Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: Холщовый мешок (список заголовков)
12:19 

Холщовый мешок

@темы: Праздники

12:42 

lock Доступ к записи ограничен

Холщовый мешок
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

21:05 

Холщовый мешок
О беспорядочном порядке

Иногда в условиях задач можно увидеть словосочетания в некотором порядке, в каком-то порядке.

Например, задача 10.4 регионального этапа:
По кругу стоят `10^{1000}` натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное. Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать `10^{1000}` последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?
Решение:
Пусть `n = 10^1000`. Обозначим исходные числа (в порядке обхода) через `a_1, ..., a_n`; мы будем считать, что `a_{n+1} = a_1`. Положим `b_i = (a_i, a_{i+1})`. Предположим что `b_1, ..., b_n` – это `n` подряд идущих натуральных чисел.
Рассмотрим наибольшую степень двойки `2^m`, на которую делится хотя бы одно из чисел `a_i`. Заметим, что ни одно из чисел `b_1, ..., b_n` не делится на `2^{m+1}`. Пусть для определённости `a_1` делится на `2^m`; тогда `b_1` и `b_n` кратны `2^m`: `b_1 = 2^m x`, `b_n = 2^m y` при некоторых нечётных `x` и `y`. Без ограничения общности можно считать, что `x < y`. Тогда среди `n` последовательных чисел `b_1, ..., b_n` должно быть и число `2^m(x + 1)` (поскольку `2^m x < 2^m(x + 1) < 2^m y`). Но это число делится на `2^{m+1}` (так как `x + 1` чётно), что невозможно. Противоречие.

Иногда предположение об упорядоченном порядке приводит к плачевным результатам. Излишне эмоциональный комментарий к этой задаче можно посмотреть на youtube

@темы: Головоломки и занимательные задачи

10:04 

lock Доступ к записи ограничен

Холщовый мешок
Закрытая запись, не предназначенная для публичного просмотра

07:03 

Холщовый мешок
В московском магазине "Золотой процент" продают всякие диковинки, в том числе и волшебную смесь "Ум, честь и совесть". Магазин закупает смесь у поставщика в упаковках весом 5 дрымов. Недавно, после лицезрения группы казаков с нагайками, требующих отменить спектакль по Набокову, четверо зевак зашли в этот магазин и решили приобрести одну упаковку смеси на четверых. У каждого из них было по семь монет и этого хватило на оплату покупки. Они заплатили 28 монет, взяли чек и, собираясь разделить покупку поровну, подошли к продавцу. Они попросили продавца помочь им сделать так, чтобы в каждом из четырех фасовочных пакетов оказалось одно и тоже количество смеси. У продавца есть очень точные двухчашечные весы и две гирьки, масса одной равна 5 грымам, масса второй - 42 грыма (1 дрым = 1000 грымов). Весы не очень прочные, если при взвешивании хотя бы на одной чашке весов масса груза превысит 100 грымов, то весы сломаются. За какое наименьшее количество взвешиваний продавец сможет выполнить просьбу покупателей?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

06:43 

Холщовый мешок
ЮНЫЕ МАТЕМАТИКИ «СИРИУСА» СОЗДАЛИ ГРАНДИОЗНЫЕ АРТ-ОБЪЕКТЫ
картинка
читать дальше на сайте Сириуса

Очный тур отбора на декабрьскую смену, задачи и решения: 7 класс, 8 класс, 9 класс, 10 класс, 11 класс
Очный тур отбора на январскую смену, задачи и решения: 7-10 класс

@темы: Головоломки и занимательные задачи

08:49 

Холщовый мешок
Фокус города: Mathcat-2015. Бизнесмен Вася вкладывает в песо

"Бизнесмен Вася хранит свои сбережения в тугриках и песо. Вчера в перерасчете на рубли у него тугриков было вдвое больше, чем песо. Сегодня курс тугриков по отношению к рублю вырос на 6%, а курс песо – на 12%. На сколько процентов увеличились сбережения Васи?" - это математическая акция Mathcat и задачка не самого сложного "желтого" уровня, зато с актуальнейшим смыслом. Победитель прошлогодней акции Олег Елкис щелкает такие, как орехи. Организаторы акции в этом году знатока очень порадовали: он смог решить только 7 задач из 10-ти, хотя год назад успел за отведенное время решить задания чуть ли не всех уровней.

читать дальше

… А сбережения бизнесмена Васи, кстати, увеличились на 8%. Олег Елкис решил задачу в 3 секунды. "Эх, над было все в песо держать", - добавил он.

Ольга Берес

Условия и решения задач можно посмотреть на сайте mathcat.info.



Анисимов Н.Ф., Гашков С.Б,, Сергеев И.Н. Задачи математических олимпиад для школьников - М.: МГУ, 1984. - 38с.
Сборник адресован прежде всего школьникам старших классов, увлекающимся математикой. Он может быть использован также преподавателями математики для проведения олимпиад или факультативных занятий В сборник вошли задачи некоторых олимпиад 1983-84 учебного года, в организации которых большую роль сыграл механико-математический факультет Московского университета.
Скачать

Гашков С.Б., Сергеев И.Н. Задачи математических олимпиад для школьников - М.: МГУ, 1986. - 38с.
Сборник адресован прежде всего школьникам старших классов, увлекающимся математикой. Он может быть использован также преподавателями математики для проведения олимпиад или факультативных занятий В сборник вошли задачи некоторых олимпиад 1985-86 учебного года, в организации которых большую роль сыграл механико-математический факультет Московского университета.
Скачать

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Ссылки

11:55 

Холщовый мешок
Получил письмо с такой цитатой:

мы сегодня немного потроллили школьников 8 класса такой вот задачей:
Прямые, содержащие стороны некоторого четырехугольника, заданы уравнениями y=ax+b, y=ax+c, y=dx+b, y=dx+c. Найдите координаты точки пересечения диагоналей этого четырёхугольника.


Речь идет о задании олимпиады, которую проводили на днях. Интересно, имеют ли тролли-составители представление о том, по каким учебникам в каком классе в каком полугодии изучается линейная функция и ее график?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

06:56 

Холщовый мешок
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады в Москве проводился 6 декабря 2015 года.
Задачи и решения: olympiads.mccme.ru/mmo/okrug/okr15.htm

Удивительная задача.

8.4. Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встает и уходит. Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться сидящими, если вначале все стулья были пустыми?
Ответ: 11.
Решение. Оценка. Заметим, что все стулья одновременно занять невозможно, так как в тот момент, когда сядет человек на последний незанятый стул, один из его соседей встанет. Следовательно, одновременно сидящих может быть не больше, чем 11.
Пример. Покажем, как посадить 11 человек. Пронумеруем стулья числами от 1 до 12. Первый стул занять легко. Второй стул займем в два этапа. На первом этапе человек садится на третий стул, а на втором этапе посадим человека на второй стул, а сидящий на третьем стуле встанет. Дальше действуем аналогично: если заняты стулья с номерами от 1 до k, то сначала посадим человека на стул с номером k + 2, а затем посадим на стул с номером k + 1, освобождая при этом стул с номером k + 2. После того как эта операция будет проделана для всех k от 1 до 10, стулья с номерами от 1 до 11 будут заняты, а двенадцатый стул — свободен.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Олимпиадные задачи

18:20 

Холщовый мешок
Задачи Турнира городов можно найти на сайте problems.ru. Если отдельные задачи пропадут на время (а после проведения очередного мероприятия вновь станут доступными широкой общественности), то альтернативные решения задач на английском языке можно почитать в библиотеке либген и на сайте www.math.toronto.edu. В библиотеке книги проще искать по запросу Tournament Towns. Решения за отдельные годы на русском языке можно посмотреть на сайте А. Шаповалова. Добавляйте в комментариях ссылки на другие источники информации о Турнире городов!

@темы: Литература, Олимпиадные задачи, Ссылки

17:50 

Холщовый мешок
На шестом занятии кружка Экспериментальная математика шесть шестиклассников играли в такую игру : два участника кружка одновременно подбрасывали по одной монете достоинством в шесть рублей, если выпадали два орла или две решки, то каждый получал одно очко, в противном случае проигравший - тот, у кого выпала решка - получал на очко меньше. Каждый сыграл с каждым по одному разу, монеты не зависали в воздухе, не проваливались в щели, тем самым каждая из них падала той или иной стороной вниз, что и давало возможность определить исход каждой игры. Сколько очков получал за выигрыш в одной игре победитель неизвестно, известно лишь, что после завершения всех игр оказалось, что победитель этого турнира набрал 10 очков, двое проигравших набрали по 3 очка, а остальные - 7, 6, 6 очков. Определите, какое целое количество очко получал за выигрыш в одной игре победитель.

А. Шаповалов утверждает, что условие неверно. Найдите ошибку.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

20:31 

Холщовый мешок
В каждой целочисленной точке плоскости растет дерево диаметром `10^(−6)`. Дровосек срубил дерево, стоящее в точке (0,0), и встал в центр пенька. Считайте каждое дерево бесконечной цилиндрической колонной, ось симметрии которой проходит через целочисленную точку плоскости.
а) Ограничена ли часть плоскости, которую он сумеет увидеть?
б) Если часть плоскости, которую он сумеет увидеть, ограничена, то чему равна её площадь?

Решение пункта а, использующее теорему Минковского, можно посмотреть в книге Прасолова (Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. — 640 с.: ил., задача № 24.15). Несложно доказать ограниченность и с помощью теоремы Кронекера.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

11:46 

День рождения буквы Ё.

Холщовый мешок
День рождения буквы Ё.

Как утверждает любимый многими поисковик google.ru, сегодня отмечается День рождения буквы Ё.

Из википедии

Предположу, что обсценные слова русского языка известны во многих странах мира, поэтому можно считать этот праздник всемирным.




Умение искать неточности в решениях задач - одно из тех искусств, которым должны владеть и ученики и преподаватели. Вот еще одно ghjcnjt задание такого типа из олимпиады Формула единства 2014/15.

Натуральные числа `a`, `b`, `c` и `d` таковы, что `2015^a + 2015^b = 2015^c + 2015^d`. Могут ли быть различными числа `a^{2015} + b^{2015}` и `c^{2015} + d^{2015}`?

Ответ: не могут.
Решение. Не умаляя общности, можно считать, что `a >= b` и `c >= d`. Заметим, что тогда `a = c`, в противном случае имеем:
`2015^a + 2015^b > 2015^a > 2015^{a-1} + 2015^{a-1} >= 2015^c + 2015^d`.
Значит, `2015^b = 2015^d`, откуда `b = d`. Теперь очевидно, что
`a^{2015} + b^{2015} = c^{2015} + d^{2015}`.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Праздники

10:43 

Холщовый мешок
Пишет kostyaknop:
22.11.2015 в 09:20


Насколько я понимаю по полному отсутствию комментариев, никто из читателей не торопится искать ошибки.
А поскольку я тоже не вижу существенных огрехов в этом тексте, то прошу автора самостоятельно указать на список того, что он считает ошибками, чтобы мы их поправили и не тиражировали. Разумеется, если согласимся с замечаниями.

URL комментария

Я и сам удивлен тем, что никто не предложил правильного решения. Очевидно, что поставить плечом к плечу 2015 сотрудников вдоль линии протяженностью 1 километр затруднительно, следовательно их нужно немного отодвинуть от внешней границы охраняемого объекта. Это приводит к простому решению : равномерно распределим всех сотрудников по окружности с центром в центре охраняемого объекта и радиусом миллион миллионов километров. Все условия выполнены - и сотрудники вокруг объекта и с расстояниями все хорошо.

Теперь посмотрим на официальное решение.

читать дальше

@темы: Олимпиадные задачи, Головоломки и занимательные задачи

13:54 

Холщовый мешок
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи `x` кг алюминия в день требуется `x^2` человеко-часов труда, а для добычи `y` кг никеля в день требуется `y^2` человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля.
а) Какую наибольшую массу метал лов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
б) Верно ли, что на добычу 1 тонны металла во второй области можно потратить менее человеко-минуты?

@темы: ЕГЭ, Головоломки и занимательные задачи

05:58 

Холщовый мешок
Антье и мантисса

Семенов И. Л. Антье и мантисса. Сборник задач с решениями
Аннотация: Сборник содержит задачи по математике на тему антье и мантисса (целая и дробная части) действительного числа. Книга предназначена для учеников и учителей старших классов с углубленным изучением математики и может использоваться в качестве самоучителя. Представлены методы решения типовых задач, а также полные и подробные решения ко всем задачам. Любители математики найдут в сборнике довольно сложные олимпиадные задачи.
Библиотека ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Олимпиада для пенсионеров и других любителей математики

состоится 28 ноября. Подробности на сайте mathcat.info

@темы: Головоломки и занимательные задачи

04:54 

Холщовый мешок
Олимпиада ЮМШ 2015

В охранном предприятии «ООО» работает 2015 сотрудников. Из них образовано несколько групп быстрого реагирования (по несколько человек в каждой), причём любые две группы имеют хотя бы одного общего сотрудника. Докажите, что всех сотрудников предприятия «ООО» можно расположить вокруг Очень Охраняемого Объекта по окружности длины 1 км таким образом, чтобы любая группа быстрого реагирования была растянута вдоль этой окружности не менее, чем на 1/3 км (то есть чтобы никакую группу быстрого реагирования нельзя было целиком покрыть дугой длины меньше 1/3 км).

Решение.
Предположим противное. Обозначим максимально достижимую длину, на которую можно растянуть все группы быстрого реагирования, за m (по нашему предположению m<1/3). Среди возможных расстановок, для которых условие растяжения всех групп на m выполняется выберем такую, для которой число групп, растянутых ровно на m, минимально (хотя бы одна такая группа найдется по определению числа m).
Попробуем преобразовать нашу расстановку. Рассмотрим некоторую группу А, растянутую ровно на m. Согласно выбору расстановки, мы не можем растянуть эту группу сильнее, не сократив при этом длину какой-то другой группы до m или меньше (иначе получим расстановку с меньшим количеством групп длины ровно m, что противоречит минимальности). В частности, мы не можем передвинуть крайнего слева охранника группы А еще немного влево – а это значит, что найдется какая-то другая группа В, длина которой при таком передвижении сократится, то есть в ней этот же охранник занимает крайнюю правую позицию. Аналогично, крайний правый охранник группы А является крайним левым в некоторой другой группе С. Но по условию группы В и С пересекаются (с противоположной А стороны круга). Это означает, что покрывающие А, В и С дуги охватывают весь круг, откуда 3m≥1 и m≥1/3.

а) Найдите как можно больше ошибок в представленном решении.
б) Попробуйте решить задачу.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

23:39 

Холщовый мешок
Не все могут смотреть в завтрашний день

Интересный тренировочный вариант для подготовки к ЕГЭ: alexlarin.net/ege/2016/trvar130.pdf

Пытаюсь разобраться с первой задачей.

Настенные часы с минутной и часовой стрелкой нельзя заводить, если хотя бы одна из стрелок находится между 3 и 4 или между 8 и 9. Сколько в сутках времени, когда эти часы заводить можно? Ответ дайте в минутах.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, ЕГЭ

10:33 

Холщовый мешок
Метод раскраски

Баранов В.Н., Баранова О.В. Экстремальные задачи в дискретной математике. Метод раскраски : учеб. пособие — Ижевск: Удмуртский университет, 2015. — 56 с.
Электронная библиотека УДГУ

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Литература

12:05 

Холщовый мешок
Разминка

В какой стране существует государственная бесплатная онлайн система помощи школьникам в выполнении домашних заданий и подготовке к экзаменам? В системе возможно проведение групповых и индивидуальных занятий.




Несложная задача из книги О.И. Мельникова Теория графов в занимательных задачах.

143. Мэрия решила построить в каждом квартале города, имеющего 155 перекрестков и 260 отрезков улиц между перекрестками, универсам. Сколько будет построено универсамов?

Имеет смысл начать решение с рассмотрения случаев с меньшим количеством перекрестков и отрезков улиц между перекрестками. Например,

1 перекресток и 0 отрезков улиц между перекрестками
или
4 перекрестка и 3 отрезка улиц между перекрестками.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная