Записи пользователя: MestnyBomzh (список заголовков)
23:06 

Иррациональный заяц

Говорят, эту задачу решают еще в школах. Но я услышал её только недавно и так и не понял как её решать. Итак, есть тригонометрический круг . Заяц прыгает по окружности с целочисленной скоростью. Докажите, что он не окажется ни в какой точке более одного раза

@темы: Математический анализ

10:24 

Игра Пенни

Помнится, как-то всплывала тема игры Пенни. На ютубе вышло отличной видео на эту тему, хотел поделиться с сообществом
www.youtube.com/watch?v=Sa9jLWKrX0c

@темы: Интересная задача!

14:47 

Что больше?

Что больше `100^(300)` или `300!`?
Пытаюсь написать дробь: `(300*299*298....*100*99*...*1)/(100*...*100)`
Вообще пытаюсь доказать, что дробь больше единицы. Понятно, что со множителями `300,299,...,100` проблем нет, а вот дальше проблема возникает с оставшимися `99,98...1`. Я сначала подумал, что у нас все равно 200 превосходящих множителей, так что они перебьют, но как бы не так. Как оказалось: `(100+m)(100-m)<100^2` То есть если взять `99` в паре с `101`, то даже их произведение, деленное на 100^2 будет меньше единицы.
Подскажите как это решить. Задачка то простая, но никак не могу довести решение

@темы: Теория чисел

11:24 

Сходящийся интеграл

В одном из примеров из книжки Гелбаума, Олмстеда: "Контрпримеры в анализе" дан следующий пример:

У меня вопрос следующий: а зачем вообще `f(x)` определялась тут, как `f(x)=g(x)+1/x^2`? почему нельзя было просто положить `f(x)=g(x)`? Все равно стремления к нулю `1/x^2` не добавило, да и сходимости тоже

@темы: Интегралы

21:03 

Правило Кондорсе

Добрый день. Вопрос про правило Кондорсе. Считаем следующим образом: попарно сравниваем кандидатов, то есть сколько голосующих предпочитает одного кандидата другому. После строится мажоритарный граф.
Такой вопрос: если мы не можем сказать кто лучше, то в графе это ребро отсутствует вовсе?
Отсюда следует вывод, что это правило не строит отношение полного порядка (так как некоторые несравнимы получаются), верно?

@темы: Дискретная математика

17:20 

Парадокс теории вероятностей

Здравствуйте. Сегодня наткнулся на следующую задачу
Вероятность того, что родственник мужчины также мужчина — один к трем (не 50 на 50).
Условие:Вы встречаете парня по имени, допустим, Чад. Чад говорит вам, что у него есть родственник (брат или сестра), но он больше ничего о нем вам не скажет. Какова вероятность того, что родственник Чада — брат? Должно быть 50 на 50, верно? Тот факт, что Чад - мужчина, не может иметь никакого влияния на пол его родственника.

В решении они ссылаются на 4 возможных случая: мм, мд, дм, дд. Таким образом, откидывая дд, получаем `1/3`. У меня вопрос, почему они не добавили мм еще один раз? Ведь судя по их логике брат (если он есть), может быть как старше, так и младше.

@темы: Теория вероятностей

14:58 

Делимость

Нужно доказать, что число `y^2/(y-1)` не является целым для любого положительного целого игрек, кроме случая `y=2`.
Я как доказывал: есть `y` нечетное, то, очевидно, делится не будет.
Теперь пусть `y` четное. Тогда пусть `y^2/(y-1)=x`, отсюда `y^2-xy+x=0` => `D=x^2-4x`. Дискриминант должен быть целом, то есть `x^2-4x=k^2` => `x^2-4x-k^2=0`, снова дискриминант: `sqrt(D)=2*sqrt(4+k^2)`. А этот корень нельзя вычислить, так как расстояние между двумя квадратами не может быть равно 4 (кроме случая 0 и 4)
Но мне кажется это слишком сложным док-вом. Можно ли что-то проще?

@темы: Теория чисел

23:24 

Сходимость интеграла

Если рассмотреть интеграл `\int_{1}^{+oo}cos(x)/(x)dx`, то он очевидно сходится. Теперь добавим некоторое 'возмущение' `\int_{1}^{+oo}cos(x)/(x+cos(x))dx`
Сделал я это затем, чтобы пропала монотонность. Графики функций почти идеально совпадают, что, казалось бы, говорит о сходимости данного интеграла. Однако это нестрого, да и вольфрам и математика так и не смогли мне посчитать этот интеграл.
Скажите, можно ли как-то строго доказать сходимость/расходимость этого интеграла?

@темы: Интегралы

15:55 

Ряд Фурье

Ракладываю в ряд `y=x, x in [0;2]`. Получаю, что коэффициент при косинусе обнуляется. Как такое может быть если исходная функция не обладает свойством четности?

@темы: Ряды

04:26 

Площадь наибольшего треуголника

Не могли бы Вы проверить:
Дан круг радиусом `R`. Найти найти вписанный в него треугольник, площадь которого наибольшая.
Нужно составить задачу оптимизации и решить её.
Как мне уже посоветовали в предыдущем топике вполне логично составить задачу оптимизации:
`{(R^2/2(sin alpha + sin beta + sin (2pi-alpha-beta))->max ), (0<=alpha < pi), (0<=beta < pi):}`
Дальше можно было бы просто максимизировать сумму трех синусов, взяв производную по двум аргументам, получается:
`{(cos alpha - cos (alpha+beta) = 0),(cos beta -cos (alpha+beta) = 0):}`, вычитая поулчаем `cos alpha = cos beta`. Альфа и бета - углы от нуля до `2pi`, значит `alpha=beta` (или же `beta = 2pi-alpha`) и значит `cos alpha - cos (2alpha) = 0`, отсюда `[(alpha=0), (alpha=2pi/3), (alpha=4pi/3):}`. `alpha=0` очевидно неверно. Если `alpha=2pi/3`, то все центральные углы по 120, значит треугольник равносторонний (нужный ответ). Ну и, наконец, если `alpha = 4pi/3`, то `beta = alpha = 4pi/3`, что невозможно. Если же `beta = 2pi-alpha`, то `cos alpha = 1`, значит `alpha=0` (посторонний корень) или `alpha = pi`
Итого один ответ: все углы по 60 градусов.

@темы: Планиметрия

21:22 

Линейное программирвоание

Добрый вечер! Не могли бы Вы помочь с линейным программирвоанием?
Дана задача:
`{(x_1+2x_2+3x_3 -> max), (x_1+x_2<=2), (x_1+x_3<=3), (x_2>=x_3), (x_1<=1), (x_i>=0):}`
Нужно записать двойственную задачу и решить её. Предварительно нам дано решение исходной задачи: `(0,2,2)`
Прежде чем приступать к решению двойственной задачи я хотел спросить: а как вообще решать линейные задачи? Предположим, нам не было бы дано решение исходной системы, как её решать?

@темы: Линейное программирование

02:56 

Объем тела вращения

Как известно, `int_1^(+oo) 1/xdx` расходится. Но в то же время, если повернуть `1/x` вдоль оси `Ox` на 360 градусов, то объем: `pi*int_1^(oo)1/x^2dx` уже сходится. У меня разрыв шаблона, почему так происходит? Я могу понять обратную ситуацию, когда площадь конечна, а объем уже нет (пример, `1/sqrt(x) x in (0;1)`), но не наоборот же

@темы: Интегралы

11:32 

Восстановить треугольник

Дана окружность и три точки на ней - точки пересечения продолжений медиан треугольника. Восстановить треугольник.
продвижений нет, вообще никаких..

@темы: Планиметрия

23:16 

Функция

Была задача: привести пример последовательности, которая поочередно, то принимает значения, равные пределу, то отдалаются от него.
Я привел такой пример: `a_n=0 `, n- четное, `a_n=1/n`, n - нечетное. После я задумался по поводу непрерывного аналога. Я его нарисовал:
А вот как задать аналитически не знаю, подскажите, пожалуйста.

@темы: Математический анализ

22:41 

Сложность факторизации

Здравствуйте! Меня интересует вопрос: а почему разложение на простые множители такое сложное? Если будем перебирать числа от `1` до `sqrt(n)`, то сложность алгоритма будет всего-то `sqrt(n)`. Общая сложность: `O(sqrt(n) log_2^2 n)` - это я нашел в интернете. Так вот, это же полиномиальная сложность, так как `sqrt(n) log^2 n < n^(2.5)`. Даже некоторые алгоритмы сортировок массивов имеют сложность `O(n^2)` - тот же пузырёк. Так что же сложного в этом?

@темы: Теория чисел, Дискретная математика

13:49 

Максимум

Максимум функции `max_{[a;b]}| (x-a)(x-b)(x-(a+b)/2) |` как найти? Можно в лоб, раскрыв все скобки, но тогда получится квадратное уравнение с нехилыми коэффициентами.. Можно как-нибудь по-другому?

@темы: Математический анализ

00:50 

Отношение порядка

Дано множество из 10 элементов. Нужно выяснить, сколько существует нестрогих частичных порядков существует на данном множестве, в которых все элементы сравнимы, кроме двух.
Какие мои шаги: отношение порядка обладает следующими свойствами: 1) рефлексивность 2) антисимметричность 3) транзитивность. Далее, можем выбрать `C_10^2` элемента и далее рассматривать уже задачу с 8-ю элементами. Теперь нам нужно, чтобы на этих 8-ми элементах было выполнено 1) рефлексивность 2) антисимметричность 3) транзитивность + 4) сравнимость двух любых. С рефлексивностью понятно - её нужно сделать и делается это одним возможным способом. Итого осталось: 1) антисимметричность 2) транзитивность 3) сравнимость на 8-ми элементах. Тут начались сложности - у меня не получается посчитать все возможные комбинации, так как возникающая транзитивность может привести к противоречию с антисимметричностью.

@темы: Бинарные отношения

17:04 

Центры графа

Существует ли граф с не менее, чем пятью центрами, причем расстояние между каждыми двумя центрами равно трем?
Я подумал, а существует ли хотя бы граф, у которого только два центра и они находятся на расстоянии 2 друг от друга? Так вот, я доказал, что такого не может быть, а отсюда следует, что не может быть и графа с двумя центрами и расстоянием между ними 3. Но, больно просто получается, задача не кажется такой уж простой, я ошибаюсь?

@темы: Теория графов

17:35 

Максимизация функции

Добрый день! Требуется максимизировать функцию `Pi = s * p_s + f*p_f - s^2(theta-x)^2-s^2-f^2x^2`.
Здесь `s,x,f` - переменные. Остальное - известные константы. Я пробовал приравнять три частных производных к нулю, но там у меня не получилось выразить неизвестные через известные. Поэтому пишу сюда, быть может, можно еще как-то найти максимум данной функции?

@темы: Математика в экономике, Производная

17:06 

Ряд Фурье

Надо разложить в РФ функцию: `f(x) = ln(sin x) / (1-2a cos(x)+a^2)`. Как мне кажется, точно нужно избавиться от логарифма в числителе каким-то образом. Например, представить синус через экспоненты. А дальше только как не знаю. Думал еще добавить к `f(x)` какую-нибудь чисто мнимую штуку, например, `g(x) = i ln(e^x) / (1-2a cos(x)+a^2)`, чтобы получить логарифм произведения, а внутри какую-нибудь хорошую штуку. Но это тоже не получилось. Также знаю два фокуса со знаменаетелем для разложения его на множители: 1) замена косинуса через экспоненты, а также `a^2 = a^2 (e^(-ix) e^(ix))` 2) `a^2 = a^2 sin^2 x + a^2 cos^2 x`, далее выделить полной квадрат и разложить по множителям
Но прежде чем этим пользоваться нужно убрать логарифм из числителя. Собственно, не могли бы Вы подсказать, как его оттуда убрать?

@темы: Математический анализ, Ряды

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная