Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
05:11 

Вокруг мяча - 8

wpoms.
Step by step ...
Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, AC и BE пересекаются в точке S, AD и BE пересекаются в точке R, CA и BD пересекаются в точке T, CE и BD пересекаются в точке P, CE и AD пересекаются в точке Q, площади треугольников ASR, BTS, CPT, DQP и ERQ равны 1.
(1) Найдите площадь PQRST.
(2) Найдите площадь ABCDE.


@темы: Планиметрия

04:59 

Вокруг мяча - 7

wpoms.
Step by step ...
Длина стороны равностороннего треугольника ABC равна 1, точка D лежит на стороне BC, `r_1,` `r_2` - длины радиусов вписанных окружностей треугольников ABD и ADC. Выразите `r_1r_2` как функцию от `p = BD` и найдите максимальное значение `r_1r_2.`


@темы: Планиметрия

22:42 

Вокруг мяча - 6

wpoms.
Step by step ...
В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, окружность, проходящая через точки B, H и C, пересекает прямую AB в точке D, а прямую AC в точке E, отрезок DE пересекает HB в точке P, а HC в точке Q, точки X и Y, отличные от A, лежат на прямых AP и AQ соответственно, точки X, H, A, B лежат на одной окружности, точки Y, H, A, C лежат на одной окружности.
Докажите, что прямые XY и BC параллельны.


@темы: Планиметрия

22:27 

Вокруг мяча - 5

wpoms.
Step by step ...
Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AB < AC, биссектриса угла BAC пересекает BC в точке D, точка M является серединой BC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей треугольников ABC и ADM, параллельна AD.


@темы: Планиметрия

04:38 

Вокруг мяча - 4

wpoms.
Step by step ...
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE, |AE| + |BD| = |AB|.
Докажите, что `/_ C = 60^@.`


@темы: Планиметрия

18:55 

Вокруг мяча - 3

wpoms.
Step by step ...
Окружность omega касается сторон AB и AC треугольника ABC. Окружность Omega касается стороны AC и продолжения стороны AB за точку B, а также касается omega в точке L, лежащей на стороне BC. Прямая AL вторично пересекает omega и Omega в точках K и M соответственно. Оказалось, что KB || CM. Докажите, что треугольник LCM равнобедренный.

Исправленное условие:

Точка O --- центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, точка M лежит на стороне AB, описанная окружность треугольника AMO пересекает повторно прямую AC в точке K, описанная окружность треугольника BOM пересекает повторно прямую BC в точке N.
Докажите, что Площадь (MNK) `>= 1/4` Площади (ABC), и определите, в каких случаях достигается равенство.


@темы: Планиметрия

18:49 

Вокруг мяча - 2

wpoms.
Step by step ...
Точки D, E, F симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон.
Докажите, что треугольники ABC и DEF равны.


@темы: Планиметрия

17:52 

Вокруг мяча - 1

wpoms.
Step by step ...
Периметр треугольника `ABC` равен 100, его биссектрисы пересекаются в точке `I,` точка `M` является серединой стороны `BC,` прямая, параллельная `AB` и проходящая через точку `I,` пересекает медиану `AM` в точке `P,` `AP:PM = 7:3.` Найдите длину стороны `AB.`


@темы: Планиметрия

09:10 

Двадцать одно

wpoms.
Step by step ...


Есть 40 карточек, на двух из них написано число 1, еще на двух --- число 2, \ldots, еще на двух --- число 20. Какое наибольшее возможное количество комплектов возможно одновременно создать из этих 40 карточек так, чтобы в каждом комплекте было три карточки и сумма всех чисел комплекта была равна 21?



@темы: Теория чисел

13:00 

Многоугольники

wpoms.
Step by step ...

Множество n-угольников, лежащих в одной плоскости, назовем подходящим, если выполняются условия

- все n-угольники множества - равные правильные многоугольники с числом вершин равным n;
- если два n-угольника пересекаются, то они имеют ровно одну общую точку, являющуюся их общей вершиной;
- все n-угольники множества пресекаются с одним и тем же количеством других n-угольников этого же множества.

Пусть k - количество точек пересечения одного n-угольника из подходящего множества с другими n-угольниками из этого же множества, а m - количество n-угольников в подходящем множестве.

1. Пусть n=4, k=3. Найдите все возможные значения m.
2. Решите задачу в общем случае.


15:13 

Вписанный четырёхугольник

wpoms.
Step by step ...


Четырёхугольник `ABCD` вписан в окружность `omega_1` и середины всех сторон `ABCD` лежат на окружности `omega_2.` Докажите, что `/_ ABD + /_ BDC = 90^@.`



@темы: Планиметрия

16:03 

Не простое

wpoms.
Step by step ...


Дано простое число, десятичная запись которого содержит по меньшей мере 4 различные цифры. Докажите, что его цифры можно переставить в другом порядке так, чтобы полученное число не было простым.



@темы: Теория чисел

17:10 

Натуральные числа. Прошу любить и жаловать

wpoms.
Step by step ...


Дано, что $b$ и $c$ --- натуральные числа и что квадратное уравнение $x^2 - bx + c = 0$ имеет действительные корни $x_1$ и $x_2.$ Докажите, что a) $x_1^2 + x_2^2 + 2017;$ b) $x_1^3 + x_2^3$ --- натуральные числа.



@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

21:53 

Шарики

wpoms.
Step by step ...


Каждый из шаров, лежащих в коробке, окрашен в один из $N$ цветов и на каждом шаре написано натуральное число не превосходящее $N.$ Известно, что каждый из $N$ цветов использован не менее одного раза и каждое натуральное число, не превосходящее $N,$ написано не менее одного раза. При каких значениях $N$ в коробке можно будет найти $N$ окрашенных в разные цвета шаров, на которых будут $N$ разных чисел?



@темы: Дискретная математика

10:27 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что `x^4 - x^2 - 3x + 4 > 0` выполняется для всех действительных `x.`



@темы: Рациональные уравнения (неравенства), Школьный курс алгебры и матанализа

09:05 

Профильный ЕГЭ по математике

wpoms.
Step by step ...
Задачи, впечатления ...

Глава Рособрнадзора предложил ввести "месяц тишины" на период сдачи ЕГЭ
Подробнее на ТАСС: tass.ru/obschestvo/5241560

ЕГЭ по математике профильного уровня прошел в штатном режиме
obrnadzor.gov.ru/ru/press_center/news/index.php...

ПОМОЖЕМ РОСОБРНАДЗОРУ?
vk.com/boxdd?w=wall36288_11366

Пятый канал попросил прокомментировать эту утечку директора президентского физико-математического лицея № 239 Максима Пратусевича, который является членом экспертной комиссии ЕГЭ. Педагог назвал задания «неподлинными», отметив, что исходные материалы экзамена выглядят по-другому:
— То, что опубликовано у него (Дмитрия Гущина) на страничке, мало напоминает материалы ЕГЭ. Там оформление не такое. Исходное сырье выглядит не так. Задачи по формулировке тоже не такие, какие должны быть на экзамене. Я думаю, что это неподлинный вариант. Ему, значит, что-то пришло под видом вариантов ЕГЭ. Еще раз говорю, по виду не похожи.
Судя по всему, опубликованные в сети задания оказались фейком.
m.5-tv.ru/news/205678/

@темы: ЕГЭ

08:35 

700 задач для 5-7 классов

wpoms.
Step by step ...
Балаян Э.Н. 700 лучших олимпиадных и занимательных задач по математике / Э.Н. Балаян. — Изд. 4-е, испр. — Ростов н/Д: Феникс, 2015. — 217 с. : ил. — (Большая перемена)
В предлагаемом пособии рассмотрены различные методы и приемы решения олимпиадных задач разного уровня трудности для учащихся 5-6 классов.
Задачи, представленные в книге, посвящены таким, уже ставшим классическими, темам, как делимость и остатки, признаки делимости, инварианты, решение уравнений в целых числах, принцип Дирихле, задачи на проценты, числовые ребусы и т. п.
Ко всем задачам даны ответы и указания, а к наиболее трудным — решения. Большинство задач авторские, отмечены значком (А).
В заключительной части книги приводятся занимательные задачи творческого характера, вызывающие повышенный интерес не только у школьников, но и у взрослых читателей.
Ищем на gen.lib.rus.ec


Иванов С.В. (сост.) Математический кружок. Задачник первого-второго года обучения — СПб.: Санкт-Петербургский городской дворец творчества юных, 1993, 68 стр.
Предлагаемая брошюра продолжает серию учебно-методических изданий Аничкова лицея. Она содержит около 700 задач по всем основным разделам «олимпиадной» математики и предназначена для руководителей кружков, преподавателей, учащихся и всех любителей математической литературы. Уровень сложности задач примерно соответствует кружкам математики 6—9 классов, но многие из них будут интересны и старшеклассникам.
Практически каждый преподаватель кружка математики сталкивался с тем, что задачи, необходимые для занятий, разбросаны по многочисленным сборникам. С другой стороны, математические кружки в нашем городе существуют уже длительное время (с 1930-х годов), и с тех пор сложились определенные традиции преподавания и оригинальный математический фольклор, недостаточно отраженный в литературе. В своей работе жюри ленинградских олимпиад по математике также использовало, как правило, только новые, специально придуманные для олимпиады задачи. Поэтому книга, содержащая «историю кружка в задачах», представляется весьма полезной.
Предлагаемый сборник составлен по материалам кружка, занимавшегося в Ленинградском дворце пионеров в 1989—90 годах под руководством С. В. Иванова и С. К. Смирнова, которые, в свою очередь, опирались на своих предшественников и учителей.
Ищем на facebook.com

@темы: Литература, Методические материалы, Олимпиадные задачи

14:57 

Шифр

wpoms.
Step by step ...


Все цифры в десятичной записи натурального числа заменили на буквы, одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, разные --- разными и получили `GANGA.` Известно, что при делении `GANGA` на 7 в остатке получается `A,` при делении `GANGA` на 11 в остатке получается `N,` при делении `GANGA` на 13 в остатке получается `G,` кроме того, `G > A > N.` Каким может быть оригинальное число?



@темы: Теория чисел

15:07 

Части кругов

wpoms.
Step by step ...


На прямой выбраны точки P, Q, R и S так, что PQ = RS (см. рис.). Отрезки PQ, RS, PS, QR - диаметры кругов. Прямая MN --- ось симметрии закрашенной области. Докажите, что площадь закрашенной области равна площади круга с диаметром MN.





@темы: Планиметрия

19:30 

Сумма

wpoms.
Step by step ...


Сумма 63 различных натуральных чисел равна 2017. Найдите эти числа и обоснуйте, что других нет!



@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная