• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
18:09 

Биссектриса

wpoms.
Step by step ...


В остроугольном треугольнике `ABC` точка `D` является основанием перпендикуляра, опущенного из `A` на `BC`. Точка `P` лежит на отрезке `AD`. Прямые `BP` и `CP` пересекают `AC` и `AB` в точках `E` и `F`, соответственно. Докажите, что `AD` является биссектрисой угла `EDF`.



@темы: Планиметрия

12:45 

Бусики

wpoms.
Step by step ...


Три обруча расположены концентрически (см. рисунок). На каждом обруче через равные промежутки нанесены 20 бусинок, `10` из которых черного и `10` белого цвета. На каждом обруче бусинки пронумерованы числами от `1` до `20` начиная снизу и в направлении против часовой стрелки. Мы говорим о совпадении в позиции `i` если все три бусинки в позиции `i` имеют один и тот же цвет. Мы можем перемещать все бусинки вокруг любого обруча (при этом нельзя нарушать порядок их следования друг за другом). Покажите, что возможно (вращением) найти конфигурацию в которой будет не менее `5` совпадений.





@темы: Комбинаторика

21:45 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Найдите наименьшее натуральное число `a`, для которого `2001` делит `55^n + a*32^n` для некоторого нечетного целого `n`.



@темы: Теория чисел

15:51 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для действительных чисел `a`, `b` (`a*b > 0`) выполняется неравенство
`root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + 10ab + b^2)/12`.

Определите, при каких условиях достигается равенство.
Докажите, как следствие или иным образом, что для всех действительных чисел `a`, `b` верно неравенство
`root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + ab + b^2)/3`

Определите, при каких условиях достигается равенство.



@темы: Доказательство неравенств

01:12 

Неравенства

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что
(a) `(2*n)/(3*n + 1) <= sum_{k = n + 1}^{2*n} 1/k`,
(b) `sum_{k = n + 1}^{2*n} 1/k <= (3*n + 1)/(4*(n + 1))`,

для всех натуральных чисел `n`.



@темы: Доказательство неравенств

22:20 

Простое число, оно такое простое

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что если нечетное простое число `p` можно представить в виде `x^5 - y^5`, где `x`, `y` целые числа, то `sqrt((4*p + 1)/5) = (v^2 + 1)/2`, для некоторого нечетного числа `v`.



@темы: Теория чисел

21:03 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC`. Длины сторон `BC`, `CA`, `AB` равны `a`, `b`, `c`, соответственно. Точки `D`, `E` являются серединами сторон `AC`, `AB`, соответственно. Докажите, что `BD` перпендикулярен `CE` тогда и только тогда, когда `b^2 + c^2 = 5*a^2`.



@темы: Планиметрия

21:09 

wpoms.
Step by step ...


Решите уравнение `2^n = a! + b! + c!` в натуральных числах `a`, `b`, `c` и `n`.



@темы: Теория чисел

17:17 

Исследование функции

wpoms.
Step by step ...


Дана функция `y = |x^2 - 4*x + 3|`. Исследуйте ее на непрерывность и дифференцируемость в точке с абсциссой `1`. Ее график с осью `Ох` образует замкнутую фигуру. Найдите площадь этой фигуры.



@темы: Исследование функций, Математический анализ, Приложения определенного интеграла

19:09 

Бриллиант

wpoms.
Step by step ...


Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Покажите, что если из одного бриллианта сделать два, произойдет их обесценивание. Когда обесценивание будет максимальным?



@темы: Задачи на экстремум

22:13 

Матрица

wpoms.
Step by step ...


Дана квадратная матрица `M` размера `n xx n` над полем вещественных чисел. Выразите через `M` две матрицы, одну симметричную и одну антисимметричную, такие, что их сумма в точности равна `M`.



@темы: Матрицы

22:05 

Корни уравнения

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что уравнение
`z^4 + 4*(i + 1)*z +1 =0`

имеет корень в каждой четверти комплексной плоскости.



@темы: Комплексные числа

22:44 

Чтд от Яндекса 12 марта 2016 года

wpoms.
Step by step ...
Пишет Груша Вильямс:
10.02.2016 в 23:40


Чтд от Яндекса 12 марта 2016 года yandex.ru/math

p.s. тестовая контрольная появилась, значит можно постить)

URL комментария

Задания тестовой контрольной для тех, у кого нет регистрации на яндексе: https://yadi.sk

@темы: Порешаем?!

15:13 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что выражение `(n^5 - 5*n^3 + 4*n)/(n + 2)`, где `n` - произвольное целое число, всегда делится на `24`.



@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

20:02 

Отражение

wpoms.
Step by step ...


Объектив камеры инвертирует изображение в зеркале заднего вида нашей машины. Если в зеркале отражается номерной знак CS-3965-EN автомобиля, который следует за нами, нарисуйте изображение, которое мы получим в объективе. Нарисуйте также изображение, полученное с помощью перестановки вышеуказанных преобразований, то есть изображение в зеркале, отражающем образ, который дает объектив камеры регистрации. Коммутируют ли эти два преобразования: отражение в зеркале и преломление через объектив?



@темы: Планиметрия

23:25 

Сумма

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим множество `С` всех кортежей длины `r` с компонентами `1` или `-1`. Вычислите сумму всех компонентов всех элементов множества `С` за исключением `r`-кортежа `(1,1,1,... , 1)`.



@темы: Множества

20:34 

Квадрат

wpoms.
Step by step ...


Четыре точки A, B, C, D лежат на одной плоскости, причем, никакие три из них не лежат на одной прямой. Постройте квадрат со сторонами a, b, c, d так, чтобы для него выполнилось: `A in a`, `B in b`, `C in c`, `D in d`.



@темы: Планиметрия

00:12 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Про треугольник `ABC` известно, что `BC=a`, `CA=b`, `AB=c` и `/_ B = 4 /_ A$. Покажите, что `a*b^2*c^3 = (b^2 - a^2 - a*c)*((a^2 - b^2)^2 - a^2c^2)`.



@темы: Планиметрия

18:46 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a,b,c` не равны нулю и `x,y,z` - положительные действительные числа такие, что `x+y+z=3`. Докажите, что
`3/2 * \sqrt{1/{a^2} + 1/{b^2} + 1/{c^2}} >= x/{1+a^2} + y/{1+b^2} + z/{1+c^2}`



@темы: Доказательство неравенств

22:59 

Доказательство

wpoms.
Step by step ...


Дана плоская фигура с площадью равной `A > n`, где `n` - положительное целое число. Докажите, что фигуру можно поместить на координатной плоскости так, чтобы она накрывала по крайней мере `(n + 1)` точку с целыми координатами.



@темы: Планиметрия, Множества

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная