• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
19:47 

Сокровище

wpoms.
Step by step ...


Два игрока играют в следующую игру на круглой доске с 2009 домами. Игроки поочередно помещают в пустой дом одну из трех фишек, они называются исследователь (E), ловушка (A) и камень (P). Назовем сокровищем последовательность из трех домов, такую что в первом (в любом направлении) находится исследователь и в среднем не находится ловушка. Например, последовательность PAE не является сокровищем, но последовательность AEE сокровищем является.

Первый игрок, который образует сокровище выигрывает. Могут ли игроки обеспечить себе победу? И если да, то кто из них?





@темы: Дискретная математика

10:53 

Досрочный ЕГЭ

wpoms.
Step by step ...
Еще один возможный вариант досрочного ЕГЭ

а) Решите уравнение
`(13sin^2 x - 5sin x)/(13cos x + 12) = 0.`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-3pi; -(3pi)/2].`




Дана правильная треугольная призма `ABCA_1B_1C_1`, все рёбра которой равны 6. Через точки `A`, `C_1` и середину `T` ребра `A_1B_1` проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью `ABC`.




Решите неравенство:
`log_((sqrt3+sqrt19)/6) 5 >= log_((sqrt3+sqrt19)/6) (7-2^x)`.




Стороны `KN` и `LM` трапеции `KLMN` параллельны, прямые `LM` и `MN` --- касательные к окружности, описанной около треугольника `KLN`.
а) Докажите, что треугольники `LMN` и `KLN` подобны.
б) Найдите площадь треугольника `KLN`, если известно, что `KN = 6`, а `/_LMN = 120^@`.




По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13% по сравнению с началом года.
Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число `n` млн рублей в первый и второй годы, а также целое число `m` млн рублей в третий и четвёртый годы.
Найдите наименьшие значения `n` и `m,` при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.




Найдите все значения параметра `b,` при каждом из которых уравнение
`x^3+4x^2-x*log_2(b-3)+6=0`
имеет единственное решение на отрезке `[-2; 2]`.




Бесконечная арифметическая прогрессия `a_1,` `a_2,` ..., `a_n,` ... состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел `a_1,` `a_2,` ..., `a_7` ровно три числа делятся на 36?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел `a_1`, `a_2`, ..., `a_{49}` ровно 9 чисел делятся на 36?
в) Для какого наибольшего натурального $n$ могло оказаться так, что среди чисел `a_1`, `a_2`, ..., `a_{2n}` больше кратных 36, чем среди чисел `a_{2n + 1}`, `a_{2n + 2}`, ..., `a_{5n}`?

@темы: ЕГЭ

20:35 

ГМТ

wpoms.
Step by step ...


Окружности `C_1` и `C_2` имеют разные длины радиусов и касаются в точке `T`. На окружности `C_1` берется произвольная точка `A`, а на окружности `C_2` - точка `B`, обе точки отличны от `T` и величина угла `BTA` равна `90` градусам. Что представляет собой геометрическое место середин отрезков `AB`?




@темы: Планиметрия

18:28 

Сумма произведений

wpoms.
Step by step ...


João вычислил произведение ненулевых цифр каждого целого числа от 1 до 10^2009. После этого он сложил эти 10^2009 произведений. Какое число получил João?



@темы: Теория чисел

18:21 

Ломаная

wpoms.
Step by step ...


Дуарте хочет нарисовать квадрат с длиной стороны 2009 см, разделенный на 2009 x 2009 квадратов с длиной стороны 1 см, не отрывая карандаша от бумаги. Если начинать рисунок с угла квадрата, то чему равна наименьшая длина линии, которую нужно провести для достижения намеченной цели?



@темы: Планиметрия

09:25 

Величина угла

wpoms.
Step by step ...


На сторонах `CD` и `BC` квадрата `ABCD` отмечены точки `M` и `N`, соответственно. Периметр треугольника `MCN` равен удвоенной длине стороны квадрата. Определите величину угла `MAN`.



@темы: Планиметрия

18:57 

Встаньте числа, встаньте в круг

wpoms.
Step by step ...


Окружность разделена на `n` равных частей. В каждой из этих частей было записано одно из чисел от `1` до `n` так, что расстояния между соседними по величине числами одинаковы. Числа `11`, `4` и `17` записаны в последовательных частях окружности. На сколько частей разделена окружность?



@темы: Теория чисел

19:47 

Функции натурального аргумента

wpoms.
Step by step ...


Найдите, с доказательством, все функции `f` из множества натуральных чисел в себя, которые удовлетворяют равенству
`f (x + f (y)) = f (x) + y`

для всех натуральных чисел `x`,`y`.


Вариант 2: Обозначим `QQ` множество рациональных чисел. Найдите все функции `f : QQ -> QQ`, для которых `f (x + f (y)) = y + f (x)`, для всех `x, y in QQ`.



@темы: Функции

21:51 

Целое число

wpoms.
Step by step ...


Найдите, с доказательством, все неотрицательные действительные числа `x`, для которых
`root(3){13 + sqrt(x)} + root(3){13-sqrt(x)}`

является целым числом.



@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

18:09 

Биссектриса

wpoms.
Step by step ...


В остроугольном треугольнике `ABC` точка `D` является основанием перпендикуляра, опущенного из `A` на `BC`. Точка `P` лежит на отрезке `AD`. Прямые `BP` и `CP` пересекают `AC` и `AB` в точках `E` и `F`, соответственно. Докажите, что `AD` является биссектрисой угла `EDF`.



@темы: Планиметрия

12:45 

Бусики

wpoms.
Step by step ...


Три обруча расположены концентрически (см. рисунок). На каждом обруче через равные промежутки нанесены 20 бусинок, `10` из которых черного и `10` белого цвета. На каждом обруче бусинки пронумерованы числами от `1` до `20` начиная снизу и в направлении против часовой стрелки. Мы говорим о совпадении в позиции `i` если все три бусинки в позиции `i` имеют один и тот же цвет. Мы можем перемещать все бусинки вокруг любого обруча (при этом нельзя нарушать порядок их следования друг за другом). Покажите, что возможно (вращением) найти конфигурацию в которой будет не менее `5` совпадений.





@темы: Комбинаторика

21:45 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Найдите наименьшее натуральное число `a`, для которого `2001` делит `55^n + a*32^n` для некоторого нечетного целого `n`.



@темы: Теория чисел

15:51 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для действительных чисел `a`, `b` (`a*b > 0`) выполняется неравенство
`root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + 10ab + b^2)/12`.

Определите, при каких условиях достигается равенство.
Докажите, как следствие или иным образом, что для всех действительных чисел `a`, `b` верно неравенство
`root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + ab + b^2)/3`

Определите, при каких условиях достигается равенство.



@темы: Доказательство неравенств

01:12 

Неравенства

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что
(a) `(2*n)/(3*n + 1) <= sum_{k = n + 1}^{2*n} 1/k`,
(b) `sum_{k = n + 1}^{2*n} 1/k <= (3*n + 1)/(4*(n + 1))`,

для всех натуральных чисел `n`.



@темы: Доказательство неравенств

22:20 

Простое число, оно такое простое

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что если нечетное простое число `p` можно представить в виде `x^5 - y^5`, где `x`, `y` целые числа, то `sqrt((4*p + 1)/5) = (v^2 + 1)/2`, для некоторого нечетного числа `v`.



@темы: Теория чисел

21:03 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC`. Длины сторон `BC`, `CA`, `AB` равны `a`, `b`, `c`, соответственно. Точки `D`, `E` являются серединами сторон `AC`, `AB`, соответственно. Докажите, что `BD` перпендикулярен `CE` тогда и только тогда, когда `b^2 + c^2 = 5*a^2`.



@темы: Планиметрия

21:09 

wpoms.
Step by step ...


Решите уравнение `2^n = a! + b! + c!` в натуральных числах `a`, `b`, `c` и `n`.



@темы: Теория чисел

17:17 

Исследование функции

wpoms.
Step by step ...


Дана функция `y = |x^2 - 4*x + 3|`. Исследуйте ее на непрерывность и дифференцируемость в точке с абсциссой `1`. Ее график с осью `Ох` образует замкнутую фигуру. Найдите площадь этой фигуры.



@темы: Исследование функций, Математический анализ, Приложения определенного интеграла

19:09 

Бриллиант

wpoms.
Step by step ...


Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Покажите, что если из одного бриллианта сделать два, произойдет их обесценивание. Когда обесценивание будет максимальным?



@темы: Задачи на экстремум

22:13 

Матрица

wpoms.
Step by step ...


Дана квадратная матрица `M` размера `n xx n` над полем вещественных чисел. Выразите через `M` две матрицы, одну симметричную и одну антисимметричную, такие, что их сумма в точности равна `M`.



@темы: Матрицы

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная