• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: MestnyBomzh (список заголовков)
23:39 

Объем тела

Добрый день, помогите, пожалуйста, найти объем тела: `x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1, z=0, (x/a)^(2/3)+(y/b)^(2/3)=1`. Как мне показалось, здесь нужна обобщенная сферическая замена: `x=ar cos^3 varphi cos^3 theta, y = br sin^3 varphi cos^3 theta, z=cr sin^3 theta`. Тогда, подставляя в уравнения поверхностей получаем, что в уравнении астроиды все окей, а вот у эллипсоида я не понимаю как делать: там получаются суммы синусов и косинусов в шестых степенях. Как их там разворошить?

@темы: Математический анализ

15:41 

Устойчиость по Ляпунову

Добрый день! Не могли бы Вы проверить мои решения для следующей задачи: выяснить, устойчиво ли нулевое решение для следующих систем: `{(dot(x)=-x), (dot(y)=-2y):}`, `{(dot(x)=x), (dot(y)=2y):}`, `{(dot(x)=-x), (dot(y)=y):}`. Для первого случая у меня получился ответ да, для второго и третьего: нет. Не могли бы Вы проверить?

@темы: Дифференциальные уравнения

13:03 

Цилиндрическая система координат

Добрый день! Требуется записать интеграл `iiint_V f(x, y, z) dV , V={(x, y, z) | (x-R)^2+y^2+z^2 <= R^2, x^2+(y-R)^2+z^2 <= R^2}` в виде повторного в цилиндрич. сист. координат. У меня получилась сумма двух интегралов, и у меня такое ощущение, что должен получится один повторный. Верно ли мое предчувствие?

Еще не могли бы Вы помочь с похожим номером:
Вычислить `iiint_V (z^4+1)/(xy) dxdydz , V={(x, y, z) | 0 <= x <= y <= 3x, 0 <= z <= 3(x+y) <= 6z, 1 <= 4z(x+y) <= 4}`
Когда я ищу проекцию на `OXY`, получаю: первое тело проецируется, как область между прямыми `y=3x` и `y=x`. Второе, как область над прямой `y=-x`. Третье, как вся плоскость `OXY`. Итого получается незамкнутая область между прямыми `y=3x, y=x`. Можно ее задать, но пучится, что `0 <= x <= oo`, и при интегрировании получится бесконечность (`ln(oo)`). Что я здесь неправильно делаю?

@темы: Кратные и криволинейные интегралы

13:52 

Площадь и повторные интегралы

Нужно посчитать площадь фигуры, ограниченной графиком функции`(x/a)^(1/4)+(y/b)^(1/4)=1, x >=0 y >= 0`. Я делаю замену `x=a*r*cos^8 phi, y=b*r*sin^8 phi `. Тогда получим `int int 8abrcos^7 phi sin^7 phi`. Далее переходим к повторым интегралам. Для этого нужно понять, как меняется `r`. Подставил в изначальное выражение, получил `r = 1`. Но это не так, так как тогда интеграл просто обнуляется. Соответственно, вопрос такой: как понять, как меняется `r`?

@темы: Математический анализ

15:04 

Поверхности второго порядка

Даны две поверхности: `9x^2+24xy+16y^2+15z^2-10x-55y-50z-100=0` и `54x^2+144xy+96y^2+100z^2-180x-240y+200z-350=0`. Нужно найти проекции кривых пересечения этих двух поверхностей. Проекции, соответственно, на плоскости `Oxy, Oxz, Oyz` прямоугольной декартовой СК, которая является канонической для первой поверхности. Из второго я вычитаю первое, умноженное на `6`, привожу Лагранжем, получаю: `5(z-5)^2=375-12x+9y (1)`. Означает ли, что чтобы найти проекции на плоскости нужно занулить соответствующую координату в `(1)`?

@темы: Аналитическая геометрия

17:58 

Функции

Добрый день! Не подскажите такой момент: Рассматриваю функции `y=arccos^2(x/(x+1))` и `y=1/x`. Вольфрам показывает, что решение одно. После чего они не пересекаются (арккосинус идет выше гиперболы). Но, находя производную, и строя их графики (соответственно `y=(-2arccos(x/(x+1)))/((x+1)sqrt(2x+1))` и `y=-1/x^2`) вижу, что `|-1/x^2| < |(-2arccos(x/(x+1)))/((x+1)sqrt(2x+1))|`, то есть `1/x` убывает медленнее. Значит ли это, что `1/x` и `arccos(x/(x+1))` должны пересечься?

@темы: Математический анализ

00:37 

Равномерная сходимость

Здравстуйте, не могли бы вы проверить мое решение? Заранее спасибо!
Требуется доказать что, если последовательность `f_n(x)` равномерно сходится на `M` к `f(x)` и `f(x)` ограничена на этом множестве `M`, то `exists A, EE N: forall n > N, forall x in M |f_n(x)| <= A`.
Мое док-во: Так как функция `f(x)` ограничена на `M`, то `EE sup f(x) = Q`. Положим `A=Q`. Докажем от противного: пусть не существует такого `N`, что `forall n > N |f_n(x)| <= A`. Тогда это означает, что у нас есть бесконечно много точек таких, что `|f_n(x)| > A`. А это означает, что `lim_(n to oo) sup|(f_n(x) - f(X))| != 0`, то есть не выполнено необходимое условие равномерной сходимости: противоречие

@темы: Математический анализ

13:38 

Степенные ряды

Требуется разложить в степенной ряд `g(x) = (x^2+x+1)ln(2+x)` в точке `x=0`. После разложения я получил: `(x^2+x+1)ln2+sum_(n=1)^(oo)((-1)^(n-1)x^(n+2))/n +sum_(n=1)^(oo)((-1)^(n-1)x^(n+1))/n +sum_(n=1)^(oo) ((-1)^(n-1)x^(n))/n `. Меня интересует, верно ли, что радиус сходимости будет `-1 < x <= 1`? И если это так, означает ли это, что разложение `g(x)` в степенной ряд в любой точке из `(-1;1]` будет выглядеть так же?

@темы: Математический анализ

20:24 

Канонический вид линейного оператора и его существование

Добрый день! Не могли бы вы подсказать условия существования канонического вида произвольного линейного оператора, а также у ортогонального и самосопряженного операторов?
У ортогонального, как я прочитал, существует всегда. Для самосопряженного, вроде как, тоже всегда есть. А вот для произвольного линейного оператора каково условие? Я нашел такое необходимое и достаточное условие "ля того чтобы линейное преобразование (оператор) приводилось к диагональному виду, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического многочлена являлись собственными значениями преобразования и геометрическая кратность каждого собственного значения была равна его алгебраической кратности.". Не могли бы вы объяснить смысл данного предложения?

@темы: Линейная алгебра

11:11 

Поточечная сходимость функционального ряда

№1 `sum_(n=1)^(oo) x^2/e^(nx)`. Я доказал, что ряд сходится равномерно: нашел производную, максимум достигается в точке `2/n`, подставил вместо `x = 2/n` получил сходящийся мажорирующий ряд. Вопрос: следует ли из равномерной сходимости ряда его поточечная сходимость?

№2`sum_(n=1)^(oo) (-1)^(n(n-1)/2)arctg(x^2+n^3)`. Он не сходится равномерно, так как не выполнено необходимое условие равномерной сходимости: `forall x in X lim_{k\to\infty}{u_k}(x) = 0` , где `X` - область сходимости. В нашем случае предел будет либо `pi/2`, либо `-pi/2`. Теперь у меня опять проблема с поточечной сходимостью.

@темы: Математический анализ, Ряды

19:43 

Равномерная сходимость

Не могли бы вы проверить мое решение:
Исследовать равномерную сходимость `f_n(x)=e^(-x^2-nx)` а) `(0;1)`, б) `(1;+oo)`
Сразу заметим, что `f_n(x)` поточечно сходится к нулю.
а) т.к `f_n(0) = 1`, а `f_n(1/2) < 1/2`, то в любой окрестности нуля `exists x:f_n(x) > 0.5`(так как функции непрерывны, пользуемся теоремой о прохождении промежуточных значений), а значит, равномерной сходимости нет.
б) `|1/(e^(x^2+nx))|<|1/e^x| -> 0` => есть равномерная сходимость

@темы: Математический анализ

00:27 

Равномерная сходимость

Дана последовательность `f_n(x)=n^4(chx^n-1/(1+x^n))`. Нужно исследовать ее на равномерную сходимость на множестве `[0;1)`.
Очевидно, что поточечно последовательность сходится к `f(x)=0`. Однако проблемы с равномерной сходимостью. По картинке мне кажется, что сходится равномерно, так что для выражения `|n^4(chx^n-1/(1+x^n))|` я пытаюсь сделать оценки сверху: `ch(x^n) < 1.53` или `1/(1+x^n) < 1`, но при такой оценке равномерная сходимость пропадает (вижу по графикам). Не могли бы вы подсказать удачную оценку?

@темы: Математический анализ

18:06 

Угол между плоскостями и начало координат

Есть две пересекающиеся плоскости. Требуется определить, какой из углов (острый/тупой) содержат начало координат. У меня есть версия, как это можно сделать: провести прямую, перпендикулярную первой плоскости и проходящую через начало и вторую - проходящую через начало и перпендикулярную второй плоскости. Ну а дальше найти угол между этими прямыми. Искомый угол будет равен `180 - a`. Вопрос вот в чем: я не знаю как этот факт доказать, да и вообще, это не очевидно. Если это не так, то не могли бы вы привести контрпример. Если так, то помочь с доказательством.

@темы: Аналитическая геометрия

14:03 

Биссектрисса двугранного угла

Даны уравнения двух плоскостей. Они пересекаются по прямой(ее уравнение тоже можем вычислить). Нужно найти плоскость, которая делит двугранный угол между данными плоскостями пополам.
Рассуждая, пришел к такому выводу: у нас есть вектор, лежащий в плоскости(вектор пересечения плоскостей) и точка - произвольная точка на той же прямой. Осталось найти еще один вектор - биссектриса угла. Так вот и вопрос, как найти его? Нашел угол между плоскостями. Ну и по формуле скалярного произведения составил два уравнения: `{(cos(a) = (n_1*p)/(|n_1||p|)), (cos(a) = (n_2*p)/(|n_2||p|)):}`.Но возникает проблема с модулями, а их две штуки. Если оба раскрыть положительно, то при подстановке всего полученного в `p_1^2+p_2^2+p_3^2=1` получаются плохие числа. Не могли бы вы подсказать какой-нибудь другой ход решения
Уравнения плоскостей: `x+2y+3z+4=0` и `3x+2y+z-4=0`

@темы: Аналитическая геометрия

22:08 

Непрерывность

Определение непрерывности функции в точке:
`forall varepsilon exists delta > 0 : forall x in E, |x-x_0| < delta => |f(x)-f(x_0)| < varepsilon`
Вопрос: зачем здесь дельта, если по сути для любых конечных `x` и `x_0` можно найти такое дельта, что `|x-x_0| < delta`? И дальше эта дельта тоже никак не фигурирует
И еще вопрос. Например, `f(x) = x`, и пусть мы рассматриваем на разрывность в точке `1`. Тогда для любых `x` должно быть выполнено `|f(x)-f(x_0)| < varepsilon`. Но, опять же, если я беру `x=2`, то `|f(x) - f(x_0)| = 1` и это не будет меньше сколь угодно малого эпсилон. СОбственно, что я тут не так делаю?

@темы: Математический анализ

11:04 

Площадь поверхности вращения

Дана кривая `y=3x-x^3, 0 <= x <= sqrt 2`. Она вращается вокруг `y=2x+1`. Нужно посчитать площадь поверхности полученного тела.
Я пробывал решать при помощи формулы `S = 2 pi int_0^{s_0} r(s) ds`. Вот моя попытка:
Находим функцию расстояния от точки `(x;3x-x^3)` до прямой `y=2x+1`. Получаем `r(x)=| -x^3+x-1| / sqrt{5}`. Так как на рассматриваемом промежутке `-x^3+x-1 < 0`, то получаем `r(x)=(x^3-x+1) / \sqrt{5}`.
Далее ищем `ds= sqrt{1+y^{'2}(x)}dx= sqrt{1+(3-3x^2)^2}= sqrt{9x^4-18x^2+10}`.
Итого нужно вычислить интеграл `int_0^{sqrt{2}} \frac{x^3-x+1}{sqrt{5}} sqrt{9x^4-18x^2+10}`
Так вот, проблема возникает при вычислении интеграла `int_0^{sqrt(2)} sqrt{9x^4-18x^2+10}`, он не берется.
Как быть?

@темы: Интегралы

19:56 

Несобственный интеграл

Есть интеграл `int_-oo^(+oo) |x|^a sin(e^x) dx`. При `a>0` на промежутке `[0;+oo)` очевидно интеграл сходится (признак Дирихле). А как понять, что вообще происходит на `(-oo;0)`? Ведь все признаки (Дирихле, Абеля) применимы для промежутка `(a;+oo)`. По графику - вроде сходится, но как доказать?

@темы: Интегралы

15:55 

Сходится ли интеграл от синуса?

`int_0^(+oo) sin(x)dx`сходится или нет? Ищем в лоб: `int_0^(+oo) sin(x)dx=-cos(+oo)+1`. Осталось понять, считается ли число `cos(+oo)` конечным?

@темы: Интегралы

20:13 

Интеграл

Требуется найти `int_0^1 (x^3*arcsin(x))/sqrt(1-x^2)dx`. Можно ли найти первообразную `F(x)` и показать, что `F(1)-F(0)= infty`, будет ли это док-вом, что `int_0^1 (x^3*arcsin(x))/sqrt(1-x^2)dx= infty`?

@темы: Интегралы

19:27 

Скалярное произведение

Вопрос по поводу скалярного произведения векторов Эрмитового пространства. Как правильно умножить два вектора: `v=(1,i,0,-1)` и `u=(1-i,1,i,1)`. Умножать как обычно: `x=v_1*u_1+...v_nu_n` или по правилу: `x=v_1 bar(u_1)+...+v_n u_n`?

@темы: Линейная алгебра

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная