темы: Дискретная математика, Теория групп

22:03 

Исследовать ряд на сходимость и найти сумму функциональной посл-ти.

IWannaBeTheVeryBest
Ребят, всем снова привет. Выручайте. На завтра надо 1 ряд исследовать.
Первое задание исследовать ряд на сходимость - `sum int_{0}^{1/n} (x^(1/3))/(1 + x^4) * dx`
По обычаям этого сайта я наверное не могу просить полного решения. Тут только помогают. Поэтому как обычно говорю, что пытался делать.
Этот ряд будет сходится, если сходится интеграл. Интегрировать такую штуку довольно неприятно. Но, все-таки, через 2 замены получилось что-то приятное.
После первой `x = t^3, dx = 3t^2dt` у меня вышло `int (3t^3)/(1 + t^12) * dt`.
После второй `p = t^4, dp = 4t^3dt` вышло `3/4 * int 1/(1 + p^3) * dp`
Дальше можно на простейшие дроби развалить. У меня вопросов 2.
1) Не упустил ли я чего и верные ли рассуждения.
2) Можно ли как-то по-другому.
И да. Только не ругайтесь, но мне проще сначала найти интеграл, затем сделать обратную замену и уже потом подставлять пределы, чем ковырятся на каждой замене с пределами. :D

И вот второе - найти сумму посл-ти.
`x^3/3 + x^7/7 + x^11/11 + ... + (x^(4n - 1))/(4n - 1) + ...`
Нигде не могу найти примеры. Все что нашел - 1) продифференцировать почленно, 2)найти сумму геометрической прогрессии, 3) проинтегрировать обратно
1) Дифференцируем...
`x^2 + x^6 + x^10 + ... + x^(4n - 2) + ...`
2) Ищем сумму...
`S = (x^2 * (1 - x^(4n)))/(1 - x^4)`
3) Интегрируем...
`int_{0}^{x} (x^2 * (1 - x^(4n)))/(1 - x^4) dn`
Ответ вышел какой-то такой
`(x^3 * ln(x) - x^(4x + 2) - x^2)/((1 - x^4) * ln(x))`, но это уже мало важно. Мне главное верно ли я проделал алгоритм.
Спасибо))

@темы: Ряды

19:53 

Исследовать интеграл и ряд на сходимость.

IWannaBeTheVeryBest
1) int (ln(2 - (x/2))*ctg(sqrt(pix/2)))/sin(x - 2) dx from 0 to 2

2) sum (ln((n+1)/n))/(ln(n + 2))^(3/2)

Насчет 1 чето вообще нет идей. Ну может как-то по тейлору разложить функции?По Дирихле не разбить, так как нужно, чтобы какая-то из функций имела на нижнем пределе предел 0. Ну при x->0 в данном случае, предел такой функции должен быть равен 0. Таких тут нет. ctg периодичен. Если например попробовать по Абелю, где 1/sin(x - 2) ограничена, то ее предел при x (0; 2] должен быть равен А < inf.
Насчет второго вообще позор. Это вроде же числовой ряд. Там делать нечего должно быть. Я и тут умудрился затупить. Вообще ничего в голову не идет. Пытался подобрать такую функцию, которая в отношении с этой будет давать в пределе какое-то число > 0 и которую можно проверить на сходимость по интегральному Коши скажем. Тоже не знаю что делать. Плизз хелп.

@темы: Ряды, Несобственные интегралы, Математический анализ

01:00 

Определить сходимость рядов по Коши (1) и найти предел последовательности

IWannaBeTheVeryBest
Всем снова привет)) Кстати с прошедшим всех днем победы)) Не поможете с этими последовательностями
1. x(n) = x(n - 1) + (-1)^n*(5/7)^n
Нужно по критерию Коши определить сходится последовательность или нет.
Все что я знаю, так это надо взять разность посл-тей x(n) и x(n + m), а вернее составить такое неравенство
|x(n) - x(n + m)| < epsilon
Но блин тут еще какой-то x(n - 1) затесался. Очень сбивает. Или может просто как-то предположить, что m = -1, ну и перенести x(n - 1)?
Ну что-то вроде
x(n) - x(n - 1) = x(n) - x(n + m) = (-1)^n*(5/7)^n - (-1)^(n + m)*(5/7)^(n + m) < epsilon
2. Нужно найти предел последовательности (1 - 4 + 5 - 8 + ... + (4n + 1) - (4n + 4))/(2n + 5). Ну n как обычно к бесконечности. Я на самом деле вообще не люблю вот такие задания, где в числителе многоточие... Ну в общем вот такая вещь в числителе. Помню находил как-то материал по этой теме. Так там была чисто арифметическая прогрессия, сумму которой я был в состоянии найти. Тут вообще 0. Да еще и на конце эти 2 странные скобки, которые если раскрыть, то 4n сократится. Хотя может их и не надо раскрывать. Подскажите хоть как такое находить.
Спасибо большое)) Уже несколько раз выручали. Замечательный просто сайт))

@темы: Математический анализ

16:39 

Найти sup, inf и нижний и верхний пределы последовательности

IWannaBeTheVeryBest
Всем снова привет))

`x(n) = ((5n - 7)/(2n + 5)) * cos((2 + (-1)^n)*pi/6)`

В общем я что-то нарешал тут, но не знаю правильно или нет.
1) sup и inf
Косинус принимает значения либо 0, либо sqrt(3)/2. Поэтому при всех четных значениях n последовательность обнуляется
НО, при n = 1 у нас выходит единственное отрицательное значение, так как и n нечетное и числитель дроби будет отрицателен.
Поэтому в этом значении получается inf последовательности, ну как я думаю.
А вот с sup по-сложнее. Выходит, что супремум будет в каком-то n, который нечетный. Какое-то значение n*sqrt(3)/2. Поэтому тут пока не пойму какое значение.
2) Пределы
Как я думаю, можно сравнить данную посл-ть с другой. Например с ((5n - 7)/(2n + 5))*(sqrt(3)/2) которая больше либо равна данной в задании. А предел этой последовательности 5*sqrt(3)/4. Я думаю, что это верхний предел.
А нижний равен 0, так как при больших n он не опускается ниже потому что значение дроби постоянно растет.
Спасибо за внимание)) Жду поправок. Скажите, где я не так сделал что-то. Буду очень рад))

@темы: Математический анализ

14:27 

Доказать предел по определению

IWannaBeTheVeryBest
Здравствуйте еще раз)) Нужно доказать по определению этот предел

`lim_{n to oo} (sqrt(n+1)*arc ctg(n))/(2n+5)=0`
Я вроде как преобразовал arcctg(n) = arctg(1/n) ~ 1/n
Во-первых я не знаю можно ли пользоваться эквивалентными бесконечно малыми при доказательстве по определению
Во-вторых "|f(n)| < epsilon" нам надо привести к виду "n > delta(epsilon)", но я не в курсе, как явно выразить n.
P.S. Возможно я вообще не так что-то говорю. Поэтому жду хотя бы намека на то, как это можно сделать. Спасибо))

@темы: Математический анализ

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная