Записи пользователя: MestnyBomzh (список заголовков)
14:03 

Биссектрисса двугранного угла

Даны уравнения двух плоскостей. Они пересекаются по прямой(ее уравнение тоже можем вычислить). Нужно найти плоскость, которая делит двугранный угол между данными плоскостями пополам.
Рассуждая, пришел к такому выводу: у нас есть вектор, лежащий в плоскости(вектор пересечения плоскостей) и точка - произвольная точка на той же прямой. Осталось найти еще один вектор - биссектриса угла. Так вот и вопрос, как найти его? Нашел угол между плоскостями. Ну и по формуле скалярного произведения составил два уравнения: `{(cos(a) = (n_1*p)/(|n_1||p|)), (cos(a) = (n_2*p)/(|n_2||p|)):}`.Но возникает проблема с модулями, а их две штуки. Если оба раскрыть положительно, то при подстановке всего полученного в `p_1^2+p_2^2+p_3^2=1` получаются плохие числа. Не могли бы вы подсказать какой-нибудь другой ход решения
Уравнения плоскостей: `x+2y+3z+4=0` и `3x+2y+z-4=0`

@темы: Аналитическая геометрия

22:08 

Непрерывность

Определение непрерывности функции в точке:
`forall varepsilon exists delta > 0 : forall x in E, |x-x_0| < delta => |f(x)-f(x_0)| < varepsilon`
Вопрос: зачем здесь дельта, если по сути для любых конечных `x` и `x_0` можно найти такое дельта, что `|x-x_0| < delta`? И дальше эта дельта тоже никак не фигурирует
И еще вопрос. Например, `f(x) = x`, и пусть мы рассматриваем на разрывность в точке `1`. Тогда для любых `x` должно быть выполнено `|f(x)-f(x_0)| < varepsilon`. Но, опять же, если я беру `x=2`, то `|f(x) - f(x_0)| = 1` и это не будет меньше сколь угодно малого эпсилон. СОбственно, что я тут не так делаю?

@темы: Математический анализ

11:04 

Площадь поверхности вращения

Дана кривая `y=3x-x^3, 0 <= x <= sqrt 2`. Она вращается вокруг `y=2x+1`. Нужно посчитать площадь поверхности полученного тела.
Я пробывал решать при помощи формулы `S = 2 pi int_0^{s_0} r(s) ds`. Вот моя попытка:
Находим функцию расстояния от точки `(x;3x-x^3)` до прямой `y=2x+1`. Получаем `r(x)=| -x^3+x-1| / sqrt{5}`. Так как на рассматриваемом промежутке `-x^3+x-1 < 0`, то получаем `r(x)=(x^3-x+1) / \sqrt{5}`.
Далее ищем `ds= sqrt{1+y^{'2}(x)}dx= sqrt{1+(3-3x^2)^2}= sqrt{9x^4-18x^2+10}`.
Итого нужно вычислить интеграл `int_0^{sqrt{2}} \frac{x^3-x+1}{sqrt{5}} sqrt{9x^4-18x^2+10}`
Так вот, проблема возникает при вычислении интеграла `int_0^{sqrt(2)} sqrt{9x^4-18x^2+10}`, он не берется.
Как быть?

@темы: Интегралы

19:56 

Несобственный интеграл

Есть интеграл `int_-oo^(+oo) |x|^a sin(e^x) dx`. При `a>0` на промежутке `[0;+oo)` очевидно интеграл сходится (признак Дирихле). А как понять, что вообще происходит на `(-oo;0)`? Ведь все признаки (Дирихле, Абеля) применимы для промежутка `(a;+oo)`. По графику - вроде сходится, но как доказать?

@темы: Интегралы

15:55 

Сходится ли интеграл от синуса?

`int_0^(+oo) sin(x)dx`сходится или нет? Ищем в лоб: `int_0^(+oo) sin(x)dx=-cos(+oo)+1`. Осталось понять, считается ли число `cos(+oo)` конечным?

@темы: Интегралы

20:13 

Интеграл

Требуется найти `int_0^1 (x^3*arcsin(x))/sqrt(1-x^2)dx`. Можно ли найти первообразную `F(x)` и показать, что `F(1)-F(0)= infty`, будет ли это док-вом, что `int_0^1 (x^3*arcsin(x))/sqrt(1-x^2)dx= infty`?

@темы: Интегралы

19:27 

Скалярное произведение

Вопрос по поводу скалярного произведения векторов Эрмитового пространства. Как правильно умножить два вектора: `v=(1,i,0,-1)` и `u=(1-i,1,i,1)`. Умножать как обычно: `x=v_1*u_1+...v_nu_n` или по правилу: `x=v_1 bar(u_1)+...+v_n u_n`?

@темы: Линейная алгебра

17:54 

Эквивалентность квадратичных форм

Верно ли, что квадратичные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда в нормальной форме число квадратов с коэффициентом `1` и число квадратов с коэффициентом `-1` совпадает?
Если это так, то не могли бы вы проверить такое задание:
Даны квадратичные формы
`f(x) = 4x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2`
`g(x) = -36y_1y_2-8y_1y_3-11y_2^2-24y_2y_3-4y_3^2`
`h(x) = 8z_1^2+14z_1z_2+14z_1z_3+5z_2^2+10z_2z_3+4z_3^2`
Требуется найти среди них эквивалентные (если есть) и, соответственно, найти линейную замену координат
Я нашел канонический вид всех трех квадратичных форм:
`f(x)=(x_1+x_2+x_3)^2-(x_1-x_2)^2+x_2^2`
`g(x)=-4(y_1+3y_2+y_3)^2+(2y_1+3y_2)^2+16y_2^2`
`h(x)=8(z_1+7/8z_2+7/8z_3)^2-9/8(z_2+z_3)^2-z_3^2`
Отсюда (если самое первое мое предложение верно) получаем, что 1-ая и 2-ая формы эквивалентны. Тогда искомая линейная замена координат такова: `{(x_1+x_2+x_3=2y_1+3y_2), (x_1-x_2=2(y_1+3y_2+y_3)), (x_2=4y_2):}`

@темы: Линейная алгебра

12:53 

Множество точек разрыва первого рода

Здравствуйте! В интернете легко можно найти док-ва, что множество точек разрыва первого рода монотонной функции счетно. Но почему именно монотонной? Для немонотонной возможна ситуация, когда множество разрывов первого рода несчетно? Если так, то какой можно привести пример?

@темы: Математический анализ

15:37 

Рекурсивность

Функция `[sqrt(x)]` примитивно-рекурсивна, так как: `f(0)=0` и `f(x+1)=f(x)+bar(sgn)(|[(x+1)/(f(x)+1)]-f(x)-1|)`. Теперь вопрос, а будет ли функция `sqrt(x)` примитивно-рекурсивной или вообще рекурсивной? Просто попалась такая задача: будет ли функция `y=sqrt(x^2-5)` а) примитивно-рекурсивной? б) рекурсивной? Как я понял, нужно сделать так: `x^2-5=z^2, z in NN; (x-z)(x+z)=5 <=> x-z=1` и `x+z=5` или `x-z=5` и `x+z=1` . Теперь, так как `x in NN`и `z in NN`, то остается только первый вариант. Вот, а что уже делать с этим?

@темы: Дискретная математика

22:57 

Жорданов базис

Хелп! Завтра контрольная, нужно понять алгоритм поиска Жорданового базиса, помогите! Дана матрица `A=((3,2,-3),(4,10,-12),(3,6,-7))`. Нужно найти ее Жарданов базис, собственные вектора уже успешно найдены`(-2,1,0);(3,0,1)`, cобственное число `lambda=2` осталось выяснить как найти злосчастный присоединенный. Ищем его при поомщи линейной комбинации собственных векторов `(A-2E)h=alpha ((-2),(1),(0))+ beta ((3),(0),(1))`. Подбираем альфа и бета так, чтобы система была совместимой, то есть `alpha=4`, `beta=3`. Получаем уравнение `x_1=-2x_2+3x_3+1`; Получается опять два вектора в ФСР, какой из них брать?

@темы: Линейная алгебра

14:14 

Область значения функции, неразрешимое множество

Возник спор: можно ли подобрать такую функцию, множество значений которой будет неразрешимым? Не могли бы вы мне помочь подобрать такой пример?

@темы: Математический анализ, Исследование функций

23:32 

Что бы это могло быть?


Собственно, вопрос про некоторую неизвестную букву `I`. Тема - комплексные числа, пространства, линейные операторы, так что есть подозрение на мнимою единицу, но чтобы так её обозначать...

@темы: Линейная алгебра

02:53 

Количество экстремумов функции

Довольно интересная задачка, на мой взгляд:
Существует ли такая функция, которая имеет более чем счетное число точек строгого локального экстремума?
Как я понял, все крутится вокруг уравнения `y=sin(1/x)`(естественно доопределяем в нуле нулем) Но тут проблема: найдем экстремумы: `y '=-cos(1/x)/x^2`Приравняем к нулю и полчим `x=2/(pi+2pi n)` Но отсюда следует, что экстремумов счетное количество, увы.. Значит нужно придумать однородное уравнение, которое будет иметь более чем счетное количество корней (например, континуум) и найти его первообразную... На просторах интернета нашел такую функцию (говорят, что вроде как, она имеет несчетное количество экстремумов): `y=x^2(2+sin(1/x))` и `y=0` если `x=0`; Однако я не знаю, почему это так, потому что найдя производную, я получаю уравнение, решить которое я не в состоянии.. Подскажите как доказать, что эта функция действительно имеет более чем счетное количество экстремумов? Или это не так? Спасибо!

@темы: Математический анализ

20:23 

Графы

Помогите с задачей! Спасибо)
Граф с 100 вершинами имеет 98 вершин степени 30, и по одной вершины степеней 25 и 15. Обязательно ли он будет связен?

@темы: Теория графов

21:38 

Графы

Добрый вечер! Прошу помощи в проверке решения задачи (опять по дискретке).
Вершины неориентированного графа (`n` штук) расположены на окружности и соединены через одну и через `3` (соседние вершины не соединены). При каких `n` в этом графе существует эйлеров цикл?
Сразу оговорим признак наличия эйлерова цикла: 1)граф связен 2) отсутствуют вершины нечетной степени. Про степени: во всех случаях (кроме `n=2` и `n=4`) для всех вершин степени будут четными, так для для каждой вершины однозначно поставлены в соответствие 4 вершины: две вершины "через три" (назад и вперед) и еще две "через одну" (вперед и назад). Теперь про связность: здесь будут проблемы, так как иногда у нас будет происходить зацикливание. Итак, выпишем в ряд подряд натуральные числа: `1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12.....n 1 2 3 4...n 1 2 3......n..... `(где 1-первая вершина, 2-вторая и тд) будем формировать эту цепь для конкретных `n`, например для `n=6`: `1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 ....`. Итак, эта цепь нужна для того, чтобы показать алгоритм соединения вершин через 1 и через 3. Вершины соединенные через одну образуют арифм. прогрессию: `a_1=1, d=2` (например 1 соединена с 3, 3 с 5 и тд). Вершины соединенные через 3 образуют арифметическую прогрессию `a_1=1, d=4` (например, 1 переходит в 5, 5 в 9 и тд). Идя с начала нашего ряда нам нужно чтобы наши прогрессии на двоих прошли через каждое числа (от 1 до `n`, можно чтобы они были разными, главное чтобы наш алгоритм прошел через каждую-это и будет связностью графа) и при этом, чтобы они пересеклись (или одна из них пройдет все числа, при этом она, бузесловно, пересечется со второй). Так вот, если `n` четное, то у нас проблема возникает-в первой прогрессии только нечетные числа, а во второй только четные=> они никогда не пересекутся и ни одна из них не пройдет всех значений (одна не пройдет нечетные числа, другая-четные). Значит для четных `n` не будет граф связен. Теперь для нечетных `n`: тут достаточно доказать, что только при проходе "через один" будут охвачены все вершины: в первом проходе будут охвачены все нечетные числа: `1-3-5-7...-n` дальше произойдет смена четности (так как подряд в нашем ряду будет идти `n 1` и оба этих числа нечетны) и цикл пройдет через все четные числа: `2-4-6....n-1` и из `n-1` мы опять попадем в `1`. Итак, граф будет связен. Итого: только для нечетных.
Скорее всего, я не очень понятно выразил свою идею, но все же, кто попробует взяться за задачу-спасибо!)

@темы: Теория графов

19:06 

Графы

В простом неориентированном графе `5` простых циклов. Чему может быть равно его цикломатическое число?
Я придумал примеры, когда цикломатическое число равно `5`,`4`,`3`. Подскажите, как доказать, что цикломатическое число не может быть равно `2` или `1`?

@темы: Теория графов

21:27 

Помогите с теоремой из логики

Теорема:Всякая булева формула, не содержащая отрицаний, представляет монотонную функцию, отличную от `0` и `1`;
Док-во: Пусть дана булева формула, без отрицаний. Применим к ней процедуру приведения к ДНФ. Получим невырожденную ДНФ также не содержащую отрицаний. Пусть на наборе `a=(a_1......a_n) F(a)=1`. Тогда `F` содержит конъюнкцию (без отрицаний!) `x_{i1}....x_{ik}=1`, равную `1` на этом наборе. Следовательно, `a_{i1}=....=a_{ik}=1`. Рассмотрим любой набор `b`, больший чем `a`. В нем обязательно `b_{i1}=....=b_{ik}=1`, поэтому `x_{i1},.....x_{ik}` обратится в `1` и `F(b)=1`; Таким образом, условие монотонности для `F` выполнено и функция `f`, представляемая ДНФ `F` (а значит, и исходной формулой), монотонна.
Кто-нибудь, пожалуйста, объясните этот момент: ....Тогда `F` содержит конъюнкцию (без отрицаний!) `x_{i1}....x_{ik}=1`, равную `1` на этом наборе. Следовательно, `a_{i1}=....=a_{ik}=1`....здесь `x_{i1}....x_{ik}=1` это элементы конъюнкции? То есть есть `x_{i1}\wedge ....\wedge x_{ik}=1`, а что тогда означает: Следовательно, `a_{i1}=....=a_{ik}=1`. Что это за набор, что он означает?

@темы: Математическая логика

22:54 

2 задачи по комбинаторике

Приключения с дискреткой продолжаются, теперь две задачи по комбинаторике. Просьба уже стандартная-проверить :-) Спасибо!
1. У велосипедиста `8` пар разных покрышек и `2` велосипеда (тоже разных). Сколькими способами можно одеть покрышки на велосипеды ( на переднем и заднем колесе могут стоять покрышки из разных пар, покрышки в паре не отличимы)? Моё решение: (заранее оговоримся, что колёса у велосипеда различимы:есть заднее и переднее) я рассматривал `3` случая: 1) мы выбрали все четыре разные покрышки 2) две из четырёх составляют пару 3) 2 пары покрышек. 1) можем выбрать четыре разные покрышки из восьми: `C^4_8`, и можем их произвольно переставить, домножим на `4!`, получим: `C^4_8*4!`. 2) можем выбрать одну пару `C^1_8` способами, ещё два непарных колеса можем выбрать `C^2_7` способами (разных(!) покрышек) и можем переставить их `8` способами (посчитал вручную, т.к `3!` там не подойдет) итого: `C^1_8*C^2_7*8` 3) Выбираем две пары из восьми: `C^2_8`, можем переставить их `4` способами. Для третьего случая получили: `C^2_8*4` способов. Итого, суммируя, получим ответ: `C^4_8*4!+C^1_8*C^2_7*8+C^2_8*4`
2. В кульке `20` конфет одного сорта. Вася взял больше половины конфет, остальные достались Лизе и Тане. Сколькими способами дети могут разделить конфеты между собой?
Моё решение: Пусть Вася вытащил `11` конфет. В таком случае осталось `9` конфет. Их мы можем распределить между девочками `C^1_10` способами. Если Вася вытащил `12` конфет, то можем распределить конфеты между девочками `C^1_9` способами и т.д. Тут, как я предполагаю, нужно сложить полученные результаты, так как таким образом мы рассмотрели все случаи, то есть получим: `sum_(k=1)^(9) C^1_{10-k}`.

@темы: Комбинаторика

19:36 

Продолжение бинарных отношений

Продолжаю терроризировать форум с дискреткой. Проверьте, кому не трудно)
Пусть `X={x_1....x_n}` и `varphi`- отношение нестрогого линейного порядка на `X`, а `psi`-отношение эквивалентности на `X`. В каом случае `varphi cap psi` будет отношением нестрого линейного порядка?
Моё решение: (сразу скажу, что я рассматриваю матрицу )рассмотрим отношение эквивалентности `psi`: для любых `x_i,x_j` будет выполнено: `(x_i,x_j)=0` и`(x_j,x_i)=0`, либо `(x_i,x_j)=1` и `(x_j,x_i)=1`(следует из симметричности). При пересечении в первом случае (когда клетки равны нулю) получим те же нули, то есть `(x_i,x_j)=0` и`(x_j,x_i)=0`, но в таком случае будет нарушена линейность (нам нужно получить линейный порядок), значит все элементы `psi` равны `1`; Причем на диагонали тоже должны стоять единицы, из-за рефлексивности. Значит, фактически, это отношение представляет собой полный граф, то есть в матрице стоят все единицы. Пересечение любого отношения с таким отношением даст исходное отношение=>полученное отношение тоже будет нестрого линейного порядка
.

@темы: Бинарные отношения

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная