• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: IWannaBeTheVeryBest (список заголовков)
00:16 

Доказать по определению предел

IWannaBeTheVeryBest
Хотел бы просто освоить эту технику более менее.
`lim_{x -> 3} (2x + 3)/(x - 2) = 9`
`|x - 3| < \delta => |(2x + 3)/(x - 2) - 9| = |(-7x + 21)/(x - 2)| = 7|x - 3|/|x - 2| < \epsilon`
`|x - 3|/|x - 2| < \epsilon/7`
В принципе, можно выбрать `\delta = \epsilon/7`. Ну как бы по правилу, что если `|x - 3|` будет меньше такой дельты, то `|x - 3|/|x - 2|` и подавно будет меньше.
Правда не всегда. Проблема с промежутком `1 < x < 3`. Как вот тут быть?

@темы: Математический анализ

20:35 

Множество рациональных чисел

IWannaBeTheVeryBest
Доказать, что не существует таких рациональных `a,b,c,d`, что
`(a + bsqrt(3))^4 + (c + dsqrt(3))^4 = 4 + 3sqrt(3)`
Можете подсказать литературку какую-нибудь, что могло бы натолкнуть на мысль, как тут действовать.
Сейчас буду гуглить свойства рациональных чисел. Но ощущение, что вряд ли это настолько тривиально

@темы: Теория чисел

18:30 

Теория чисел. Корень многочлена и алгебраичность числа

IWannaBeTheVeryBest
Первую задачу я просто хочу проверить - прав я или нет.
"Проверить, является ли число алгебраическим?
`2sqrt(3) + 3sqrt(2)i`"
Число является алгебраическим, если оно является корнем какого-то многочлена с рациональными коэффициентами. Также, множество алгебраических чисел - поле.
Значит достаточно рассмотреть по отдельности каждое число.
1) `i` - алгебраическое: `x^2 + 1 = 0`
2) `3sqrt(2)` - алгебраическое: `x^2 - 18 = 0`
3) `2sqrt(3)` - алгебраическое: `x^2 - 12 = 0`
Значит исходное число - алгебраическое.
Вот со второй - проблемы.
"a - корень многочлена `x^3 + 2x + 7 = 0`. Корнем какого многочлена является число `a^2 + a - 3`?"
Пока из идей, только решить грубо
`(x - a)(x - b)(x - c) = (x^2 - x(a + b) + ab)(x - c) = x^3 - x^2(c + a + b) + x(ab + bc + ac) - abc`
И тупо система
`{(a + b + c = 0), (ab + bc + ac = 2), (-abc = 7):}`
Находим `a`, (хотя наверное любой другой корень тоже подойдет, но наверное имеется ввиду, что a - действительный корень, а остальные будут комплексными), подставляем в `a^2 + a - 3`, и находим простой многочлен, для которого это будет являться корнем.
А если имеется ввиду, что нужно найти такой многочлен, у которого корнями будут `a^2 + a - 3`, `b^2 + b - 3`, `c^2 + c - 3`, то это тоже будет несложно сделать.
Но наверняка это слишком грубо и сложно. Наверное можно быстрее.

@темы: Теория чисел

23:45 

Уравнение с бесконечным корнем

IWannaBeTheVeryBest
Прошу прощения за мой скудный словарный запас, но я не знал, как еще это назвать. Как эти уравнения называются
`sqrt(2 + xsqrt(2 + xsqrt(2 + \dots))) = x + 1`
Хоть найти как решаются, а то не гуглится, ибо не знаю, как точно назвать.

@темы: Теория чисел

13:37 

Изопериметрическая задача

IWannaBeTheVeryBest
"Найти экстремум функционала `int_{0}^{1} y^2 + (y')^2 dx` при условии, что `int_{0}^{1} y^2 dx = 1`; `y(0) = y(1) = 0`"
kpfu.ru/docs/F1589821731/metod_report.pdf (страница 20).
Сначала составляется Лагранжиан:
`L = \lambda_0 (y^2 + (y')^2) + \lambda_1 * y^2`
Дальше надо составить уравнение Эйлера, решить его с данными условиями и проверить, обнуляются ли множители Лагранжа одновременно, дабы установить факт того, что необходимое условие экстремума первого порядка выполнено.
`L_y = 2\lambda_0 * y + 2\lambda_1 * y`
`L_(y') = 2\lambda_0 * y'`
`d/(dx) L_(y') = 2\lambda_0 * y''`
Уравнение Эйлера:
`2\lambda_0y + 2\lambda_1y - 2\lambda_0 * y'' = 0`
`y''\lambda_0 - (\lambda_0 + \lambda_1)y = 0`
Если `\lambda_0 = 0`, то `\lambda_1 = 0`. Есть конечно случай, когда `\lambda_1 \neq 0`, но тогда `y = 0`, а это противоречит первому условию `int_{0}^{1} y^2 dx = 1`.
Решая уравнение получаем, что
`y = C_1 * e^{sqrt((\lambda_0 + \lambda_1)/(\lambda_0))*x} + C_2 * e^{-sqrt((\lambda_0 + \lambda_1)/(\lambda_0))*x}`
Возьмем `\lambda_0 = 1`. Тогда
`y = C_1 * e^{sqrt(1 + \lambda_1)*x} + C_2 * e^{-sqrt(1 + \lambda_1)*x}`
Подставляем в наши условия
`y(0) = C_1 + C_2 = 0`
`y(1) = C_1 * e^{sqrt(1 + \lambda_1)} + C_2 * e^{-sqrt(1 + \lambda_1)} = 0`
Тут, кроме тривиального решения, больше я не вижу решений. Однако `y \neq 0`. Значит надо подобрать другое значение `\lambda_0`? Или в условиях косяк какой-то?

@темы: Уравнения мат. физики

20:21 

Вариационное исчисление. Двойной интеграл. Экстремум функционала

IWannaBeTheVeryBest
Вот задачка такая
"Найти экстремум функционала
`iint_{\Omega} (\nabla u)^2 dS`; `\Omega = {(r, \phi): 2<= r <= 3}`; `u|_{r = 2} = 4sin(3\phi)`; `u|_{r = 3} = 4cos(2\phi)`"
Вообще есть какие-то идеи для такого случая? В случае одного интеграла я представляю как решается. Надо составлять уравнение Эйлера. Для этого случая вроде тоже знаю, как запишется уравнение Эйлера, но тут как-то странно, даже не знаю. Интеграл по области. Сама область лежит в плоскости. Значит можно предположить, что это все же двойной интеграл. `\nabla u = u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3)`. Дальше формула Эйлера
`F_u - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_x - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_y - (u_x*\vec(e_1) + u_y*\vec(e_2) + u_z*\vec(e_3))_z = 0`
Вообще пока я не могу понять. Как то же тут можно перейти к двойному интегралу? Ну типа по переменным `r; \phi`?

@темы: Уравнения мат. физики

11:23 

Теория чисел. Интересная системка :)

IWannaBeTheVeryBest
"Решить в натуральных числах систему
`x + y = 884`
`[x,y] = 189(x,y) `"
В квадратных скобках НОК, в круглых - НОД.
Ну вообще, решением в натуральных числах первого уравнения будет система
`{(x = n),(y = 884 - n):}`, `n \in {1 \dots 883}`
или
`{(x = 884 - n),(y = n):}`
Второе уравнение домножил на `(x, y)`. Получил
`xy = 189(x, y)^2`
Можно еще преобразовать. Если `(x, y) = d`, то существуют такие целые a и b, что `ax + by = d`. Отсюда
`xy = 189(ax + by)^2`
Вообще, я здесь уперся в идею, что `xy` должно быть кратно `189`.
Из 883 чисел нам подходят те, которые, как минимум, делятся на 7.
Еще что... Ну по-сути задачу можно переписать в виде
"Найти все натуральные `n` из диапазона `1 \dots 883`, такие что `(884 - n)*n` кратно `189`"
Может еще какие идеи есть?

@темы: Теория чисел

23:03 

Простые числа

IWannaBeTheVeryBest
"Найти все простые `p`, такие, что `3p + 20` и `3p + 22` тоже простые"
Ну любое простое число представимо в виде
`p = 6k +- 1`, `k \in Z`
Подставим в наши выражения
`3(6k + 1) + 20 = 18k + 23 = 6 * 3k + 6 * 4 - 1 = 6(3k + 4) - 1 sim 6q - 1`
`3(6k - 1) + 20 = 18k + 17 = 6 * 3k + 6 * 3 - 1 = 6(3k + 3) - 1 sim 6q - 1`
`3(6k + 1) + 22 = 18k + 25 = 6 * 3k + 6 * 4 + 1 sim 6q + 1`
`3(6k - 1) + 22 = 18k + 19 = 6 * 3k + 6 * 3 + 1 sim 6q + 1`
Проблема только в том, что простое число лишь представимо в таком виде. Однако `6k + 1` не всегда является простым. Если `k = 4` то это составное число.
То есть я тут как бы доказал, что если мы подставим в `3p + 20` любое простое число, то мы будем получать числа вида `6k - 1`, не обязательно простые.

@темы: Теория чисел

21:17 

Вариационное исчисление. Экстремум функционала

IWannaBeTheVeryBest
Задача такая
`int_{0}^{1} (y')^3 dx -> inf`
`{(y(0) = 0), (y(1) = 1):}`
Эта задача разбирается в учебнике. Я добрался до условия Якоби. Для того, чтобы его проверить, надо выписать уравнение Якоби для данного случая. Но почему-то я всюду нахожу разные уравнения. В задачнике, где я разбираю эту задачу дано такое
`-d/dx(f_{y'y'}(x) * h'(x) + f_{y'y}(x) * h(x)) + f_{yy'}(x) * h'(x) + f_{yy}(x) * h(x) = 0`
В другом месте дано уравнение
`(f_{yy} - d/dx f_{yy'}) * h(x) - d/dx(f_{y'y'}*h'(x)) = 0`
Но что больше всего выносит мозг - это то, что уравнение Якоби в задачнике выписано для этого случая так
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`
С решением
`h(x) = C_1 * x + C_2`
Вот и мне не ясно, какое из уравнений верное, так как очевидно, что в первом из них 4 слагаемых, а в другом - 3. К тому же, с какой стати уравнение Якоби тут
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`?
Двойная производная по `y'` функции `(y')^3` будет равна `6y'` и уравнение Якоби должно выглядеть так
`-d/dx 6y' * h'(x) = 0`

@темы: Уравнения мат. физики

15:10 

Обобщенные функции

IWannaBeTheVeryBest
"Решить уравнение в обобщенных функциях
`(x - 1)(x - 2)y'' = P(1/x^2)`"
Вообще есть у кого какая литературка по этому? Находил лекции по обобщенным функциям, но проблема в том, что из лекций далеко не всегда понятно, как что-то решать. А примеров я тоже не нашел...

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

13:23 

Теория чисел. Системы счисления.

IWannaBeTheVeryBest
"На какую цифру оканчивается число `32^101 + 35^301` в 15-чной системе счисления?"
Вроде знаю как решать. Чисто проверить верно или нет.
Изначально число дано в 10 системе счисления. Для перевода числа из десятичной в любую другую, мы делим данное число на основание системы ну и дальше составляем ответ из одного значения частного, и остальных остатков. По сути задачу можно переопределить так
"Найти остаток от деления `32^101 + 35^301` на 15"
Так как `32 = 15 * 2 + 2`, то можно сделать преобразование
`32^101 -= 2^101`
Дальше по теореме Эйлера
$a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod n)$, где `(a, n) = 1`
В таком случае, $2^{\phi(15)} \equiv 2^8 \equiv 1(mod 15)$
Тогда
`2^101 -= 2^96 * 32 -= (2^8)^12 * 32 -= 32` $\equiv 2 (mod 15)$
Второе слагаемое делится на 5, но не делится на 3. Поэтому нам надо найти остаток от деления `35^301/3`. Кстати, можно ли тут искать остаток `7^301/3`?
`35^301 -= 2^301`
Дальше по теореме Эйлера
$2^2 \equiv 1 (mod 3)$
`2^301 -= (2^2)^150 * 2 -= 2` $\equiv 2 (mod 3)$
Сумма остатков = 4. Ответ 4.

@темы: Теория чисел

20:55 

Теория чисел. Отношение сравнимости.

IWannaBeTheVeryBest
Вопрос чисто формальный. Чем отличается отрицательный остаток от положительного? Ну вот у меня задача
`f(x) = 15x^3 - 33x^2 + 7`. Найти остаток от деления `f(86)` на `11`.
Ну решение такое.
Вычисляем для коэффициентов остатки от деления на 11
$15 \equiv 4 (mod 11)$; $33 \equiv 0 (mod 11)$; $7 \equiv -4 (mod 11)$
Ну и еще $86 \equiv -2 (mod 11)$
$f(86) \equiv f(-2) (mod 11) \equiv 4 * (-2)^3 - 0 - 4 \equiv -36 \equiv -3 \equiv 8 (mod 11)$
И ответ получается 8. А почему бы нам не написать, что
$-36 \equiv -3 (mod 11)$ и не сказать, что ответ -3, а не 8? Или большой разницы нет? просто привычка еще с тригонометрии - брать меньший угол, поэтому как-то на автомате хочется взять число, меньшее по модулю :)

@темы: Теория чисел

22:56 

Теория чисел. Функция Эйлера.

IWannaBeTheVeryBest
`\phi(x) = 2`
В учебнике дано решение, но я его не могу понять никак. Просто на первой фразе встал.
"`x` обладает каноническим разложением. `x = p_1^{a_1} * \dots * p_k^{a_k}`. При этом `\phi(x) = p_1^{a_1 - 1} * \dots * p_k^{a_k - 1} * (p_1 - 1) * \dots * (p_k - 1)`
Пусть `\phi(x) = 2^m*l`, где `l` - нечетное. Поскольку для нечетного простого числа `p` величина `p - 1` четна, то в каноническом разложении `x` имеется не более `m` нечетных простых множителей." (дальше попробую сам понять)
Не понимаю причинно следственную связь. Как из одного вытекает другое. Все, что удалось мне выжать
`2^m * l` четное число.
`2^m * l = p_1^{a_1 - 1} * \dots * p_k^{a_k - 1} * (p_1 - 1) * \dots * (p_k - 1)`
Ну и понятно, что в последнем равенстве, справа не все множители нечетные.

@темы: Теория чисел

22:21 

Теория чисел. Остатки

IWannaBeTheVeryBest
"Доказать, что квадрат любого целого числа не представим в виде `4k + 2` где `k \in Z`"
Решал так. Ну предположим, что у нас есть некоторое число `a = 4q + r`. `0 <= r < 4`, `q \in Z`. Тогда `a^2 = (4q + r)^2 = 16q^2 + 8qr + r^2`.
1) `r = 0`
`a^2 = 16q^2 = |k = 4q| = 4k`
2) `r = 1`
`a^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 4q(4q + 2) + 1 = |k = q(4q + 2)| = 4k + 1`
3) `r = 2`
`a^2 = 16q^2 + 16q + 4 = 4(4q^2 + 4q + 1) = |k = 4q^2 + 4q + 1| = 4k`
4) `r = 3`
`a^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 4q(4q + 6) + 8 + 1 = 4(q(4q + 6) + 2) + 1 = |k = q(4q + 6) + 2| = 4k + 1`
Соответственно, квадрат любого числа представим либо в виде `4k` либо в виде `4k + 1`.
Верно? Если да, то меня стал мучить такой вопрос.
`a^2 \neq 4k + 2 = 2(2k + 1)`
`a \neq +- sqrt(2) * sqrt(2k + 1)`
То есть, по сути, здесь говорится, что так как `a` - целое и оно неравно `+- sqrt(2) * sqrt(2k + 1)`, то вообще говоря последнее не является целым числом.
Вопрос такой. А где-то действительно есть такая теоремка, что произведение нечетного числа на двойку есть число из которого не извлекается квадратный корень? ну или квадратный корень произведения двойки на нечетное число есть число иррациональное? Или это слишком примитивно? :D Просто я сомневаюсь, что я открыл что-то новое.
Однако с ходу не могу придумать этому доказательства.

@темы: Теория чисел

18:23 

Теория вероятностей. Случайные процессы.

IWannaBeTheVeryBest
Есть ли какой-нибудь задачник по теории вероятностей, где разобраны задачи из данной темы? Ну к примеру
"Случайный процесс `x(t)` `t >= 0` определяется формулой `x(t) = a * sin(t + b) + \epsilon`, где `a,b,\epsilon` - независимые случайные величины, причем случайные величины распределены по законам...
Найти `P(X(t_1) <= X(t_2) | a <= 0)`, где `0 <= t_1 <= t_2 <= pi/2`"

@темы: Теория вероятностей

16:55 

Теория вероятностей. Функция от нескольких случайных величин.

IWannaBeTheVeryBest
"`X_1, X_2 ... X_n` - случайные независимые величины, каждая из которых имеет плотность распределения `f(x) = {(ax; x \in [0; 1]), (0; x \notin [0; 1]):}`. Найти плотность распределения случайной величины `X = min{X_1, X_2, ... , X_n}`"
Как я понял, найти сначала функцию распределения. Для каждой случайной величины она будет выглядеть так.
`F(x) = int_{-\infty}^{x} ax dx = {(0; x < 0), ((ax^2)/2; x >= 0):}`
Теперь можно найти функцию распределения случайной величины `X = min{X_1, X_2, ... , X_n}`. То есть
`F_X(x) = P{X < x} = P{min{X_1, X_2, ... , X_n} < x}`
А вот что дальше - не соображу. Вроде как если по определению, то
`F_X(x) = {(0; x < 0),(P{min{X_1; X_2; ... ; X_n} < x}; x \in [0;1]),(1; x > 1):}`
Если бы я ее нашел, то дальше оставалось бы просто найти производную и плотность найдена. Может я не в том направлении утопал? Ну я вроде как понимаю, что плотность должна быть равна нулю, если `x < 0`, так как вероятность того, что минимум из этих величин будет меньше икса, который итак меньше 0, равна 0 (ну как бы сами величины не могут принять значение < 0, исходя из функции распределения каждой из величин.). Тогда будем искать эту вероятность только для `x >= 0`. Мне пока кажется, что надо перемножить все вероятности `P{X_1 < x} * P{X_2 < x} * ... * P{X_n < x}`, хотя не могу этого логически объяснить. Может это и неверно вовсе)

@темы: Теория вероятностей

20:06 

Теория вероятностей. Функция от случайной величины.

IWannaBeTheVeryBest
"Случайная величина `X` имеет строго возрастающую функцию распределения `F(x)`. Найти распределение случайной величины `Y = F(X)`"
Вообще с первого взгляда просто очень мало данных. Ну то есть в задачнике разобран пример с похожим заданием, но там было дано $X \mathtt{\sim} Exp(\mu)$. Там еще была дана функция `Y = F(X)` в явном виде, но это не важно. Ощущение, что я чего-то не понимаю. Мне что-то должно дать то, что `F(x)` - строго возрастающая функция. А что именно? Я же не знаю ни плотности распределения, ни закона распределения. А ответ-таки очень однозначный
$Y \mathtt{\sim} R(0; 1)$

@темы: Теория вероятностей

22:40 

ТФКП. Рассуждения по поводу возведения в степень.

IWannaBeTheVeryBest
ТФКП у меня уже прошло, но вообще задумался по поводу возведения в комплексную степень (да, да, плохо что так поздно задумался, бла бла бла :D). Получается оно определено неоднозначно, ведь мы в ходе решения применяем комплексный логарифм. Возьмем общий пример
`a^b` и степень и основание - комплексные
`a^b = e^(b * Ln(a)) = e^(b * (ln|a| + i(arg(a) + 2pi*k))) = e^((Re(b) + i*Im(b)) * (ln|a| + i(arg(a) + 2pi*k))) = `
` = e^(Re(b) * ln|a| - Im(b) * (arg(a) + 2pi*k)) * e^(i*(Im(b) * ln|a| + Re(b) * (arg(a) + 2pi*k)))`
Верно ли будет написать, что
`a^b = e^(Re(b) * ln|a| - Im(b) * arg(a)) * (cos(Im(b) * ln|a| + Re(b) * arg(a)) + isin(Im(b) * ln|a| + Re(b) * arg(a)))`?
Ну или короче вопрос. Корректно ли опускать обороты `2pi*k` при записи конечного ответа? Или это будет неполный ответ? Или вообще некорректный? Просто например вольфрам спокойно пишет однозначный ответ и лишь снизу дописывает еще множество верных решений. В отличие от, скажем, того же тригонометрического уравнения в `R`, ну например `sin(x) = 0`, где он все-таки указывает обороты в ответе, а не просто пишет 0

@темы: ТФКП

11:54 

Задача по теории вероятностей. Показательное распределение.

IWannaBeTheVeryBest
"Обычно брокер получает от своего клиента приказы об операциях на фондовой бирже раз в неделю. Найти вероятность того, что сегодня поступит приказ, если последний раз поступил два дня назад. Поток приказов считать простейшим."
Функция распределения `F(x) = 1 - e^(-\mu * x)`, если `x >= 0`. В других случаях `F(x) = 0`.
Я тут точно не знаю как решать. Сказано про "раз в неделю", еще не встречал такого.
Можно ли считать, что `\mu = 1/7`? Ну как бы получается, что 1 раз в 7 дней поступает информация. Тогда `M[x] = 7`.
С другой стороны, меня смущает то, что дни - это же получается дискретные величины... И как-то надо интерпретировать вопрос о вероятности. То есть тут как бы вопрос не о промежутке, а о конкретном дне. То есть конкретно на второй день, после поступления приказа. Что-то вроде `P{2<= X < 3}`, хотя какой-то бред, как мне кажется.

@темы: Теория вероятностей

19:21 

Задача по теории вероятностей.

IWannaBeTheVeryBest
"Все значения равномерно распределенной величины расположены в промежутке `[2,8]`. Найти вероятность того, что случайная величина попадет в промежуток `[6,9]` и в интервал `(3,5)`."
Функция равномерно распределенной величины принимает значение `(x - a)/(b - a)` на заданном промежутке. Левее его она равна нулю, правее - единице.
`P(6 <= X <= 9) = P(9) - P(6) = 1 - 2/3 = 1/3`
`P(3 < X < 5) = P(5) - P(3) = 1/3`
По ответам там и там `2/3`. Я что-то не так понимаю? И еще. Есть какая-то разница интервал это или промежуток (отрезок)?

@темы: Теория вероятностей

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная