Записи пользователя: IWannaBeTheVeryBest (список заголовков)
02:33 

Восстановление функции комплексного переменного.

IWannaBeTheVeryBest
Такая задача. Восстановить аналитическую функцию в окрестности точки `z_0` по известной мнимой части и функции `f(z_0)`
`v(x, y) = 1 - y/(x^2 + y^2)`
Очевидно, надо перейти к полярным координатам. Получим
`v(r, \phi) = 1 - sin(\phi)/r`
Условия Коши-Римана в данном случае будут выглядеть так
`r * (du)/(dr) = (dv)/(d\phi)`
`(du)/(d\phi) = -r * (dv)/(dr)`
Уж извините, я привык обозначать через "эр", а не через "ро"))
Далее все должно быть просто
`(dv)/(d\phi) = r * (du)/(dr) = -cos(\phi)/r` `=>` `(du)/(dr) = -cos(\phi)/r^2`
`u(r, \phi) = -cos(\phi) * int (dr)/r^2 + g(\phi) = cos(\phi)/r + g(\phi)`
`r * (dv)/(dr) = -(du)/(d\phi)`
`r * sin(\phi)/r^2 = sin(\phi)/r + g'(\phi)`
`g(\phi) = C`
`f(z) = cos(\phi)/r + i(1 - sin(\phi)/r) + C = 1/r * (cos(\phi) - isin(\phi)) + i + C`
Ну еще можно так
`f(z) = 1/r * e^{-i\phi} + i + C`
Переходя обратно к декартовым координатам, я получил бы
`f(z) = 1/|z| * (x/|z| + iy/|z|) + i + C = 1/|z|^2 * (x + iy) + i + C = 1/|z|^2 * z + i + C`
`f(1) = 1 + i + C = 1 + i` `=>` `C = 0`
Это верно? Если да, то как-то можно было прийти к тому-же результату, не переходя обратно к декартовым координатам?

@темы: ТФКП

18:10 

Книги по ТФКП

IWannaBeTheVeryBest
Посоветуйте хорошие книги по ТФКП пожалуйста. Желательно, чтобы было что-то вроде наподобие Фихтенгольца, а именно, чтобы после части теории были примеры решений. Если такие вообще есть.

@темы: ТФКП

22:50 

Тензоры

IWannaBeTheVeryBest
Я уже задавал здесь вопрос по тензорам, но видимо он оказался слишком длинным. Можно вот так.
Почему линейное преобразование является тензором типа/валентности (1, 1)?
Вот что сказано в книге по этому поводу

Про двумерную матрицу ясно. Поэтому и ранг тензора, если я верно выражаюсь, равен 2 (1 + 1).
Как преобразование элементов матрицы преобразования при переходе от базиса к базису должно мне сказать, что это тензор именно (1, 1), а не (2, 0) или (0, 2)?

@темы: Линейная алгебра

00:44 

Тензоры

IWannaBeTheVeryBest
Начал читать про тензоры.
Скажите, как определять типа тензора? Вообще в книжке типы тензоров определяются через преобразование тензора при переходе от базиса к базису.
Ну вот просто передо мной находится вектор. `(1, 2, 3, 4, 5)^T`. Это тензор типа `(1, 0)`. А почему не `(0, 1)`?
Вот передо мной пусть будет квадратная матрица. Это же может быть тензор и типа `(2, 0)` и `(1, 1)` и `(0, 2)`. Или определить тип тензора нельзя, если передо мной просто "нарисована" какая-нибудь матрица и ничего не оговорено?
Хорошо. Вот сказано, что линейное преобразование - это тензор типа `(1, 1)`. Если линейное преобразование меняется при переходе от базиса к базису так
`A' = S^(-1) * A * S`, то само преобразование выглядит так `A : L -> L`. А если у нас линейное отображение `A : L -> V`? Матрица такого отображения будет меняться так
`A' = P^{-1} * A * S`. Тогда тип тензора у этого отображения какой?
Ладно. Билинейная форма - тензор типа `(0, 2)`. Переход от базиса к базису матрица билинейной формы меняется как
`B' = S^T * B * S`. То есть получается так. Пусть `S` - матрица перехода от базиса `e` к базису `e'`. Если переход от базиса к базису представляется матрицей `S^T` и `S`, то это по-любому тензор типа `(0, 2)`. Но если при переходе от базиса к базису присутствует матрица `S^{-1}` и `S`, то это тензор типа `(1, 1)`. Это получается, что по количеству транспонированных матриц и по количеству обратных матриц, к матрице перехода при переходе от базиса к базису, я могу определять тип тензора? И каким образом тогда будет выглядеть тензор типа `(2, 0)`? Какой у него будет переход от базиса к базису?

@темы: Линейная алгебра

18:22 

Сопряженное линейное пространство.

IWannaBeTheVeryBest
Я уже как-то спрашивал про сопряженное линейное пространство. Определение такое
"Множество всех линейных функций `L*` на линейном пространстве `L` называется сопряженным пространству `L`."
Линейная функция - это отображение `f: L -> k`, где `k` - поле чисел, над которым определено `L`.
Так вот. Как и при линейном отображении в линейное пространство, тут также можно найти матрицу этого отображения. Действие этого отображения на вектор x из L можно представить следующим образом
`f(x) = \chi_{1} * \xi^{1} + \dots + \chi_{n} * \xi^{n}`.
В матричном виде можно записать так
`f(x) = (\chi_{1} \dots \chi_{n}) * (\xi^{1} \dots \xi^{n})^T = X*\Xi`. В данном случае вектор-строка `X` будет состоять из компонент - действие функции `f` на базисных векторах.
Вот меня интересует. Что конкретно находится в сопряженном пространстве? Вот, ну например, в пространстве `L` у векторов компоненты - числа. А что является компонентами функций? По-сути, каждой функции соответствует определенная строка `X`. Может компонентами каждой функции в сопряженном пространстве будет являться как раз эта строка?

@темы: Линейная алгебра

00:14 

Книжки по тензорам

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Можете посоветовать какие-нибудь книжки по тензорам почитать? А то я как ни начну читать про тензоры, так бросаю, так как либо очень сложно написано, либо я просто не могу сосредоточиться. И как назло нет русскоязычных видосов на ютубе по тензорам.

@темы: Линейная алгебра

20:21 

Аргумент комплексного числа

IWannaBeTheVeryBest
Такой коротенький вопросик. Если требуется изобразить область
`-pi/4 < arg(z) < pi/4`
то, насколько я понимаю, это будет область, если переводить ее в действительную плоскость, такая
`x > 0`
`y < x`
`y > -x`
То есть такой уголок, у которого основание в точке (0; 0)
А если требуется изобразить, предположим
`-pi/4 < arg(z + 1 - i) < pi/4`
то этот уголок сдвинется по действительной оси влево на 1 и поднимется по мнимой оси на 1? (ну на i получается)

@темы: ТФКП

21:56 

Перестановка предельных переходов

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Опять доказательство теоремы, в котором хотелось бы разобраться. (Фихтенгольц, том 2, гл. 14, параграф 1, пункт 505)
Пусть существует по отдельности пределы
`lim_{y->y_0} f(x, y) = phi(x)`
`lim_{x->x_0} f(x, y) = psi(y)`
Если стремление `f(x, y)` к `phi(x)` равномерное, то существуют и равны повторные пределы
`lim_{x->x_0} lim_{y->y_0} f(x, y) = lim_{y->y_0} lim_{x->x_0} f(x, y)` (1)
Доказательство начинается с условия равномерного стремления `f(x, y)` к своей предельной функции
`\forall epsilon > 0` `\exists delta > 0:` `|y - y_0|,` `|y' - y_0| < delta => |f(x, y') - f(x, y)| < epsilon`
Переходя к пределу в последнем неравенстве, при `x -> x_0`
(вот здесь первый вопрос. Зачем это делается? Я думаю потому что в левой части равенства (1) `x` при внешнем пределе стремится к `x_0`)
получаем
`|psi(y') - psi(y)| <= epsilon` (почему знак неравенства не строгий?)
Здесь выполнено условие Больцано - Коши для `psi(y)` => `lim_{y -> y_0} psi(y) = A`.
(верно ли я понимаю, что мы, используя внешний предел в левой части равенства (1), получили то, что в правой части этого равенства стоит число?)
Ясно теперь, что `|y - y_0| < delta => ` `|phi(x) - f(x, y)| <= epsilon` и `|psi(y) - A| <= epsilon` (опять почему то не строгие знаки)
Сохраняя выбранное значение `y` найдем такое `delta' > 0:` `|x - x_0| < delta' =>` `|f(x, y) - psi(y)| < epsilon` (это просто использование определение предела?)
Из всех выше указанных неравенств следует, что
`|phi(x) - A| < 3*epsilon`
Ну это более менее понятно. Только, если честно, на какой-то подгон немного похоже. Очень удобная расстановка всех функций в модулях, хотя, безусловно, под модулем эти разности функций можно как угодно писать.
Из последнего неравенства следует
`lim_{x -> x_0} phi(x) = A`
Что и требовалось доказать.
Можете ли сказать, верно ли я все понимаю? Ну хотя бы без знаков неравенства

@темы: Математический анализ

20:57 

Многочлены Лежандра

IWannaBeTheVeryBest
В теме "Ортогональные системы функций" (Фихтенгольц Т3, Гл. 19, параграф 1, п. 679, пример 5) указаны многочлены Лежандра в качестве ортогональной системы функций.
Приведен интеграл
`int_{-1}^{1} P^2(x) dx = 2/(2n + 1)`
`P_0(x) = 1`
`P_n(x) = 1/((2n)!!) * (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n)`
Решил я разобраться с этим интегралом. Фихтенгольц меня отправляет -> Т2, гл. 9, параграф 4, п. 320, стр. 150.
Исключаем временно константу `1/(((2n)!!)^2)`
Рассмотрим интеграл
`int_{-1}^{1} (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n) * (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n) dx`
Интегрируем по частям
Берем первую дробь за `u` другую за `dv`. Части `uv` при подстановке пределов интегрирования будут обнуляться. При `int_{-1}^{1} vdu` будет вылезать минус.
Проделав эту операцию `n` раз, мы получаем интеграл
`(-1)^n * int_{-1}^{1} (d^(2n)(x^2 - 1)^n)/(dx^(2n)) * (x^2 - 1)^n dx = 2 * (2n)! * int_{0}^{1} (1 - x^2)^n dx`
Здесь мне понятно все, кроме одного. Как доказать такое равенство
`(d^(2n)(x^2 - 1)^n)/(dx^(2n)) = (2n)!`
Дальнейшие выкладки мне понятны. Даже дословно разобрал `int_{0}^{1} (1 - x^2)^n dx` при `x = sint`. Тут все ясно. Вот помогите только доказать это равенство. На него ссылок вроде Фихтенгольц не оставил(( Проще конечно на веру принять. Но если разбираться, то уж до конца. А то так просто не интересно))

@темы: Математический анализ

16:53 

Интегралы с параметром

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Не могу понять, как идет доказательство одной из теорем. Конкретно - т.2, гл. 14 "Интегралы, зависящие от параметра", параграф 1, пункт 508 "Интегрирование под знаком интеграла", теорема 4.
"Если функция `f(x, y)` непрерывна (по обеим переменным) в прямоугольнике `[a, b; c, d]`, то имеет место формула
`int_{c}^{d} dy int_{a}^{b} f(x, y) dx = int_{a}^{b} dx int_{c}^{d} f(x, y) dy`"
Доказательство:
"Докажем более общее равенство
`int_{c}^{\eta} dy int_{a}^{b} f(x, y) dx = int_{a}^{b} dx int_{c}^{\eta} f(x, y) dy`, `c <= \eta <= d`
Вычислим производные по `\eta`. Внешний интеграл имеет подинтегральную функцию `f(x, y)` непрерывную по `y`. Поэтому его производная, по переменному верхнему пределу, будет равна подинтегральной функции, вычисленной при `y = \eta`:
`int_{a}^{b} f(x, \eta) dx`... "
Вот тут я не понял, почему так? Если расписывать, то тогда получается
`D_{\eta} int_{c}^{\eta} dy int_{a}^{b} f(x, y) dx = int_{a}^{b} f(x, \eta) dx`
Каким образом этот переход был осуществлен? Ну если чисто интуитивно рассуждать, что я не люблю, если мы находим производную, то один из внешних интегралов, в повторном интеграле, должен исчезать. Кроме того, если этот внешний интеграл был по `y`, то и `\eta` становится параметром вместо `y`. Но это все просто, как говорится, "разговоры на лавочке".

@темы: Математический анализ

18:27 

Лемма Римана. Равномерная сходимость рядов Фурье

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Я почему-то вообще не могу понять доказательство из Фихтенгольца.
"Пусть f(x) определена и абсолютно интегрируема на `[A, B]`. Тогда пределы `lim_{p->\infty} int_{a}^{b} g(t) sin(pt) dt` и `lim_{p->\infty} int_{a}^{b} g(t) cos(pt) dt`
равномерно стремятся к нулю относительно переменных `a` и `b`, которые принимают произвольные значения в промежутке `[A, B]`"
"Доказательство. Достаточно рассмотреть первый из интегралов. Ввиду равномерной непрерывности функций
`int_{A}^{t} |g(t)| dt`
(тут не понял что это за вид интеграла такой. куда-то делся синус, и верхний предел теперь переменный...)
можно разбить по заданному `\epsilon > 0` промежуток `[A, B]` точками
`A = \tau_{0} < \tau_{1} < \dots < \tau_i < \tau_{i + 1} < \dots < \tau_n = B` (...и как это приводит сюда)
на столь мелки части, чтобы было
`int_{\tau_i}^{\tau_{i + 1}}|g(t)| dt < \epsilon`
Для интегралов вида
`int_{\tau_i}^{\tau_j}g(t)*sin(pt) dt` (1)
так как их конечное число можно установить общее `\Delta > 0`, такое, что для `p > \Delta` все они по абсолютной величине уже будут `< \epsilon`.
Но, как легко видеть (но я не вижу), интеграл
`int_a^b g(t) sin(pt) dt`,
каковы бы ни были `a` и `b`, разнится (при любом `p`) меньше, чем на `2\epsilon`, от одного из интегралов вида (1) (объясните, как это видно). Следовательно, при `p > \Delta` он независимо от `a` и `b` по абсолютной величине будет `< 3\epsilon`, что и требовалось доказать."
То есть в общем-то я не понял, зачем изначально такой интеграл рассматривается, без синуса. И все эти манипуляции с 2 и 3 эпсилон. Просто охота не тупо вызубрить и рассказать преподавателю. Охота понять действительно ли это так.
Пока что предположения такие. Рассматривается этот интеграл выше, так как просто тупо фиксируется нижняя граница, а верхняя, как и описано в теореме, может изменяться на `(A, B]`.

@темы: Математический анализ

17:11 

Правила записи тензоров

IWannaBeTheVeryBest
Довольно часто натыкался на то, что при переходе от матричной записи к суммам, меняются местами множители. Вот один пример из тензоров
"Линейное преобразование пространства $L$ является тензором типа (1, 1). В самом деле, если задано линейное преобразование, то каждому базису соответствует матрица, и матрицы, соответствующие двум базисам, связаны формулой $A' = S^{-1}AS$ :
`(\alpha_{j}^{i})' = \tau_{k}^{i}\sigma_{j}^{l}\alpha_{l}^{k}`"
(тау - компоненты матрицы `S^{-1}`, сигма - компоненты матрицы `S`)
Это схожий с суммами пример, так как, если не ошибаюсь, по одинаковым индексам ведется суммирование. То есть в данном случае по `k` и `l`. Ну `i` и `j` просто тут будут константами.
Меня интересует, почему не
`\tau_{k}^{i}\alpha_{l}^{k}\sigma_{j}^{l}`
? Ведь по-сути порядок матриц именно таков.
Есть какая-то принципиальная разница? Или просто в первом случае что-то вроде "правила хорошего тона". Просто наткнулся где-то в другом учебнике, что, вообще говоря, произведение тензоров не является коммутативным. В таком случае должна быть разница не только в записи.
Если брать другой пример, то, вроде как в скалярном произведении через матрицу Грама тоже такое есть. В матричной записи матрица Грама стоит между вектором-строчкой и вектором столбцом, а в "покомпонентной" записи, через сумму, компоненты матрицы Грама стоят в конце, а компоненты векторов - вначале.
Каким образом можно так свободно переходить от одной записи к другой? Надеюсь вы меня поняли))

@темы: Линейная алгебра

12:24 

Сопряженное линейное пространство.

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Сейчас читаю раздел Линейной алгебры. Про сопряженное пространство. Определение такое
"Линейное пространство $L^*$ всех линейных функций на линейном пространстве `L` называется сопряженным для `L`."
Если я правильно понимаю, линейная функция ставит в соответствие вектору `x` пространства `L` некоторое число `f(x)` из поля `k`. Это получается отображение `f : L -> k`.
Но ведь множество "всех линейных функций" - это же просто множество чисел получается? То есть $L^*$ - просто поле `k`? Ну или скорее так - $L^*$ является подмножеством поля `k`.

@темы: Линейная алгебра

19:50 

Исследовать на равномерную сходимость интеграл

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{\infty} (sin(ax)dx)/sqrt(x^2 + a^2)`
`a \in (0; +\infty)`
Можно ли оценить его таким образом
`|int_{A}^{\infty} (sin(ax)dx)/sqrt(x^2 + a^2)| <= int_{A}^{\infty} |(sin(ax))/sqrt(x^2 + a^2)| dx <= int_{A}^{\infty} |(sin(ax))/x| dx <= pi/2`
?
Во-первых меня смущает то, что параметр можно к 0 устремить. И как в таком случае будет вести себя интеграл на бесконечности?
И еще, надеюсь не опоздал. Можно ли доказать `lim_{x->0} sinx/x = 1` по определению предела? А то на википедии какой-то геометрический метод. Ну это так, чисто интересно.

@темы: Математический анализ

11:38 

Вторая основная лемма (Дирихле)

IWannaBeTheVeryBest
Здравствуйте. В Фихтенгольце, в параграфе "Разложение функций в ряд Фурье", есть пункт "Вторая основная лемма", которая гласит
"Если функция `g(t)` монотонно возрастает, оставаясь ограниченной в промежутке `[0, h]`, где `h>0`, то
`lim_{p->\infty} int_{0}^{h} g(t)*(sin(pt)dt)/t = (pi/2) * g(+0)`"
Что означает запись `g(+0)`? Просто там еще есть обозначения вроде `(g(t + 0) + g(t - 0))/2`.
По моему предположению, первое означает `lim_{t->+0} g(t)`. А во втором речь про бесконечно малую окрестность точки (так как функция в самой точке имеет разрыв или скачок). Правильно?

@темы: Математический анализ

19:03 

Ассимптотическая устойчивость системы ДУ

IWannaBeTheVeryBest
При каких альфа нулевое решение данной системы
`{(x' = -3x + \alpha y),(y' = -\alpha x + y):}`
ассимтотически устойчиво?
Вообще, насколько я понимаю, надо составить матрицу из производных по икс и по игрек обоих уравнений (Якобиан вроде называется), и составить характеристическое уравнение `det(J - \lambda E) = 0`. Дальше наша задача определить, при каких альфа действительная часть корней этого уравнения будет отрицательной.
Поехали.
`J = ` $\left(\begin{array}{c c}-3 & \alpha \\ -\alpha & 1\end{array}\right)$
`J - \lambda E = ` $\left(\begin{array}{c c}-(3 + \lambda) & \alpha \\ -\alpha & 1 - \lambda \end{array}\right)$
`det(J - \lambda E) = (\lambda - 1)(\lambda + 3) + \alpha^2 = \lambda^2 + 2\lambda - 3 + \alpha^2`
`\lambda^2 + 2\lambda - 3 + \alpha^2 = 0`
Ну, я для комплексных чисел не стал проверять, но для действительных проверил. Где-то видел правило, что если все коэффициенты уравнения >0, то условие на отрицательные действительные части будет выполнено.
`- 3 + \alpha^2 > 0`
`\alpha^2 > 3`
`\alpha \in (-\infty; -sqrt(3))\cup(sqrt(3); +\infty)`
Верно? Просто я не понял, зачем здесь тогда указывать про нулевое решение, когда тут для любого решения получается это выполняется. Производные уравнения не содержат в себе функции, зависящие от икс или игрек. А соответственно любое решение такой системы должно быть ассимптотически устойчивым.

@темы: Дифференциальные уравнения

15:33 

Привести к интегралу Эйлера

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{\infty} ((sqrt(x)*lnx)dx)/(1 + x)`
Функция B нам тут не подойдет, так как присутствует логарифм в интеграле. Хотя в функции Г тоже не видно логарифма. Поэтому я думал как-то избавиться от него. Но простая казалось бы замена `x = e^t` нам дает пределы интегрирования очень плохие. Если брать по частям интеграл, то логарифм не уйдет. Как минимум, если `u = lnx`, то в другой части он вылезет обязательно. Получается от него не избавиться. Значит надо как-то преобразовать, скажем, функцию Г так, чтобы в ней появился этот логарифм. Но тут проблема в том, что самая похожая на мой интеграл функция, а именно `\Gamma' (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*lnx*e^{-x} dx` содержит экспоненту. Ее просто так, с голого места не получить. Ее надо как то вводить. Может быть путем замены какой-нибудь. Хотя опять же в функциях В и Г нижние пределы интегрирования нули. Из-за них, после замены, будет вылезать предел `-\infty`.
Можно попробовать например продифференцировать функцию B по любому параметру. Там будет вылезать логарифм. Функция Г опять же не вариант, так как от экспоненты никуда не денешься.
Если что ниже укажу
`\B (a, b) = int_{0}^{1} x^(a - 1) * (1 - x)^(b - 1) dx = |x = t/(1 + t)| = int_{0}^{\infty} (t^(a - 1)dt)/((1 + t)^(a + b))`
`\Gamma (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*e^{-x} dx`

@темы: Математический анализ

14:37 

Вычислить интегралы. 2

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Хотел, чтобы проверили. И у меня еще есть вопрос.
`I(y) = int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2)^2`
Воспользоватся тем, что `int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2) = (pi*e^(-|y|))/2` (интеграл Лапласа)
Решение.
`(dI)/(dy) = -int_{0}^{\infty} (xsin(yx)dx)/(1 + x^2)^2 = |u = sin(xy); dv = -xdx/(1 + x^2)^2| = sin(xy)/(2(1 + x^2))|_{0}^{\infty} - y/2 * int_{0}^{\infty} (cos(xy) dx)/(1 + x^2) = `
`= -y/2 * pi/2 * e^{-|y|} = pi/4 * (-ye^{-|y|})`
Тогда
`I = pi/4 int -ye^{-|y|} dy = pi/4 * e^{-|y|} + C`
Константу можно определить как
`I(0) = int_{0}^{\infty} dx/(1 + x^2)^2 = pi/4`
`I = pi/4 * (e^{-|y|} + 1)`
Я только вот здесь не понимаю, каким образом определяется константа. Мы можем любое значение под интеграл подставлять? Лишь бы могли его вычислить? Не обязательно же константу определять, как `I(0)`? Или нужно, чтобы интеграл превращался в 0? Ну просто в моем случае, я думаю это верно, так как 0 будет гарантировать, что в числителе у меня будет точно 1. А вообще есть какое-то правило, по которому надо определять эту константу? Или без разницы?
`I(y) = int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2)^3`
Здесь было написано тоже решить. Но мне кажется, что он просто сводится к предыдущему дифференцированием по параметру. Верно?

@темы: Математический анализ

22:02 

Вычислить интегралы.

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{\infty} ((x - sinx)dx)/x^3`
Вычитал про них из Фихтенгольца. Хотя может дальше про них что-то еще сказано... Но пока вот что я сделал
1) Разбиваем интеграл на 2 части
`int_{0}^{1} + int_{1}^{\infty}`
2) Подбираем ряд для подынтегральной функции
`sinx = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 1))/((2n - 1)!)`
`x - sinx = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n + 1))/((2n + 1)!)`
`(x - sinx)/x^3 = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 2))/((2n + 1)!)`
Этот ряд сходится равномерно только при `|x| < 1`. То есть в нашем случае мы имеем право таким образом, применяя ряд, интегрировать только первый интеграл.
Первый интеграл будет равен `sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 2))/((2n + 1)!*(2n - 1))` если не ошибаюсь.
Что делать со вторым? Там где-то вроде еще была замена `x = 1/z`. Может прокатит? Там как раз пределы интегрирования поменяются. Или так просто ничего не изменится?
И еще один
`int_{0}^{1} ((x^(n - 1) - 1)dx)/lnx`
Тут мне просто не понятно, что за n. Вроде не сказано, что это параметр из какой-то области. Может просто типа константа любая. Однако я что-то не могу здесь применить способ решения через ряды? Какой-то другой здесь используется? Хотя можно попробовать от логарифма в знаменателе избавиться с помощью замены вроде `x = e^t`.
Очень удобные тогда будут в этом случае пределы интегрирования. На них экспоненциальный ряд точно сходится равномерно.

@темы: Математический анализ

11:31 

Доказать устойчивость нулевого решения по определению

IWannaBeTheVeryBest
Не люблю, когда прилетают нестандартные задачи, о которых в интернете мало что сказано.
Доказать по определению, что нулевое решение ДУ `x' = -3x` ассимптотически устойчиво.
Все, что я находил про устойчивость касалось исключительно систем. Я так понимаю, что передо мною стоит задача опустить условия для систем на одиночное ДУ.
Не хочу доказывать асс. уст-ть, пока не докажу обычную. Хотя может этого и не требуется делать.
Определение должно быть таким
Решение `y = \varphi(x)` является устойчивым по Ляпунову, если для любого `\epsilon > 0` существует такая `\delta(\epsilon) > 0`, что как только `|y(x_0) - \varphi(x_0)| < \delta` сразу же выполняется `|y(x) - \varphi(x)| < \epsilon` (для `x > x_0`).
Предположим, что в нашем случае `x' = dx/dt`, хотя как мне кажется, без разницы по какой букве выбирать дифференцирование.
Для начала я найду общее решение.
`dx/x = -3dt`
`lnx = -3t + C`
`x = C*e^{-3t}`
Нулевое решение, как я понимаю, это `x(0) = 0`. Решением такой задачи Коши является просто 0. А решением задачи `x(0) = x_0`, является функция `x = x_0*e^{-3t}`
Неравенства должны принимать такой вид
`|x_0 - 0| = |x_0| < \delta`
`|x_0*e^{-3t}| < \epsilon` для `t > t_0`
Положим `\delta = \epsilon`. Дальше можно сделать преобразования
`|x_0*e^{-3t}| = |x_0|*e^{-3t} < |x_0| < \delta = \epsilon` для `t > 0`
Для ассимптотической устойчивости достаточно сказать, что `|x(t) - \varphi(t)| -> 0`, при `t -> \infty`
То есть `lim_{t -> \infty} x_0*e^{-3t} = 0`. Это очевидно для положительных t, что нам и надо.
Все верно? Просто само выражение "нулевое решение" меня как-то смущает.

@темы: Дифференциальные уравнения

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная