Записи пользователя: IWannaBeTheVeryBest (список заголовков)
11:26 

Ортогональная проекция полинома.

IWannaBeTheVeryBest
Найти ортогональную проекцию полинома `35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4` на подпространство полиномов степени не выше 2.
Скалярное произведение определено как `F(p, q) = sum_(i = 0)^(n) a_i * b_i`.
Когда задача была с векторами, то там было все понятно. `x = x' + x''`, где `x'` - ортогональная проекция на `L`
Я просто брал вектора, на которые было натянуто подпространство, и с ними составлял систему уравнений. А вот что тут сделать - не ясно.
Если формула сохраняться должна та же, только для полиномов, то тогда, как я предполагаю, p'(t) - это как раз подпространственный, если так можно выразиться, полином. Именно он будет степени не выше 2. Тогда `35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4 = a_1t^2 + a_2t + a_3 + p''(t)`
Дальше, на примере векторов, я расписывал `x'`. То есть, если проводить аналогию, то `a_1t^2 + a_2t + a_3 = 35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4 - p''(t)`.
Только вот с векторами-то я это все расписывал как линейную комбинацию. Ну вектор `x'` у меня составлял линейную комбинацию. Я домножал уравнение на данные вектора в линейной оболочке скалярно и находил коэффициенты. Тут такого нет.

@темы: Линейная алгебра

20:39 

Ортогональная проекция.

IWannaBeTheVeryBest
Вот такая задача.
Подпространство L - линейная оболочка векторов `a_1, ... , a_k`. В ортонормированном базисе заданы координатные столбцы этих векторов и координатный столбец `\xi` вектора `x`. Найти координатные столбцы `\xi'` и `\xi''` ортогональных проекций вектора `x` на `L` и `L^\perp`.
`a_1 = (2, 3, 0, 1)^T`, `a_2 = (0, 5, -2, -1)^T`, `\xi = (6, 0, 4, 2)^T`.
Ну и идея моя в том, чтобы составить систему линейных уравнений с двумя уравнениями, чтобы получить два ортогональных вектора из ортогонального подпространства. Ортогональное дополнение короче говоря. Таким образом я получу 2 вектора плюсом. Дальше, по формуле `\xi' = \xi - \xi''` я найду ортогональную проекцию на L. Просто я подразумеваю, что один из этих двух векторов можно взять за `\xi''` (или нет?) и спокойно дорешать. И я так и делал пока, опять же, не посмотрел в ответы. Причем меня смущает тот факт, что при решении такой системы, получается сразу 2 ортогональных вектора из ортогонального подпространства, хотя по теории такой вектор может только однозначно расписываться в сумму двух других.
Была идея получить такой вектор с помощью решения уравнения из линейных комбинаций двух данных векторов и двух тех, которые получаются. Ну типа
`\xi = \alpha * a_1 + \beta * a_2 + \gamma * x_1 + \delta * x_2`, где `x_1` и `x_2` найденные векторы, в результате решения системы.

IWannaBeTheVeryBest, не забывайте указывать @темы.

@темы: Линейная алгебра

15:24 

Ортогональное дополнение.

IWannaBeTheVeryBest
Вот такая вот задачка.
Подпространство L задано как линейная оболочка векторов, имеющие в ортонормированом базисе координаты:
`(3, -15, 9, 1)^T` и `(3, -6, -3, 2)^T`.
Найти: 1)Матрицу системы уравнений, определяющую `L^\perp`
2) Базис в `L^\perp`
Как я думал подойти. Ну вообще может я не то хочу находить, но по учебнику так обозначается ортогональное дополнение вроде как.
Каждый вектор из ортогонального дополнения ортогонален каждому вектору из изначального подпространства, ведь так?
Ну вот я как бы и попытался составить систему уравнений из двух уравнений с четырьмя неизвестными, для того чтобы найти третий вектор, перпендикулярный двум этим. Не вышло. Потом до меня дошло, что надо проверить на ортогональность данные вектора. Оказалось, что они не ортогональны друг другу, значит найти третий вектор, перпендикулярный двум этим не получится. Может найти сначала какой-то вектор, перпендикулярный какому-то из этих двух? Я просто как-то сильно не въезжаю. Или надо сначала найти базис в L...

@темы: Линейные преобразования, Линейная алгебра

11:36 

Скалярное произведение

IWannaBeTheVeryBest
1) В пространстве многочленов степени <= 3 со стандартным скалярным произведением задан треугольник со сторонами t, t^3 и t - t^3.
Найти углы треугольника и длины его сторон.
Не могу понять, как находить скалярное произведение полиномов? Блин, в учебнике рассказано про Евклидовы пространства, как пространства с векторами. Действия с векторами я понял. Тут даны полиномы. Просто ступор.
2) В линейном вещественном пространстве даны два скалярных произведения `(x, y)_1` и `(x, y)_2`. Доказать, что функция `(x, y) = \lambda * (x, y)_1 + \mu * (x, y)_2`также будет являться скалярным произведением для любых положительных `\lambda` и `\mu`.
Здесь не понятно почему именно для положительных сказано. Да и вообще как доказывать? Ну я могу сказать, что сумма скалярных произведений - это скалярное произведение, так как... Ну и там по аксиомам пройтись типа коммутативности (кстати не ясно как дистрибутивность доказывается, когда даны только 2 элемента) и т.д.
Помогите плз.

@темы: Линейная алгебра

14:11 

Остаточный член в формуле Тейлора

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Помогите пожалуйста разобраться с остаточным членом в форме Шлемильха и Роша.
Читаю я тут Фихтенгольца и смотрю как там остаточные члены выводятся. Не в форме Пеано.
Будет возможно долго, но пожалуйста прочтите краткий экскурс, кто не в курсе как оно по Фихтенгольцу)) Вопрос у меня довольно простой.
Ну значит там говорится...
1) рассматривается какой-то отрезок `[x_0, x_0 + H]`, ну и на нем существуют
и непрерывны первые n производных функции `f(x)` (`f'(x), f''(x), ... , f^(n)(x)`), а также существует и конечна `n+1` производная.
2) Дальше в силу `r_n(x) = f(x) - p(x)` вытекает:
`r_n(x) = f(x) - f(x_0) - ((f'(x_0))/(1!)) * (x - x_0) - ((f''(x_0))/(2!)) * (x - x_0) - dots - ((f^(n)(x_0))/(n!)) * (x - x_0)`
3) Потом, фиксируя определенное значение на данном промежутке, вводится вспомогательная функция:
`varphi(z) = f(x) - f(z) - ((f'(z))/(1!)) * (x - z) - ((f''(z))/(2!)) * (x - z) - dots - ((f^(n)(z))/(n!)) * (x - z)`, где `z in [x_0, x]`
Также на `(x_0, x)` существует `varphi'(z) = -((f^(n)(z))/(n!)) * (x - z)`
4) Вводится произвольная функция `psi(z)`, которая никак не определяется, только со свойствами: непрерывна на промежутке `[x_0, x]` и
имеет ненулевую производную на `(x_0, x)`.
Почти приехали))
5) Применяем формулу Коши к `varphi(z)` и `psi(z)` получаем:
`(varphi(x) - varphi(x_0))/(psi(x) - psi(x_0)) = (varphi'(c))/(psi'(c))`, где `x_0 < c < x` или `c = x_0 + theta(x - x_0)`, где `0 < theta < 1`
6) В силу того, что `varphi(x) = 0, varphi(x_0) = r_n(x), varphi'(c) = -(f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n` мы получаем
`r_n(x) = (psi(x) - psi(x_0))/(psi'(c)) * (f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n`
И вот теперь получается так, что подставляя вместо `psi(z)` любые, удовлетворяющие условиям функции, мы получаем различные формы дополнителного члена.
Внимание вопрос.
Пусть `psi(z) = (x - z)^p,p>0` => `psi'(z) = -p(x - z)^(p-1), x_0 < z < x`
Тогда `r_n(x) = (-(x-x_0)^p)/(-p(x-c)^(p-1)) * (f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n`
Это как так получилось-то? Ну я про последние строчки. Как мы так подставляем, что получается множитель `(-(x-x_0)^p)/(-p(x-c)^(p-1))`?
Причем понятно как получился знаменатель примерно. Он как производная выглятит. А вот как числитель? Такое ощущение складывается, что `psi(x) = 0`.

@темы: Математический анализ

09:32 

Дискретная математика.

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Не нашел нигде, кто бы мог решить вот эти 2 задачки или хотя-бы поставить на правильный путь.
1. "Доказать, что если P - силовская подгруппа в G, то нормализаор нормализатора P равен нормализатору P"
Ну начну с того, что знаю.
Порядок конечной группы - это мощность или количество элементов этой группы. Пусть `G` — конечная группа, а `p` — простое число, которое делит порядок `G`. Подгруппы порядка `p^t` называются p-подгруппами. Выделим из порядка группы `G` примарный делитель по `p`, то есть `|G| = p^ns`, где `s` не делится на `p`. Тогда силовской p-подгруппой называется подгруппа `G`, имеющая порядок `p^n`.
Определение нормализатора группы
`N_G(P) = {g in G | gP = Pg}`
Ну я это понимаю как множество всех элементов в G которые коммутируют со всеми элементами в P.
С чего бы начать? Я просто очень слабо в этом соображаю.
Ну вот предположим, что G - группа, с какими-то рандомными элементами.
Скажем, что мощность или порядок G = 90. Простое число p = 3 делит порядок G = 3^2 * 10, где 10 не делится на 3. Таким образом у нас есть 3-подгруппа силовская, имеющая порядок 3^2. Так вот, нам надо опеделится с тем, что такое этот номализатор скажем 3-группы. Так что это? Ну это какое-то множество элементов, которые коммутируют со всеми элементами нашей 3-группы. Нормализатор нормализатора в моем представлении - это и есть наша 3-группа. Вот тут то и начинаются странности


2. "Пусть S - полугруппа эндоморфизмов End V линейного пространства V (умножение - композиция эндоморфизмов). Доказать, что любой идеал в S - главный. (т.е. порождаетсяодним элементом)"
Плииииз хоть кто-нибудь, хоть немного.

@темы: Дискретная математика, Теория групп

22:03 

Исследовать ряд на сходимость и найти сумму функциональной посл-ти.

IWannaBeTheVeryBest
Ребят, всем снова привет. Выручайте. На завтра надо 1 ряд исследовать.
Первое задание исследовать ряд на сходимость - `sum int_{0}^{1/n} (x^(1/3))/(1 + x^4) * dx`
По обычаям этого сайта я наверное не могу просить полного решения. Тут только помогают. Поэтому как обычно говорю, что пытался делать.
Этот ряд будет сходится, если сходится интеграл. Интегрировать такую штуку довольно неприятно. Но, все-таки, через 2 замены получилось что-то приятное.
После первой `x = t^3, dx = 3t^2dt` у меня вышло `int (3t^3)/(1 + t^12) * dt`.
После второй `p = t^4, dp = 4t^3dt` вышло `3/4 * int 1/(1 + p^3) * dp`
Дальше можно на простейшие дроби развалить. У меня вопросов 2.
1) Не упустил ли я чего и верные ли рассуждения.
2) Можно ли как-то по-другому.
И да. Только не ругайтесь, но мне проще сначала найти интеграл, затем сделать обратную замену и уже потом подставлять пределы, чем ковырятся на каждой замене с пределами. :D

И вот второе - найти сумму посл-ти.
`x^3/3 + x^7/7 + x^11/11 + ... + (x^(4n - 1))/(4n - 1) + ...`
Нигде не могу найти примеры. Все что нашел - 1) продифференцировать почленно, 2)найти сумму геометрической прогрессии, 3) проинтегрировать обратно
1) Дифференцируем...
`x^2 + x^6 + x^10 + ... + x^(4n - 2) + ...`
2) Ищем сумму...
`S = (x^2 * (1 - x^(4n)))/(1 - x^4)`
3) Интегрируем...
`int_{0}^{x} (x^2 * (1 - x^(4n)))/(1 - x^4) dn`
Ответ вышел какой-то такой
`(x^3 * ln(x) - x^(4x + 2) - x^2)/((1 - x^4) * ln(x))`, но это уже мало важно. Мне главное верно ли я проделал алгоритм.
Спасибо))

@темы: Ряды

19:53 

Исследовать интеграл и ряд на сходимость.

IWannaBeTheVeryBest
1) int (ln(2 - (x/2))*ctg(sqrt(pix/2)))/sin(x - 2) dx from 0 to 2

2) sum (ln((n+1)/n))/(ln(n + 2))^(3/2)

Насчет 1 чето вообще нет идей. Ну может как-то по тейлору разложить функции?По Дирихле не разбить, так как нужно, чтобы какая-то из функций имела на нижнем пределе предел 0. Ну при x->0 в данном случае, предел такой функции должен быть равен 0. Таких тут нет. ctg периодичен. Если например попробовать по Абелю, где 1/sin(x - 2) ограничена, то ее предел при x (0; 2] должен быть равен А < inf.
Насчет второго вообще позор. Это вроде же числовой ряд. Там делать нечего должно быть. Я и тут умудрился затупить. Вообще ничего в голову не идет. Пытался подобрать такую функцию, которая в отношении с этой будет давать в пределе какое-то число > 0 и которую можно проверить на сходимость по интегральному Коши скажем. Тоже не знаю что делать. Плизз хелп.

@темы: Ряды, Несобственные интегралы, Математический анализ

01:00 

Определить сходимость рядов по Коши (1) и найти предел последовательности

IWannaBeTheVeryBest
Всем снова привет)) Кстати с прошедшим всех днем победы)) Не поможете с этими последовательностями
1. x(n) = x(n - 1) + (-1)^n*(5/7)^n
Нужно по критерию Коши определить сходится последовательность или нет.
Все что я знаю, так это надо взять разность посл-тей x(n) и x(n + m), а вернее составить такое неравенство
|x(n) - x(n + m)| < epsilon
Но блин тут еще какой-то x(n - 1) затесался. Очень сбивает. Или может просто как-то предположить, что m = -1, ну и перенести x(n - 1)?
Ну что-то вроде
x(n) - x(n - 1) = x(n) - x(n + m) = (-1)^n*(5/7)^n - (-1)^(n + m)*(5/7)^(n + m) < epsilon
2. Нужно найти предел последовательности (1 - 4 + 5 - 8 + ... + (4n + 1) - (4n + 4))/(2n + 5). Ну n как обычно к бесконечности. Я на самом деле вообще не люблю вот такие задания, где в числителе многоточие... Ну в общем вот такая вещь в числителе. Помню находил как-то материал по этой теме. Так там была чисто арифметическая прогрессия, сумму которой я был в состоянии найти. Тут вообще 0. Да еще и на конце эти 2 странные скобки, которые если раскрыть, то 4n сократится. Хотя может их и не надо раскрывать. Подскажите хоть как такое находить.
Спасибо большое)) Уже несколько раз выручали. Замечательный просто сайт))

@темы: Математический анализ

16:39 

Найти sup, inf и нижний и верхний пределы последовательности

IWannaBeTheVeryBest
Всем снова привет))

`x(n) = ((5n - 7)/(2n + 5)) * cos((2 + (-1)^n)*pi/6)`

В общем я что-то нарешал тут, но не знаю правильно или нет.
1) sup и inf
Косинус принимает значения либо 0, либо sqrt(3)/2. Поэтому при всех четных значениях n последовательность обнуляется
НО, при n = 1 у нас выходит единственное отрицательное значение, так как и n нечетное и числитель дроби будет отрицателен.
Поэтому в этом значении получается inf последовательности, ну как я думаю.
А вот с sup по-сложнее. Выходит, что супремум будет в каком-то n, который нечетный. Какое-то значение n*sqrt(3)/2. Поэтому тут пока не пойму какое значение.
2) Пределы
Как я думаю, можно сравнить данную посл-ть с другой. Например с ((5n - 7)/(2n + 5))*(sqrt(3)/2) которая больше либо равна данной в задании. А предел этой последовательности 5*sqrt(3)/4. Я думаю, что это верхний предел.
А нижний равен 0, так как при больших n он не опускается ниже потому что значение дроби постоянно растет.
Спасибо за внимание)) Жду поправок. Скажите, где я не так сделал что-то. Буду очень рад))

@темы: Математический анализ

14:27 

Доказать предел по определению

IWannaBeTheVeryBest
Здравствуйте еще раз)) Нужно доказать по определению этот предел

`lim_{n to oo} (sqrt(n+1)*arc ctg(n))/(2n+5)=0`
Я вроде как преобразовал arcctg(n) = arctg(1/n) ~ 1/n
Во-первых я не знаю можно ли пользоваться эквивалентными бесконечно малыми при доказательстве по определению
Во-вторых "|f(n)| < epsilon" нам надо привести к виду "n > delta(epsilon)", но я не в курсе, как явно выразить n.
P.S. Возможно я вообще не так что-то говорю. Поэтому жду хотя бы намека на то, как это можно сделать. Спасибо))

@темы: Математический анализ

18:25 

Доказать методом математической индукции

IWannaBeTheVeryBest
Здравствуйте. Хотелось бы узнать, как доказать методом математической индукции это
nx + (n - 1)x^2 + ... + 2x^(n - 1) + x^n = (x^(n + 2) - (n + 1)x^2 + nx)/(x - 1)^2
Я перечитал в интернете много чего, и везде обыденные примеры типа 1 + 4 + 9 + 16 + ... + n^2 = (n(n + 1)(2n + 1))/6 в которых все просто и понятно
Хорошо, пойду по тому же алгоритму.
1) для n = 1
x = (x^3 - 2x + x)/(x - 1)^2 = x
ok, работает
2) Нужно доказать, что это будет работать и для любого k типа
kx + (k - 1)x^2 + ... + 2x^(k - 1) + x^k = (x^(k + 2) - (k + 1)x^2 + kx)/(x - 1)^2
3) Теперь надо добавить k + 1 элемент, для которого будет выполняться (x^(k + 3) - (k + 2)x^2 + (k + 1)x)/(x - 1)^2
Это я правильно понимаю? Если да, то какой же это тогда элемент слева? По сути, если мы добавим какой-то следующий элемент с (k + 1), то будет
(k + 1)x^0 + kx + (k - 1)x^2 + ... + 2x^(k - 1) + x^k + 0x^(k + 1)
Получается, что у нас к ряду элементов добавился только (k + 1)x^0 = k + 1
То есть как я понимаю должно выполяться (x^(k + 3) - (k + 2)x^2 + (k + 1)x)/(x - 1)^2 = ((x^(n + 2) - (n + 1)x^2 + nx)/(x - 1)^2) + (k + 1) или нет?
Просто это не выполняется вроде как.
P.S. Добавил в Математический анализ, так как это у нас по нему было.

@темы: Математический анализ

23:17 

Оператор дифференцирования

IWannaBeTheVeryBest
Найти собственные функции и значения дифференциального оператора A: H^(n) -> H^(n). H^(n) - пространство многочленов от двух переменных вида
p(x, y) = СУММА аk("k" здесь ниж. индекс)*x^(n-k)*y^k, k от 0 до n. Действие оператора на элемент пространства H^(n) задано:
A(p) = x * (delta(p)/delta(x)) - y * (delta(p)/delta(y)).
Я вообще фигово разбираюсь во всех этих операторах. Хочу нормально разбираться. Помогите плззз...

@темы: Линейная алгебра

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная