Записи пользователя: IWannaBeTheVeryBest (список заголовков)
18:35 

Привести к каноническому виду ДУ

IWannaBeTheVeryBest
Привести к каноническому виду ДУ в каждой из областей, где его тип сохраняется.
`sgn(y)u_{x\x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
`D/4 = 1 - 4sgn(y)`
Ну тут 3 случая
`sgn(y) = -1` здесь уравнение будет гиперболично.
`sgn(y) = 1` здесь уравнение будет эллиптично.
А что со случаем `sgn(y) = 0`? Ведь тогда у нас останется уравнение `2u_{xy} + u_{yy} = 0`. Или оно тоже будет гиперболично?
Если да, то можно приводить к каноническому виду не 3 раза, а 2. Просто в одном случае я буду писать `sgn(y)`, а в другом конкретно рассмотрю случай `sgn(y) = 1`

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

19:29 

Небольшие нюансы ТФКП

IWannaBeTheVeryBest
Такие 2, наверняка, простых вопроса.
1) По сути у квадратного уравнения должно быть 2 корня. Но вот как быть, если дискриминант - комплексное число? Ведь корень из такого дискриминанта даст нам 2 решения. И когда мы будем решать уравнение, то получим
`z_{1,2} = (-b +- sqrt(D))/(2a)`, где `sqrt(D)` дает 2 решения. Так получается, что корня как бы 4 у этого уравнения? Или я неправ?
2) Возведение числа в степень. Ну например `(1 + i)^2` По формуле Муавра,
`(1 + i)^2 = 2 * (cos(pi/2) + isin(pi/2)) = 2i`
Ну в принципе можно было и в прямую раскрыть скобки. Однако если делать через экспоненту
`e^(2Ln(1 + i)) = e^(2(ln(sqrt(2)) + i(pi/4 + 2pik))) = 2 * e^i(2(pi/4 + 2pik)) = 2 * (cos(pi/2 + 4pik) + isin(pi/2 + 4pik))`
В принципе, в силу периодичности синуса и косинуса ответы одинаковые получились. Но меня как-то все равно коробит от того, что в одном случае получился однозначный ответ, а в другом - многозначный. Или я неверно интерпретировал формулу Муавра и там тоже добавляется период? Или я просто зря заморачиваюсь тут?))

@темы: ТФКП

20:13 

Найти область точек на комплексной плоскости, заданной условиями

IWannaBeTheVeryBest
`|z - 1|/|z + 1| <= 1;` `0<=Im(z)<=1`
Вообще что-то не знаю, с какой стороны подойти. Знаю только 2 способа
1) Через раскрытие `z = x + iy`. Дальше можно выделить действительную и мнимую части, но не уверен, что это к чему-то приведет. Там обратно не перейти к `z`, чтобы получилось что-то вроде `z - z_0 <= R`
2) Через другие формы комплексного числа. Например через тригонометрию. Может там что получится. Но похоже там и в знаменателе и в числителе будут `r` и `\phi`
Не скажете, в каком направлении тут думать? Может второе условие неслучайно?

@темы: ТФКП

15:07 

Норма пространства

IWannaBeTheVeryBest
Можно ли ввести норму следующим образом
`X = C[a, b],` `\left \|| x \right \||`` = |max_{t \in [a, b]} x(t)|`
Одна из аксиом нормы
`\forall x \in X : ``\left \|| x \right \||` `>= 0, \left \|| x \right \|| = 0 <=> x = 0`
Я думаю, что нельзя. Ну например `x(t) = sin(t) - 1,` `t \in [0; pi]`
`x \neq 0`, однако норма = 0.
Это верно? Просто вроде как другие аксиомы нормы тут будут выполнены в силу аксиом модуля и поэтому к другим аксиомам не прицепится.

@темы: Линейная алгебра, Функциональный анализ

20:34 

Переход к новым переменным в выражении с частными производными

IWannaBeTheVeryBest
Пусть дана функция `u(x, y)` и я хочу перейти к новым переменным `\xi` и `\eta`. Тогда
`(du)/(dx) = (du)/(d\xi)*(d\xi)/(dx) + (du)/(d\eta)*(d\eta)/(dx)`
`(du)/(dy) = (du)/(d\xi)*(d\xi)/(dy) + (du)/(d\eta)*(d\eta)/(dy)`
Круглые буквы `d` не знаю как ставить. Пусть будут обычные. Но речь про частные производные. Дальше мне не понятно, почему
`(d^2u)/(dx^2) = (d^2u)/(d\xi^2)*((d\xi)/(dx))^2 + 2(d^2u)/(d\xid\eta)*(d\xi)/(dx)*(d\eta)/(dx) + (d^2u)/(d\eta^2)*((d\eta)/(dx))^2 + (du)/(d\xi)*(d^2\xi)/(dx^2) + (du)/(d\eta)*(d^2\eta)/(dx^2)`
Как-то странно. Нужно вот так же по-сути применять
`(d^2u)/(dx^2) = d/(dx)((du)/(dx)) = d/(dx)((du)/(d\xi)*(d\xi)/(dx) + (du)/(d\eta)*(d\eta)/(dx))`
`((du)/(d\xi)*(d\xi)/(dx) + (du)/(d\eta)*(d\eta)/(dx)) = f`
`(df)/(dx) = (df)/(d\xi)*(d\xi)/(dx) + (df)/(d\eta)*(d\eta)/(dx)`
Или я ошибаюсь где-то? Может просто посчитал неправильно.

@темы: Производная, Математический анализ

21:10 

Интегрирование функции КП. Вычеты

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{+\infty} x^(p - 1) cos(ax) dx` `0 < p < 1`
В задачнике сказано использовать этот контур:
читать дальше
и функцию `f(z) = z^(p - 1) * e^(-az)`
Не понимаю, с какой логикой выбирается контур. Их нужно запоминать отдельно для каждой задачи? Да и функция какая-то странная.
Ну для начала, по логике, надо разобраться с интегралом по всему контуру `\Gamma`. Он будет равен 0, так как в контуре особых точек нет.
Потом разбираемся с интегралом `int_{C_R} z^(p - 1) * e^(-az) dz`. Проведем оценку
`|int_{C_R} z^(p - 1) * e^(-az) dz| <= int_{C_R} |z^(p - 1)| * |e^(-az)| |dz| <= A*1/(R^(1 - p))*1/(e^(R)) * (piR)/2 -> 0 (R -> +\infty)`
Дальше разбираемся с суммой интегралов по отрезкам.
`int_{r}^{R} x^(p - 1) cos(ax) dx + int_{R}^{r} y^(p - 1) cos(ay) dy`
Тут пока точно не знаю, что делать. Верно ли записал эту сумму?
`int_{C_r} z^(p - 1) * e^(-az) dz = int_{C_r} (e^(-az) - 1)/(z^(1 - p))dz + int_{C_r} (dz)/(z^(1 - p))`
Первое слагаемое должно стремиться к 0. Но, если не ошибаюсь, то тут и второе слагаемое к 0 стремится. По аналогии если сделать оценку
`|int_{C_r} (dz)/(z^(1 - p))| <= int_{C_r} |dz|/|(z^(1 - p))| <= A * (pir)/2 * (1/r^\xi) -> 0 (r ->0; \xi < 1)`

@темы: ТФКП

14:55 

Интегрирование функции КП. Вычеты

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{+\infty} (cos(ax) - cos(bx))/(x^2)dx` `a>=0;` `b>=0`
Рассматривать нужно функцию `f(z) = (e^{iaz} - e^{ibz})/(z^2)`.
У меня тут только один вопрос. Как вот это проинтегрировать
`int_{C_r} (e^{iaz} - e^{ibz})/(z^2) dz`? r - радиус внутреннего полукруга, `r->0`
Не могу понять, каким образом выделить тут `1/z`?
Ну можно конечно как-то так пытаться `((z + 1)(e^(iaz) - e^(ibz)))/(z^2) - (e^(iaz) - e^(ibz))/z`, но мне кажется это ни к чему не ведет.

@темы: ТФКП

15:26 

Вычислить главное значение интеграла. ТФКП

IWannaBeTheVeryBest
`int_{-\infty}^{\infty} (sinxdx)/((x^2 + 4)(x - 1))`
Я знаю из мат.анализа, что главным значением тут должен быть предел
`lim_{R->\infty} int_{-R}^{R} (sinxdx)/((x^2 + 4)(x - 1))`
Еще я знаю, что точка `z = 1` будет лежать на контуре, если мы начнем продолжать нашу подынтегральную функцию в `C`. Поэтому эту точку нужно обходить при интегрировании. Но здесь подынтегральная функция общего вида. Я не знаю точно, как действовать в случае, когда точка сдвинута от нуля. Хотя мне кажется, что здесь надо как-то по-другому решать, ведь сказано, что нужно вычислить именно главное значение, а я с такой формулировкой первый раз сталкиваюсь... Не скажете, в каком направлении думать?

@темы: ТФКП

13:33 

Интегрирование функции КП. Вычеты

IWannaBeTheVeryBest
`I = 1/2 * int_{-\infty}^{+\infty} sinx/(x(x^2 + 9)) = int_{0}^{+\infty} sinx/(x(x^2 + 9))`
Вот я только не помню, под каким условием так можно делать. Это чисто формальность конечно, но из мат.анализа я помню, что просто так применить свойство интегралов для четной функции по симметричному промежутку, если этот промежуток бесконечен, нельзя. Если не ошибаюсь, то надо предполагать, что изначальный интеграл дан в смысле главного значения.
Ну ладно. Далее. Я не могу сразу написать, что
`I = Im(int_{-\infty}^{+\infty} (e^(iz)dz)/(z(z^2 + 9)))` и начать считать, так как одна из особых точек располагается на границе контура верхнего полукруга.
Решал я так. Эту точку я контуром как бы обхожу. У меня получается 2 полукруга. Один с радиусом `R (-> \infty)` другой с радиусом `r (-> 0)`. Ну довольно известный контур.
Дальше в примерах берется на рассмотрение регулярная функция в нашем новом контуре `\Gamma_{r, R}`, которая, по-сути, равна нулю, так как внутри этого контура у этой функции нет особых точек. Но если я буду рассматривать функцию `f(z) = e^(iz)/(z(z^2 + 9))`, то у нее будут внутри данного контура особые точки. Причем тут я не уверен, как мне действовать. Дело в том, что я сомневаюсь, входит ли внутрь контура точка `\infty`, ведь `R -> \infty`? Точка `3i` входит, вопросов нет. У меня была такая идея. Посчитать интеграл от `f(z)` по контуру `\Gamma_{r, R}`, получить какое-то значение `k`, а дальше уже расписывать, что `J = int_{C_r} + int_{C_R} + int_{-R}^{-r} + int_{r}^{R} = k` и уже спокойно решать. Я в общем-то дорешал, проверил в вольфраме, но у меня сошлось 50/50. Может просто очередная арифметическая ошибка.
Если нужно, могу сделать фотку контура и залить сюда для удобства))

@темы: ТФКП

19:36 

Интегрирование функции КП. Вычеты

IWannaBeTheVeryBest
`I = int_{0}^{2pi} (d\phi)/(1 - 2a*cos\phi + a^2)` `a \in C` `a \neq +-1`
Сначала преобразую знаменатель
`1 - 2a*cos\phi + a^2 = (a - cos\phi)^2 + 1 - cos^2\phi = (a - cos\phi)^2 + sin^2\phi`
Дальше замена
`e^{i\phi} = z`
`d\phi = -(idz)/z`
`L: |z| = 1`
`I = -i*int_{L} dz/((a - (z + 1/z)/2)^2 + ((z - 1/z)/(2i))^2)`
Разложим знаменатель на множители
`(a - (z + 1/z)/2)^2 + ((z - 1/z)/(2i))^2 = (a - (z + 1/z)/2 - (z - 1/z)/2)(a - (z + 1/z)/2 + (z - 1/z)/2)`
`(a - (z + 1/z)/2 - (z - 1/z)/2)(a - (z + 1/z)/2 + (z - 1/z)/2) = 0`
`a - (z + 1/z)/2 - (z - 1/z)/2 = 0 => z = a`
`a - (z + 1/z)/2 + (z - 1/z)/2 = 0 => z = 1/a`
Верно ли я понимаю, что дальше придется рассматривать 2 случая: `|a| < 1` и `|a| > 1`? В первом случае `I = 2pii*res_{z = a} f(z)`, а во втором `I = 2pii*res_{z = 1/a} f(z)`
И еще. Как тут определить, нулями какого порядка являются данные корни? Просто если все в знаменателе, в интеграле привести к общему знаменателю, то старшая степень должна быть 4.

@темы: ТФКП

00:12 

Интегрирование функции КП. Вычеты

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{2pi} (d\phi)/(a + cos\phi)` `a > 1`
Сделаем замену
`e^(i\phi) = z; d\phi = -idz/z`
`-i*int_{|z| = 1} dz/(a + (z + 1/z)/2) = -2i*int_{|z| = 1} (zdz)/(z^2 + az + 1)`
Дальше нужно определить особые точки
`z^2 + az + 1 = 0`
`z = (-a +- sqrt(a^2 - 4))/2`
Что дальше не совсем ясно. У нас окружность радиуса 1. И вот тут я даже не знаю, будут ли эти точки входить в эту окружность. Ясно только то, что обе эти точки имеют одинаковый модуль. А значит они либо одновременно входят в окружность, либо одновременно не входят.
Если `a < 2`, то мнимая часть будет не нулевая, а модуль числа, если не ошибаюсь, всегда будет =1.
Если `a > 2`, то мнимая часть будет нулевая и нам будет подходить только один корень `(-a + sqrt(a^2 - 4))/2`
Опять же это только мои предположения, и как их доказать я даже не знаю.
Я думал сначала вычислить еще через вычет бесконечности. Там вроде есть формула, если бесконечность - устранимая особая точка.
`res_{z = \infty} f(z) = lim_{z -> \infty} (f(\infty) - f(z)) * z = 2i`. Кстати эту формулу я тоже встретил в одном видео, хотя может она и в учебнике есть, или выводится как-то. Не задумывался.
Но у меня нет сведений по поводу вычетов других точек. Эти точки в разное время находятся в разных местах окружности. Сначала на границе, а потом только одна из точек находится внутри. Даже не знаю, что делать.
Раскладывать в ряд Лорана тут как-то совсем грустно.

@темы: ТФКП

01:54 

Приложения теории вычетов ТФКП

IWannaBeTheVeryBest
Здравствуйте. Не подскажете, где можно почитать про решение интегралов ну типа такого
`int_{3}^{+\infty} dx/((x - 3)^(1/5) * (x + 1)^2)`
Честно говоря, нашел просто видео с разбором такого интеграла, правда не понял его что-то. Фишка в том, что `(z - 3)^(1/5)` - многозначная функция. Нужно выделять какую-то ветвь. Плюс сам интеграл дан по лучу, а я уже открыл несколько учебников и там в приложениях даны несобственные интегралы только по всей прямой - от `-\infty` до `+\infty`

@темы: ТФКП

17:31 

Интегрирование функции КП. Вычеты

IWannaBeTheVeryBest
Найти значение интеграла `int_{\Gamma} (z + i)*e^(2/z) dz`; `|z| = 2` с помощью вычетов.
Точка `z = 0` существенно особая. Значит надо найти `c_{-1}` коэффициент напрямую через разложение в ряд Лорана.
`(z + i) * (1 + 2/z + 2/(z^2) + 8/(3!z^3) + ...)`
Если я правильно понимаю, то коэффициентом при `c_{-1}` члене будет `(2 + 2i)`. То есть `z * 2/(z^2) = 2/z` и `i * 2/z = (2i)/z`.
В сумме как раз получается коэффициент `2 + 2i`
Дальше просто по формуле
`int_{\Gamma} (z + i)*e^(2/z) dz = 2pii*(2 + 2i) = 4pi(i - 1)`
Верно?
И еще Найти значение интеграла `int_{-\infty}^{+\infty} (sin(ax))/(x^2 - 2x + 2) dx`; `a < 0`
Переходя к комплексной функции, сначала я сделаю некоторые преобразования.
`I = int_{-\infty}^{+\infty} (sin(ax))/(x^2 - 2x + 2) dx = -int_{-\infty}^{+\infty} (sin(-ax))/(x^2 - 2x + 2) dx = `
`= -Im(int_{-\infty}^{+\infty} e^(-iax)/(x^2 - 2x + 2) dx) = -Im(J)`
Просто, насколько я помню, по лемме Жордана нужно, чтобы степень экспоненты была положительной. А в условии у нас `a < 0`. Поэтому собственно я туда минус и засунул.
`f(z) = e^(-iaz)/(z^2 - 2z + 2)`
Особые точки `1 +- i` являются полюсами первого порядка. Нас интересует `1 + i`, так как мы используем верхнюю полуокружность.
В итоге
`J = 2pii*(res_{z = 1+i} f(z)) = 2pii*e^(-iaz)/((z^2 - 2z + 2)')|_{z = i + 1} = 2pii * (e^(-ia(1 + i)))/(2i) = pi*e^a*e^-(ia)`
`-Im(J) = pi*e^a*sina = I`

@темы: ТФКП

10:57 

Разложить функцию КП в ряд Лорана.

IWannaBeTheVeryBest
`f(z) = 1/(z^2 - 3z + 2)`; `0 < |z - 2| < 1`
Сначала разложу знаменатель на множители
`f(z) = 1/((z - 1)(z - 2)) = 1/(z - 2) - 1/(z - 1) = 1/(1 - z) + 1/(2 - z)`
`1/(1 - z) = sum_{n = 0}^{\infty} z^n, |z| < 1`
`1/(1 - z) = -(1/z)/(1 - 1/z) = -sum_{n = 0}^{\infty} 1/(z^(n + 1)); |z| > 1`
`1/(2 - z) = (1/2)/(1 - z/2) = 1/2*sum_{n = 0}^{\infty} (z/2)^n; |z|<2`
`1/(2 - z) = (-1/z)/(1 - 2/z) = -sum_{n = 0}^{\infty} 2^n/(z^(n + 1)); |z|>2`
Насколько я верно понял, нужно юзать разложения для кольца `1 < |z| <2` и для внежности круга `|z|>2` (совместно с `|z|>1`), из-за того, что дано условие `0 < |z - 2| < 1`.
Ну то есть будет 2 ответа - разложение для кольца и для внешности круга, радиуса 2. Верно? Или что-то не так?

@темы: ТФКП

14:41 

Разложить функцию КП в ряд Тейлора

IWannaBeTheVeryBest
`f(z) = z^2 * ln(3 - 2z)`; `z_0 = 2`
По логике вещей, было бы неплохо выделить `ln(1 + w)` какой-нибудь, так как разложение для такой функции известно.
Так как под логарифмом стоит комплексное число, то логично предположить, что дан комплексный логарифм, который определяется так
`Ln(z) = ln|z| + i(arg(z) + 2pik)`
Пробую делать такую замену
`t = z - 2; z = t + 2`
`(t + 2)^2 * Ln(3 - 2t - 4) = (t + 2)^2(Ln(-1) + Ln(1 + 2t)) = (t + 2)^2(Ln(-1) + sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^(n - 1) * t^n/n)`
Здесь пока остановлюсь, потому что ощущение, что я иду в дебри. Хотя может это не так.
Если применять другую начальную замену, ну что-то вроде `t = z + 1`, то я приду в итоге к ряду
`sum_{n = 1}^{\infty} 1/n*(2/5)^n*(z + 1)^n`
Но здесь у нас в сумме `(z + 1)^n`, а насколько я понимаю, характерной чертой того, что мы раскладываем нашу функцию в ряд в окрестности точки 2, являются скобки вида `(z - 2)^n`.

@темы: ТФКП

00:04 

Интегрирование функции КП

IWannaBeTheVeryBest
`int_{C} |z| dz`
`C` - радиус вектор числа `3 - 4i`
Решал так.
Этот вектор соединяет 2 точки - `A(0; 0)` и `B(3; -4)`
Он лежит на прямой, уравнение которой `y = -4/3x`; `dy = -4/3dx`
`int_{C} sqrt(x^2 + y^2)(dx + idy) = int_{C} sqrt(x^2 + y^2) dx + i*int_{C} sqrt(x^2 + y^2) dy = `
`= int_{0}^{3} sqrt(x^2 + 16/9x^2) dx -4/3 * i*int_{0}^{3} sqrt(x^2 + 16/9x^2) dx`
Верно? Дальше не буду писать, ибо мог ошибиться и дальнейшие выкладки могут оказаться ошибочными.
Еще такой вопрос. Можно ли было решить как-то проще, так как `x^2 + y^2` под корнем как-то прямо намекает на тригонометрическую замену?
И еще. Можно ли было второй интеграл брать по `dy` просто с другими пределами интегрирования и заменой `x = -3/4y`?

@темы: ТФКП

18:39 

Задачи ТФКП

IWannaBeTheVeryBest
1. Изобразить область `D = {z: 0 < Re(iz) < 2, |argz| >= pi/4}`
Ну насколько я понял, надо найти пересечение этих областей.
`z = x + iy`
`iz = -y + ix`
`Re(iz) = -y`
`-2 < y < 0`
Ну я так понял, что это вся область от -2 до 0 по мнимой оси.
`-pi/4 >= argz >= pi/4`
`argz >= pi/4`
`argz <= -pi/4`
Это, насколько я верно понял, область от `pi/4 + 2pik` до `(7pi)/4 + 2pik`.
Пересечением этих областей будет
`D = {-2 < Im(z) < 0, pi <= argz <= (7pi)/4}`. Верно? Только у меня область немного бесконечная получилась.

@темы: ТФКП

17:08 

Доказать предел по определению 2

IWannaBeTheVeryBest
`lim_{z -> 3 - 4i} |z| = 5`
Чтобы много не писать, важны 2 неравенства
`|z - (3 - 4i)| < \delta` `=>` `||z| - 5| < \epsilon`
Что-то здесь вообще не могу сообразить, с чего начать.
Есть 2 идеи, но не знаю, как их развить.
1 - геометрическая. Изобразить эти 2 неравенства в виде множества точек и попытаться получить что-то из этого. Но я не знаю, что представляет из себя второе неравенство.
2 - `z = x + iy`. В таком случае у меня получаются 2 неравенства
`|x - 3 + i(y + 4)| = sqrt((x - 3)^2 + (y + 4)^2) < \delta`
`|sqrt(x^2 + y^2) - 5| = sqrt(x^2 + y^2 + 25 - 10sqrt(x^2 + y^2)) < \epsilon`
Но здесь что-то уж очень сложное получается.
Вообще, логика в чем заключается? Нужно из оценки по дельта как-то "выуживать" полезную информацию и применять к оценке по эпсилон?

@темы: ТФКП

20:42 

Доказать предел по определению

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Задание такое
Доказать по определению, что `lim_{z -> 1} (2z + 1)/(z + 2) = 1`. `z` - комплексное число.
По определению
`\forall \epsilon > 0` `\exists \delta > 0:` `|z - z_0| < \delta` `=>` `|f(z) - W| < \epsilon`
Я решаю так
1) Сначала преобразуем модуль, в котором стоит функция `f(z)`
`|(2z + 1)/(z + 2) - 1| = |(z - 1)/(z + 1)| = |1 - 2/(z + 1)|` (1)
2) Далее берем верхнюю оценку для `|z - 1| < \delta => |z| < \delta + 1`, так как, чтобы оценить сверху (1), нам надо, чтобы разность под модулем (1) была больше, а это достигается увеличением знаменателя дроби, и составляем неравенство, подставив эту верхнюю оценку
`|(z - 1)/(z + 1)| < |(\delta + 1 - 1)/(\delta + 1 + 1)| = (\delta)/(\delta + 2)`
3) Решаю уравнение `(\delta)/(\delta + 2) = \epsilon` относительно дельта...
`\delta = (2\epsilon)/(1 - \epsilon)`
4) И говорю такой, что достаточно теперь выбрать `\delta = (2\epsilon)/(1 - \epsilon)`, чтобы `|(z - 1)/(z + 1)| < \epsilon`
Это верно? или я что-то не так сделал?

@темы: ТФКП

02:33 

Восстановление функции комплексного переменного.

IWannaBeTheVeryBest
Такая задача. Восстановить аналитическую функцию в окрестности точки `z_0` по известной мнимой части и функции `f(z_0)`
`v(x, y) = 1 - y/(x^2 + y^2)`
Очевидно, надо перейти к полярным координатам. Получим
`v(r, \phi) = 1 - sin(\phi)/r`
Условия Коши-Римана в данном случае будут выглядеть так
`r * (du)/(dr) = (dv)/(d\phi)`
`(du)/(d\phi) = -r * (dv)/(dr)`
Уж извините, я привык обозначать через "эр", а не через "ро"))
Далее все должно быть просто
`(dv)/(d\phi) = r * (du)/(dr) = -cos(\phi)/r` `=>` `(du)/(dr) = -cos(\phi)/r^2`
`u(r, \phi) = -cos(\phi) * int (dr)/r^2 + g(\phi) = cos(\phi)/r + g(\phi)`
`r * (dv)/(dr) = -(du)/(d\phi)`
`r * sin(\phi)/r^2 = sin(\phi)/r + g'(\phi)`
`g(\phi) = C`
`f(z) = cos(\phi)/r + i(1 - sin(\phi)/r) + C = 1/r * (cos(\phi) - isin(\phi)) + i + C`
Ну еще можно так
`f(z) = 1/r * e^{-i\phi} + i + C`
Переходя обратно к декартовым координатам, я получил бы
`f(z) = 1/|z| * (x/|z| + iy/|z|) + i + C = 1/|z|^2 * (x + iy) + i + C = 1/|z|^2 * z + i + C`
`f(1) = 1 + i + C = 1 + i` `=>` `C = 0`
Это верно? Если да, то как-то можно было прийти к тому-же результату, не переходя обратно к декартовым координатам?

@темы: ТФКП

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная