Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: cube in cube (список заголовков)
20:42 

Ищу задачник

Ищу задачник по рядам, где были бы сложные и интересные задачки по рядам. Прочитал у Фихтенгольца про ряды, а закрепить материал нечем:depress2:

@темы: Ряды

20:26 

Неравенство

Доказать, что для `x, y, a in (0,1)` при `x != y` выполнено неравенство:
`1/(| x^a - y^a |) < 1/(a * | x - y |)`
Доказательство:
перепишем неравенство в виде: `| x^a - y^a | > a*| x - y |`
так как `x^a = int_0^x a*t^(a-1) dt` и `y^a = int_0^y a*t^(a-1) dt`, то `| x^a - y^a | = a*| int_0^y t^(a-1) dt - int_0^y t^(a-1) dt | = a*| int_x^y t^(a-1) dt | = a*| (x-y)*t_0^(a-1) |` - в силу теоремы о среднем значении интеграла. Но `t_0^(a-1) > 1 => | x^a - y^a | = a*| (x-y)*t_0^(a-1) | > a*| x - y |` ч.т.д
Всё ли верно?

@темы: Доказательство неравенств

19:07 

Правильно ли?

При каких ограничениях на `p` и `q` уравнение `x^(2 * n + 1) + p * x + q` имеет ровно три различных вещественных корня
В силу теоремы Ролля производная функции `P(x) = x^(2 * n + 1) + p * x + q` должна иметь два различных вещественных корня, т.е. ` (2* n + 1) * x^(2*n) + p = 0` откуда `p < 0` и корни производной `x_1 = -(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))` , `x_2 = +(-p/(2*n+1))^(1/(2*n))`.
т.к `lim_(x->infty) P(x) = -infty` , то `P(x_1) > 0` , а `P(x_2) < 0` откуда получаем `q > p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) ` , `q < -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1)`
Окончательно `p < 0 ` и `q in (p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1) , -p * (-p/(2*n+1))^(1/(2*n)) * (2*n)/(2*n+1))`

@темы: Математический анализ

20:29 

Можно ли так доказать?

1) Пусть `a_n` - ограниченная последовательность натуральных чисел ,`lim_(n -> infty) (a_1 * ... * a_n)^(1/n) = 1` . Найти `lim_(n -> infty) (a_1+...+a_n)/n`
Для начала докажем, что `lim_(n -> infty) (a_1 * ... * a_n)^(1/n) = lim_(n -> infty) a_n`. Для этого рассмотрим предел `lim_(n -> infty) ln(a_1 * ... * a_n)^(1/n) = lim_(n -> infty) (ln(a_1)+...+ln(a_n))/n`, по теореме Штольца он равен `lim_(n -> infty) ln(a_n)`. Применив теорему Штольца к пределу `lim_(n -> infty) (a_1+...+a_n)/n` получим, что он равен `lim_(n -> infty) a_n`, следовательно искомый предел равен 1.

2) Если `lim_(x -> infty) f(x) + f'(x) = a` , то `lim_(x -> infty) f(x) = a`, а `lim_(x -> infty) f'(x) = 0`. Доказать
Применив правило Лопиталя к пределу `lim_(x -> infty) (e^x * f(x)) / e^x` получим : `lim_(x -> infty) (e^x * f(x)) / e^x = lim_(x -> infty) (e^x * (f(x)+ f'(x))) / e^x = a`
Следовательно `lim_(x -> infty) f'(x) = 0` и `lim_(x -> infty) f(x) = a`

@темы: Пределы

18:04 

Двойной предел

Есть ли какие - то другие способы нахождения двойных пределов, кроме тех, которые описаны в Фихтенгольце. (имеются ввиду пределы с неопределённостью)
Я так понял, что для доказательства не существования предела, достаточно показать, что при приближении к точке по двум различным кривым значения, получающиеся в пределе различны. Тут вроде всё достаточно просто...
А для доказательства существования предела можно "зажать" функцию, стоящую в пределе и по теореме о сжатой функции определить предел ( если такое возможно), собственно вопрос: если теорема о сжатой функции не работает, то что делать?

@темы: Пределы

21:54 

Ищу задания

Никак не могу найти задания студенческой математической олимпиады МФТИ за последние три года, их и ищу.

@темы: Литература

21:24 

Ищу книгу по теории матриц

Ищу книгу по теории матриц. Что-то наподобие Фихтенгольца, по объёму, глубине и понятности изложения.

@темы: Поиск книг

21:04 

Доказать неравенство

Пусть `f` определена на интервале `[0;2]` так что : `f(x) > 0 , f''(x) >= 0`
следует ли отсюда, что `int_0^2 f(x) dx <= 2*f(2)`
Если бы в условии было бы сказано, что функция непрерывна на заданном отрезке, то тогда это утверждение очевидно. Будет ли оно верным если функция не непрерывна на заданном промежутке?

@темы: Интегралы

22:52 

Задача с Санкт-Петербургской региональной студенческой математической олимпиады 2009г

Пусть `f(x) = sum_(k=1)^(oo) cos(4^k*x)/2^k`. Доказать существование такой константы `C > 0` , что для всех `x_1, x_2 in RR => |f(x_1) - f(x_2)| <= C*(|x_1 - x_2|)^(1/2)`.

Исходный функциональный ряд сходится равномерно (его можно сравнить с рядом `sum_(k=1)^(oo) 1/2^k`). Можно ли сделать вывод о существовании `C` из равномерной сходимости функционального ряда?

@темы: Олимпиадные задачи, Ряды

19:25 

Задача с II тура открытой студенческой интернет-олимпиады по математике

`{(x_1 + x_2 + cdots + x_n = -1), (2*x_1 + 2^2 * x_2 +cdots + 2^n * x_n = -1) , (3*x_1 + 3^2 * x_2 +cdots+ 3^n * x_n = -1), (ldots), (n*x_1 + n^2 * x_2 + cdots+ n^n * x_n = -1):}`
Найти `(2015)! * (x_((n-1)o) + 1008* x_((n)o))` при `n = 2016`

Попытки решения:
`x_((n)o)` можно найти используя формулу Крамера. Получается `x_((n)o) = (-1)^n/((n)!)`.
А вот что делать дальше? Получить `x_((n-1)o)` по Крамеру не получилось.
Рассматривая данную систему для малых `n` можно прийти к предположению о том, что `x_((n-1)o) = ((-1)^n*sum_(k=1)^(n) k)/((n)!)` (маткад тоже выдал такой ответ). Но подтвердить это предположение не получается ( по индукции всё плохо выходит).

@темы: Олимпиадные задачи, Системы линейных уравнений

14:52 

Ищу литературу, интернет ресурсы

Ищу литературу и интернет ресурсы с заданиями различных вузовских студенческих олимпиад по математике.
P.S. С заданиями олимпиады МФТИ знаком.

@темы: Поиск

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная