Записи пользователя: IWannaBeTheVeryBest (список заголовков)
10:56 

Кольца и поля

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Просто хотел уточнить кое-что по данным структурам. Слышал довольно краткое их описание - в кольцах можно складывать, вычитать и умножать, а в полях можно еще и делить. То есть получается, что относительно умножения есть обратный элемент в поле. Правильно ли я понимаю, что поле - это абелева группа по сложению и умножению, а кольцо - это абелева группа по сложению и полугруппа по умножению? Если есть единичный элемент по умножению, то это - моноид по умножению. Ну и еще иногда оно бывает коммутативным.

@темы: Линейная алгебра

13:07 

Теория вероятностей. Характеристические функции

IWannaBeTheVeryBest
Вопрос у меня по теореме, я немного не понял ее.
"Комплекснозначная функция `f(t)` действительной переменной `t` является х.ф. тогда и только тогда, когда
(i) `f(t)` является неотрицательно определенной
(ii) `f(0) = 1`"
И если второе условие я могу понять, то как понять первое? Разве можно говорить о комплекснозначных функциях, что они могут быть положительно или отрицательно определены? По определению такие функции возвращают комплексные числа. Они не бывают отрицательными или положительными. Если я конечно верно понимаю определение "положительно определенная функция". Это же функция, которая принимает положительные значения? Если нет, то я что-то недоучил когда-то видимо)

@темы: Теория вероятностей

13:50 

Оценить с помощью неравенства Чебышева_2

IWannaBeTheVeryBest
Оценить сверху `P{|\eta_n/n - p^2| > \epsilon}`
если `\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{n + 1}` - результаты n + 1 испытаний схемы Бернулли (`P{\xi_i = 1} = p, P{\xi_i = 0} = 1 - p`)
а `\eta_n` - случайная величина, равная числу таких `i`, что `\xi_i = \xi_{i + 1} = 1`
Ну я так понимаю, что для начала надо рассмотреть хотя бы первые два испытания схемы Бернулли. Вероятность того, что обе величины будут равны 1 = `p^2`.
`\eta_n = \eta_{1,2} + \eta_{2,3} + \dots + \eta_{n,n+1}`
Так как все `\eta_{i, i+1}` распределены одинаково, то получается, что
`E[\eta_n] = E[\eta_{1,2}] + E[\eta_{2,3}] + \dots = np^2`
`E[\eta_n/n] = p^2`
Я думаю, что так как в исходной задаче вычитаемое под модулем как раз `p^2`, то я вроде как иду по верному пути.
Дальше
`D[\eta_n] = D[\eta_{1,2}] + D[\eta_{2,3}] + \dots = n * (E[\eta_{1,2}^2] - E^2[\eta_{1,2}]) = n(p^2 - p^4)`
`D[\eta_n/n] = (p^2(1 - p)(1 + p))/n`
`P{|\eta_n/n - p^2| > \epsilon} <= (p^2(1 - p)(1 + p))/(n\epsilon^2)`
Вроде так должно быть. Но в ответе
`(p^2(1 - p)(1 + 3p))/(n\epsilon^2)`
В принципе без разницы какой ответ в задачнике. Главное, чтобы решение было верное.

@темы: Теория вероятностей

16:37 

Оценить с помощью неравенства Чебышева

IWannaBeTheVeryBest
Оценить сверху неравенство `P{|\eta_n/n - 3.5| > \epsilon}, \epsilon > 0`, если
`\eta_n` - случайная величина равная сумме очков при `n` подбрасываниях игральной кости.
Не могу понять, как так получается, что сверху это оценено как `8.75/(n\epsilon^2)`
То есть каким образом здесь вообще ищется дисперсия и как здесь определено матожидание, если подбрасываний n штук. Или мне нужно сначала определить это n? то есть сверху это оценивается как `(D[\eta_n/n])/(\epsilon^2)`

@темы: Теория вероятностей

17:59 

Привести к жордановой форме матрицу

IWannaBeTheVeryBest
Так что-то решил повторить и туплю в примере
`A = ((1,0,1),(0,1,-1),(-1,-1,1))`
Дальше, насколько я помню как нас учили, надо найти собственные числа этой матрицы, потом собственные вектора, к ним присоединенные найти, если нужно, из них составить матрицу S и найти жорданову форму матрицы по формуле
`J_A = S^{-1} * A * S`
Окей. (лямбду на t заменю, ибо так проще писать)
`|A - t E| = |(1-t,0,1),(0,1-t,-1),(-1,-1,1-t)| = (1 - t)^3`
`t = 1` (кр. 3)
Дальше видимо я ошибаюсь где-то.
`((0,0,1,|0),(0,0,-1,|0),(-1,-1,0,|0))`
Здесь первый собственный вектор будет
`\vec{x_1} = C * ((-1),(1),(0))`
Потом, насколько я помню, в расширенную матрицу справа вставляются элементы данного собственного вектора. Ну как бы получается, что у нас получился один вектор, а собственных значений 3. Поэтому надо искать присоединенный вектор. То есть
`((0,0,1,|-1),(0,0,-1,|1),(-1,-1,0,|0))`
Тут вектор будет
`\vec{x_2} = C_1 * ((-1),(1),(0)) + C_2 * ((0),(0),(1))`
И наконец еще один вектор. Как я понимаю, ищется так
`((0,0,1,|0),(0,0,-1,|0),(-1,-1,0,|1))`
Получился
`\vec{x_3} = C_3 * ((-1),(1),(0)) + ((-1),(0),(0))`
И получается, что `S = ((-1, 0, -1),(1, 0, 0),(0, 1, 0))`
Где я неверно посчитал что-то? Просто дальше с перемножением у меня косяк получается. Там над диагональным элементом где-то -1 вылезает.

@темы: Линейная алгебра

19:08 

Теория вероятностей

IWannaBeTheVeryBest
В урне 15 белых, 10 черных, 15 синих и 10 красных шаров. Вынимают два шара. Найти вероятность того, что это будут белый и красный или белый и синий шары.

Вообще найти вероятность того, что мы достали белый и красный шары я могу. Также можно посчитать вероятность того, что это будут белый и синий шары. А как мне найти вероятность того, что это будет "то или другое"? Тем более, что в первом и во втором случае есть белый шар.
Какая это тема из теории вероятностей? Потом почитаю, повторю.

@темы: Теория вероятностей

00:16 

Доказать по определению предел

IWannaBeTheVeryBest
Хотел бы просто освоить эту технику более менее.
`lim_{x -> 3} (2x + 3)/(x - 2) = 9`
`|x - 3| < \delta => |(2x + 3)/(x - 2) - 9| = |(-7x + 21)/(x - 2)| = 7|x - 3|/|x - 2| < \epsilon`
`|x - 3|/|x - 2| < \epsilon/7`
В принципе, можно выбрать `\delta = \epsilon/7`. Ну как бы по правилу, что если `|x - 3|` будет меньше такой дельты, то `|x - 3|/|x - 2|` и подавно будет меньше.
Правда не всегда. Проблема с промежутком `1 < x < 3`. Как вот тут быть?

@темы: Математический анализ

20:35 

Множество рациональных чисел

IWannaBeTheVeryBest
Доказать, что не существует таких рациональных `a,b,c,d`, что
`(a + bsqrt(3))^4 + (c + dsqrt(3))^4 = 4 + 3sqrt(3)`
Можете подсказать литературку какую-нибудь, что могло бы натолкнуть на мысль, как тут действовать.
Сейчас буду гуглить свойства рациональных чисел. Но ощущение, что вряд ли это настолько тривиально

@темы: Теория чисел

18:30 

Теория чисел. Корень многочлена и алгебраичность числа

IWannaBeTheVeryBest
Первую задачу я просто хочу проверить - прав я или нет.
"Проверить, является ли число алгебраическим?
`2sqrt(3) + 3sqrt(2)i`"
Число является алгебраическим, если оно является корнем какого-то многочлена с рациональными коэффициентами. Также, множество алгебраических чисел - поле.
Значит достаточно рассмотреть по отдельности каждое число.
1) `i` - алгебраическое: `x^2 + 1 = 0`
2) `3sqrt(2)` - алгебраическое: `x^2 - 18 = 0`
3) `2sqrt(3)` - алгебраическое: `x^2 - 12 = 0`
Значит исходное число - алгебраическое.
Вот со второй - проблемы.
"a - корень многочлена `x^3 + 2x + 7 = 0`. Корнем какого многочлена является число `a^2 + a - 3`?"
Пока из идей, только решить грубо
`(x - a)(x - b)(x - c) = (x^2 - x(a + b) + ab)(x - c) = x^3 - x^2(c + a + b) + x(ab + bc + ac) - abc`
И тупо система
`{(a + b + c = 0), (ab + bc + ac = 2), (-abc = 7):}`
Находим `a`, (хотя наверное любой другой корень тоже подойдет, но наверное имеется ввиду, что a - действительный корень, а остальные будут комплексными), подставляем в `a^2 + a - 3`, и находим простой многочлен, для которого это будет являться корнем.
А если имеется ввиду, что нужно найти такой многочлен, у которого корнями будут `a^2 + a - 3`, `b^2 + b - 3`, `c^2 + c - 3`, то это тоже будет несложно сделать.
Но наверняка это слишком грубо и сложно. Наверное можно быстрее.

@темы: Теория чисел

23:45 

Уравнение с бесконечным корнем

IWannaBeTheVeryBest
Прошу прощения за мой скудный словарный запас, но я не знал, как еще это назвать. Как эти уравнения называются
`sqrt(2 + xsqrt(2 + xsqrt(2 + \dots))) = x + 1`
Хоть найти как решаются, а то не гуглится, ибо не знаю, как точно назвать.

@темы: Теория чисел

13:37 

Изопериметрическая задача

IWannaBeTheVeryBest
"Найти экстремум функционала `int_{0}^{1} y^2 + (y')^2 dx` при условии, что `int_{0}^{1} y^2 dx = 1`; `y(0) = y(1) = 0`"
kpfu.ru/docs/F1589821731/metod_report.pdf (страница 20).
Сначала составляется Лагранжиан:
`L = \lambda_0 (y^2 + (y')^2) + \lambda_1 * y^2`
Дальше надо составить уравнение Эйлера, решить его с данными условиями и проверить, обнуляются ли множители Лагранжа одновременно, дабы установить факт того, что необходимое условие экстремума первого порядка выполнено.
`L_y = 2\lambda_0 * y + 2\lambda_1 * y`
`L_(y') = 2\lambda_0 * y'`
`d/(dx) L_(y') = 2\lambda_0 * y''`
Уравнение Эйлера:
`2\lambda_0y + 2\lambda_1y - 2\lambda_0 * y'' = 0`
`y''\lambda_0 - (\lambda_0 + \lambda_1)y = 0`
Если `\lambda_0 = 0`, то `\lambda_1 = 0`. Есть конечно случай, когда `\lambda_1 \neq 0`, но тогда `y = 0`, а это противоречит первому условию `int_{0}^{1} y^2 dx = 1`.
Решая уравнение получаем, что
`y = C_1 * e^{sqrt((\lambda_0 + \lambda_1)/(\lambda_0))*x} + C_2 * e^{-sqrt((\lambda_0 + \lambda_1)/(\lambda_0))*x}`
Возьмем `\lambda_0 = 1`. Тогда
`y = C_1 * e^{sqrt(1 + \lambda_1)*x} + C_2 * e^{-sqrt(1 + \lambda_1)*x}`
Подставляем в наши условия
`y(0) = C_1 + C_2 = 0`
`y(1) = C_1 * e^{sqrt(1 + \lambda_1)} + C_2 * e^{-sqrt(1 + \lambda_1)} = 0`
Тут, кроме тривиального решения, больше я не вижу решений. Однако `y \neq 0`. Значит надо подобрать другое значение `\lambda_0`? Или в условиях косяк какой-то?

@темы: Уравнения мат. физики

20:21 

Вариационное исчисление. Двойной интеграл. Экстремум функционала

IWannaBeTheVeryBest
Вот задачка такая
"Найти экстремум функционала
`iint_{\Omega} (\nabla u)^2 dS`; `\Omega = {(r, \phi): 2<= r <= 3}`; `u|_{r = 2} = 4sin(3\phi)`; `u|_{r = 3} = 4cos(2\phi)`"
Вообще есть какие-то идеи для такого случая? В случае одного интеграла я представляю как решается. Надо составлять уравнение Эйлера. Для этого случая вроде тоже знаю, как запишется уравнение Эйлера, но тут как-то странно, даже не знаю. Интеграл по области. Сама область лежит в плоскости. Значит можно предположить, что это все же двойной интеграл. `\nabla u = u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3)`. Дальше формула Эйлера
`F_u - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_x - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_y - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_z = 0`
Вообще пока я не могу понять. Как то же тут можно перейти к двойному интегралу? Ну типа по переменным `r; \phi`?

@темы: Уравнения мат. физики

11:23 

Теория чисел. Интересная системка :)

IWannaBeTheVeryBest
"Решить в натуральных числах систему
`x + y = 884`
`[x,y] = 189(x,y) `"
В квадратных скобках НОК, в круглых - НОД.
Ну вообще, решением в натуральных числах первого уравнения будет система
`{(x = n),(y = 884 - n):}`, `n \in {1 \dots 883}`
или
`{(x = 884 - n),(y = n):}`
Второе уравнение домножил на `(x, y)`. Получил
`xy = 189(x, y)^2`
Можно еще преобразовать. Если `(x, y) = d`, то существуют такие целые a и b, что `ax + by = d`. Отсюда
`xy = 189(ax + by)^2`
Вообще, я здесь уперся в идею, что `xy` должно быть кратно `189`.
Из 883 чисел нам подходят те, которые, как минимум, делятся на 7.
Еще что... Ну по-сути задачу можно переписать в виде
"Найти все натуральные `n` из диапазона `1 \dots 883`, такие что `(884 - n)*n` кратно `189`"
Может еще какие идеи есть?

@темы: Теория чисел

23:03 

Простые числа

IWannaBeTheVeryBest
"Найти все простые `p`, такие, что `3p + 20` и `3p + 22` тоже простые"
Ну любое простое число представимо в виде
`p = 6k +- 1`, `k \in Z`
Подставим в наши выражения
`3(6k + 1) + 20 = 18k + 23 = 6 * 3k + 6 * 4 - 1 = 6(3k + 4) - 1 sim 6q - 1`
`3(6k - 1) + 20 = 18k + 17 = 6 * 3k + 6 * 3 - 1 = 6(3k + 3) - 1 sim 6q - 1`
`3(6k + 1) + 22 = 18k + 25 = 6 * 3k + 6 * 4 + 1 sim 6q + 1`
`3(6k - 1) + 22 = 18k + 19 = 6 * 3k + 6 * 3 + 1 sim 6q + 1`
Проблема только в том, что простое число лишь представимо в таком виде. Однако `6k + 1` не всегда является простым. Если `k = 4` то это составное число.
То есть я тут как бы доказал, что если мы подставим в `3p + 20` любое простое число, то мы будем получать числа вида `6k - 1`, не обязательно простые.

@темы: Теория чисел

21:17 

Вариационное исчисление. Экстремум функционала

IWannaBeTheVeryBest
Задача такая
`int_{0}^{1} (y')^3 dx -> inf`
`{(y(0) = 0), (y(1) = 1):}`
Эта задача разбирается в учебнике. Я добрался до условия Якоби. Для того, чтобы его проверить, надо выписать уравнение Якоби для данного случая. Но почему-то я всюду нахожу разные уравнения. В задачнике, где я разбираю эту задачу дано такое
`-d/dx(f_{y'y'}(x) * h'(x) + f_{y'y}(x) * h(x)) + f_{yy'}(x) * h'(x) + f_{yy}(x) * h(x) = 0`
В другом месте дано уравнение
`(f_{yy} - d/dx f_{yy'}) * h(x) - d/dx(f_{y'y'}*h'(x)) = 0`
Но что больше всего выносит мозг - это то, что уравнение Якоби в задачнике выписано для этого случая так
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`
С решением
`h(x) = C_1 * x + C_2`
Вот и мне не ясно, какое из уравнений верное, так как очевидно, что в первом из них 4 слагаемых, а в другом - 3. К тому же, с какой стати уравнение Якоби тут
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`?
Двойная производная по `y'` функции `(y')^3` будет равна `6y'` и уравнение Якоби должно выглядеть так
`-d/dx 6y' * h'(x) = 0`

@темы: Уравнения мат. физики

15:10 

Обобщенные функции

IWannaBeTheVeryBest
"Решить уравнение в обобщенных функциях
`(x - 1)(x - 2)y'' = P(1/x^2)`"
Вообще есть у кого какая литературка по этому? Находил лекции по обобщенным функциям, но проблема в том, что из лекций далеко не всегда понятно, как что-то решать. А примеров я тоже не нашел...

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

13:23 

Теория чисел. Системы счисления.

IWannaBeTheVeryBest
"На какую цифру оканчивается число `32^101 + 35^301` в 15-чной системе счисления?"
Вроде знаю как решать. Чисто проверить верно или нет.
Изначально число дано в 10 системе счисления. Для перевода числа из десятичной в любую другую, мы делим данное число на основание системы ну и дальше составляем ответ из одного значения частного, и остальных остатков. По сути задачу можно переопределить так
"Найти остаток от деления `32^101 + 35^301` на 15"
Так как `32 = 15 * 2 + 2`, то можно сделать преобразование
`32^101 -= 2^101`
Дальше по теореме Эйлера
$a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod n)$, где `(a, n) = 1`
В таком случае, $2^{\phi(15)} \equiv 2^8 \equiv 1(mod 15)$
Тогда
`2^101 -= 2^96 * 32 -= (2^8)^12 * 32 -= 32` $\equiv 2 (mod 15)$
Второе слагаемое делится на 5, но не делится на 3. Поэтому нам надо найти остаток от деления `35^301/3`. Кстати, можно ли тут искать остаток `7^301/3`?
`35^301 -= 2^301`
Дальше по теореме Эйлера
$2^2 \equiv 1 (mod 3)$
`2^301 -= (2^2)^150 * 2 -= 2` $\equiv 2 (mod 3)$
Сумма остатков = 4. Ответ 4.

@темы: Теория чисел

20:55 

Теория чисел. Отношение сравнимости.

IWannaBeTheVeryBest
Вопрос чисто формальный. Чем отличается отрицательный остаток от положительного? Ну вот у меня задача
`f(x) = 15x^3 - 33x^2 + 7`. Найти остаток от деления `f(86)` на `11`.
Ну решение такое.
Вычисляем для коэффициентов остатки от деления на 11
$15 \equiv 4 (mod 11)$; $33 \equiv 0 (mod 11)$; $7 \equiv -4 (mod 11)$
Ну и еще $86 \equiv -2 (mod 11)$
$f(86) \equiv f(-2) (mod 11) \equiv 4 * (-2)^3 - 0 - 4 \equiv -36 \equiv -3 \equiv 8 (mod 11)$
И ответ получается 8. А почему бы нам не написать, что
$-36 \equiv -3 (mod 11)$ и не сказать, что ответ -3, а не 8? Или большой разницы нет? просто привычка еще с тригонометрии - брать меньший угол, поэтому как-то на автомате хочется взять число, меньшее по модулю :)

@темы: Теория чисел

22:56 

Теория чисел. Функция Эйлера.

IWannaBeTheVeryBest
`\phi(x) = 2`
В учебнике дано решение, но я его не могу понять никак. Просто на первой фразе встал.
"`x` обладает каноническим разложением. `x = p_1^{a_1} * \dots * p_k^{a_k}`. При этом `\phi(x) = p_1^{a_1 - 1} * \dots * p_k^{a_k - 1} * (p_1 - 1) * \dots * (p_k - 1)`
Пусть `\phi(x) = 2^m*l`, где `l` - нечетное. Поскольку для нечетного простого числа `p` величина `p - 1` четна, то в каноническом разложении `x` имеется не более `m` нечетных простых множителей." (дальше попробую сам понять)
Не понимаю причинно следственную связь. Как из одного вытекает другое. Все, что удалось мне выжать
`2^m * l` четное число.
`2^m * l = p_1^{a_1 - 1} * \dots * p_k^{a_k - 1} * (p_1 - 1) * \dots * (p_k - 1)`
Ну и понятно, что в последнем равенстве, справа не все множители нечетные.

@темы: Теория чисел

22:21 

Теория чисел. Остатки

IWannaBeTheVeryBest
"Доказать, что квадрат любого целого числа не представим в виде `4k + 2` где `k \in Z`"
Решал так. Ну предположим, что у нас есть некоторое число `a = 4q + r`. `0 <= r < 4`, `q \in Z`. Тогда `a^2 = (4q + r)^2 = 16q^2 + 8qr + r^2`.
1) `r = 0`
`a^2 = 16q^2 = |k = 4q| = 4k`
2) `r = 1`
`a^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 4q(4q + 2) + 1 = |k = q(4q + 2)| = 4k + 1`
3) `r = 2`
`a^2 = 16q^2 + 16q + 4 = 4(4q^2 + 4q + 1) = |k = 4q^2 + 4q + 1| = 4k`
4) `r = 3`
`a^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 4q(4q + 6) + 8 + 1 = 4(q(4q + 6) + 2) + 1 = |k = q(4q + 6) + 2| = 4k + 1`
Соответственно, квадрат любого числа представим либо в виде `4k` либо в виде `4k + 1`.
Верно? Если да, то меня стал мучить такой вопрос.
`a^2 \neq 4k + 2 = 2(2k + 1)`
`a \neq +- sqrt(2) * sqrt(2k + 1)`
То есть, по сути, здесь говорится, что так как `a` - целое и оно неравно `+- sqrt(2) * sqrt(2k + 1)`, то вообще говоря последнее не является целым числом.
Вопрос такой. А где-то действительно есть такая теоремка, что произведение нечетного числа на двойку есть число из которого не извлекается квадратный корень? ну или квадратный корень произведения двойки на нечетное число есть число иррациональное? Или это слишком примитивно? :D Просто я сомневаюсь, что я открыл что-то новое.
Однако с ходу не могу придумать этому доказательства.

@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная