• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
22:05 

Корни уравнения

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что уравнение
`z^4 + 4*(i + 1)*z +1 =0`

имеет корень в каждой четверти комплексной плоскости.



@темы: Комплексные числа

22:44 

Чтд от Яндекса 12 марта 2016 года

wpoms.
Step by step ...
Пишет Груша Вильямс:
10.02.2016 в 23:40


Чтд от Яндекса 12 марта 2016 года yandex.ru/math

p.s. тестовая контрольная появилась, значит можно постить)

URL комментария

Задания тестовой контрольной для тех, у кого нет регистрации на яндексе: https://yadi.sk

@темы: Порешаем?!

15:13 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что выражение `(n^5 - 5*n^3 + 4*n)/(n + 2)`, где `n` - произвольное целое число, всегда делится на `24`.



@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

20:02 

Отражение

wpoms.
Step by step ...


Объектив камеры инвертирует изображение в зеркале заднего вида нашей машины. Если в зеркале отражается номерной знак CS-3965-EN автомобиля, который следует за нами, нарисуйте изображение, которое мы получим в объективе. Нарисуйте также изображение, полученное с помощью перестановки вышеуказанных преобразований, то есть изображение в зеркале, отражающем образ, который дает объектив камеры регистрации. Коммутируют ли эти два преобразования: отражение в зеркале и преломление через объектив?



@темы: Планиметрия

23:25 

Сумма

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим множество `С` всех кортежей длины `r` с компонентами `1` или `-1`. Вычислите сумму всех компонентов всех элементов множества `С` за исключением `r`-кортежа `(1,1,1,... , 1)`.



@темы: Множества

20:34 

Квадрат

wpoms.
Step by step ...


Четыре точки A, B, C, D лежат на одной плоскости, причем, никакие три из них не лежат на одной прямой. Постройте квадрат со сторонами a, b, c, d так, чтобы для него выполнилось: `A in a`, `B in b`, `C in c`, `D in d`.



@темы: Планиметрия

00:12 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Про треугольник `ABC` известно, что `BC=a`, `CA=b`, `AB=c` и `/_ B = 4 /_ A$. Покажите, что `a*b^2*c^3 = (b^2 - a^2 - a*c)*((a^2 - b^2)^2 - a^2c^2)`.



@темы: Планиметрия

18:46 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a,b,c` не равны нулю и `x,y,z` - положительные действительные числа такие, что `x+y+z=3`. Докажите, что
`3/2 * \sqrt{1/{a^2} + 1/{b^2} + 1/{c^2}} >= x/{1+a^2} + y/{1+b^2} + z/{1+c^2}`



@темы: Доказательство неравенств

22:59 

Доказательство

wpoms.
Step by step ...


Дана плоская фигура с площадью равной `A > n`, где `n` - положительное целое число. Докажите, что фигуру можно поместить на координатной плоскости так, чтобы она накрывала по крайней мере `(n + 1)` точку с целыми координатами.



@темы: Планиметрия, Множества

06:51 

Точки на окружности

wpoms.
Step by step ...


Существует ли такая окружность и такое бесконечное множество точек на ней, что расстояние между любыми двумя точками из этого множества является рациональным?



@темы: Планиметрия

20:20 

Многочлен

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим многочлен с неотрицательными действительными коэффициентами `p(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n`. Предположим, что `p(4) = 2` и `p(16) = 8`. Докажите, что `p(8) <= 4` и найдите, с доказательством, все такие многочлены, для которых `p(8) = 4`.



@темы: Доказательство неравенств, Теория многочленов

22:01 

Взаимнопростые числа

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что среди любых десяти последовательных целых чисел найдется одно число, которое будет взаимно простым с остальными числами. Например, рассмотрим числа `114`, `115`, `116`, `117`, `118`, `119`, `120`, `121`, `122`, `123`. Числа `119` и `121` будут взаимно просты с остальными числами. [Два целых числа `a`, `b` называются взаимно простыми если их наибольший общий делитель равен единице.]



@темы: Теория чисел

03:26 

Равенство

wpoms.
Step by step ...


Для всех натуральных чисел `n` найдите (с доказательством) все натуральные числа `m`, для которых существуют натуральные числа `x_1 < x_2 < ... < x_n`, удовлетворяющие равенству `1/(x_1)+2/(x_2)+ ... n/(x_n) = m`.



@темы: Теория чисел

21:34 

Геометрическое неравенство

wpoms.
Step by step ...


Четырехугольник `ABCD` вписан в окружность радиуса `R`. Обозначим длины сторон `ABCD` как `a`, `b`, `c`, `d` и пусть площадь `ABCD` равна `Q`. Докажите, что `R^2 =((a*b + c*d)*(a*c + b*d)*(a*d + b*c))/(16*Q^2)`. Докажите, что `R >= ((a*b*c*d)^(3/4))/(Q*sqrt(2))` и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `ABCD` является квадратом.



@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

13:49 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для всех действительных чисел `x >= 0`, `y >= 0`, `x + y = 2` выполняется неравенство `x^2*y^2*(x^2 + y^2) <= 2`.



@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

10:23 

Параболические окружности )))

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим все параболы вида `y = x^2 + 2*p*x + q` (`p`,`q` действительные числа), которые пересекают оси `0x`и `0y`в трех различных точках. Обозначим `C_{p,q}` окружность, проходящую через точки пересечения параболы `y = x^2 + 2*p*x + q` с осями. Докажите, что все окружности `C_{p,q}` имеют общую точку.



@темы: Линии второго порядка

21:53 

Прогрессии

wpoms.
Step by step ...


Даны действительные числа `a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_M`. Назовем `{a_1, a_2, ..., a_M}` слабой арифметической прогрессией длины `M` если существуют действительные числа `x_0, x_1, x_2,..., x_M` и `d` для которых `x_0 <= a_1 < x_1 <= a_2 < x_2 <= a_3 < x_3 <= ... <= a_M < x_M` и для `i = 0, 1, 2,..., M - 1`, `x_{i+i} - x_i = d`, т.е. `{x_0, x_1,x_2,..., x_M}` является арифметической прогрессией.
(a) Докажите, что если `a_1 < a_2 < a_3`, то `{a_1, a_2, a_3}` является слабой арифметической прогрессией длины `3`.
(b) Пусть `A` является подмножеством `{0, 1, 2, 3,..., 999}` и содержит по крайней мере `730` элементов. Докажите, что `A` содержит слабую арифметическую прогрессию длины `10`.



@темы: Прогрессии

20:13 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Дана функция `f(x) = 5*x^13 + 13*x^5 + 9*a*x`. Найдите наименьшее натуральное число `a`, для которого `65` делит `f(x)` для всех целых `x`.



@темы: Теория чисел, Теория многочленов

19:33 

Два в одном

wpoms.
Step by step ...


Дан правильный пятиугольник `ABCDE` с длиной стороны `1`. Точка `F` делит `AB` на равные части, точки `G`, `H` лежат на сторонах `CD` и `DE`, соответственно, при этом `/_GFD = /_HFD = 30^@`. Докажите, что треугольник `GFH` равносторонний. Квадрат вписан в треугольник `GFH`, при этом одна сторона квадрата лежит на `GH`. Докажите, что длина `FG` равна `t = (2 * cos 18^@ * (cos 36^@)^2)/(cos 6^@)` и что длина стороны квадрата равна `(t*sqrt(3))/(2 + sqrt(3))`.



@темы: Планиметрия

21:14 

Пример с доказательством

wpoms.
Step by step ...


Множество `S` состоит из чисел вида `a(n) = n^2 + n + 1`, где `n` натуральное число. Докажите, что произведение `a(n)*a(n + 1)` принадлежит `S` для всех натуральных чисел `n`. Приведите пример, с доказательством, пары чисел `s, t in S` таких, что `s*t notin S`.



@темы: Множества, Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная