Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
14:54 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Калужская область





@темы: Олимпиадные задачи

20:42 

Сумма цифр

wpoms.
Step by step ...


На доске сначала было записано число 1. Каждую минуту к записанному в данный момент числу прибавляют сумму его цифр. Может ли через какое-то время на доске появиться число 201820182018?

Муниципальный этап ВОШ в Республике Крым 2018: http://eek.diary.ru

@темы: Олимпиадные задачи

04:24 

Волшебство

wpoms.
Step by step ...
На доске 5x5 на каждой клетке лежит по одинаковой на вид монете, и имеются весы, на каждую чашку которых можно класть только по две монеты. Известно, что ровно одна из монет волшебная, а лежащие вокруг неё четыре монеты являются более лёгкими (одного веса). Каждая из остальных двадцати монет весит столько же, сколько весит волшебная монета, но волшебной не является. Можно ли найти волшебную монету, совершив не более двух взвешиваний?



Куриловская тюльпанная степь

@темы: Олимпиадные задачи

07:45 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Смоленская область





@темы: Олимпиадные задачи

20:05 

Семерки и девятки

wpoms.
Step by step ...
Может ли произведение двух чисел, каждое из которых записывается только семерками и девятками, быть числом, которое записывается только семерками и девятками?


Плёс. Вид на Варваринскую церковь и Волгу

Муниципальный этап ВОШ в Ивановской области 2018: http://eek.diary.ru

@темы: Олимпиадные задачи

22:06 

Делится ли?

wpoms.
Step by step ...
9.5. Про три различных целых числа x, y, z известно, что xy делится на 576, yz делится на 324, xz делится на 5184.
Делится ли (x - y)(y - z)(z - x) на 48?



Муниципальный этап ВОШ в Ленинградской области 2018: http://imcluga.ru

@темы: Олимпиадные задачи

20:21 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Даны действительные числа $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_{2n-1}$, среднее арифметическое которых равно $A$. Докажите, что $2\sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-A\right)^2 \ge \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-x_{n}\right)^2$



@темы: Доказательство неравенств

05:03 

Анархия - мать порядка

wpoms.
Step by step ...
На шахматной доске в каждой клетке стоит маляр с ведерками черной и белой краски. За ход все маляры одновременно перемещаются в соседнюю по стороне клетку так, чтобы ни одна клетка не осталась пустой. Каждый маляр – либо монархист, либо революционер, либо анархист. Придя в клетку, монархист красит ее в исходный цвет, революционер – в противоположный исходному, а анархист меняет текущий цвет клетки. Однажды вся доска оказалась белой. Как будет раскрашена доска через 2018 ходов после этого?

Городская олимпиада Омска 2018: mm.omsu.ru/olimpiada-im-kukina/

@темы: Олимпиадные задачи

23:16 

Про треугольник

wpoms.
Step by step ...


В остроугольном треугольнике $ABC$ биссектриса $\angle BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Точки $P$ и $Q$ --- ортогональные проекции точки $D$ на прямые $AB$ и $AC$. Докажите, что площадь треугольника $APQ$ равна площади треугольника $BCQP$ в том и только в том случае, когда центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на прямой $PQ$.



@темы: Планиметрия

12:42 

Квадрат числа

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для всех простых чисел $p>2$ существует ровно одно положительное целое число $n$ такое, что $n^2+np$ является квадратом целого числа.



@темы: Теория чисел

17:52 

Не прогрессия

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что кубические корни из трех различных простых чисел не могут быть членами (не обязательно последовательными) одной арифметической прогрессии.



@темы: Прогрессии, Теория чисел

21:39 

Система уравнений

wpoms.
Step by step ...


Найдите все решения, вещественные или комплексные, системы уравнений
`x+y+z=3`, `x^2+y^2+z^2=3`, `x^3+y^3+z^3=3`.





@темы: Системы НЕлинейных уравнений

18:16 

Вероятность

wpoms.
Step by step ...


Из вершин правильного `(2n + 1)` - угольника случайным образом выбираются три вершины. Считая выборы всех троек равновероятными, найдите вероятность того, что центр данного многоугольника лежит внутри треугольника, определяемого тремя выбранными точками.



@темы: Теория вероятностей, Комбинаторика

14:06 

Последовательности

wpoms.
Step by step ...


Пусть `{X_n}` и `{Y_n}` — две целочисленные последовательности, такие, что:
`X_0=1`, `X_1=1`, `X_{n+1}=X_n+2X_{n-1}` `(n=1,2,3,...),`
`Y_0=1`, `Y_1=7`, `Y_{n+1}=2Y_n+3Y_{n-1}` `(n=1,2,3,...)`.
То есть, первые несколько их членов таковы:
`X:1, 1, 3, 5, 11, 21, ...`,
`Y:1, 7, 17, 55, 161, 487, ...`.
Докажите, что эти последовательности не имеют общих членов, кроме 1.




@темы: Теория чисел

22:01 

Про угол

wpoms.
Step by step ...


Две точки `P` и `Q` лежат внутри правильного тетраэдра `ABCD`. Докажите, что угол `PAQ < 60^@`.



@темы: Стереометрия

20:36 

Пятиугольники

wpoms.
Step by step ...


Дан выпуклый пятиугольник `ABCDE` такой, что площадь каждого из пяти треугольников `ABC`, `BCD`, `CDE`, `DEA` и `EAB` равна единице. Покажите, что все пятиугольники, обладающие этим свойством, имеют одну и ту же площадь и найдите её. Дополнительно покажите, что существует бесконечно много неравных пятиугольников, обладающих этим свойством.





@темы: Планиметрия

20:35 

Найти коэффициенты

wpoms.
Step by step ...


Пусть `R` обозначает неотрицательное рациональное число. Найдите фиксированный набор целых чисел `a,` `b,` `c,` `d,` `e,` `f` таких, что для любых `R` выполняется условие
`|(aR^2+bR+c)/(dR^2+eR+f) - root[3]{2}| < |R - root[3]{2}|`



@темы: Уравнения (неравенства) с модулем

20:32 

Случайный выбор

wpoms.
Step by step ...


Случайным образом с равной вероятностью выбирается одно из девяти целых чисел 1, 2, ..., 9. Найдите вероятность того, что после `n` таких выборов (`n > 1`) произведение `n` выбранных чисел будет делиться на 10.



@темы: Теория вероятностей

20:31 

Тетраэдр

wpoms.
Step by step ...


Известно, что длины рёбер тетраэдра `ABCD` удовлетворяют условиям `AB=CD,` `AC=BD,` `AD=BC`. Покажите, что грани тетраэдра являются остроугольными треугольниками.



@темы: Стереометрия

08:50 

НОД и НОК

wpoms.
Step by step ...


Записи вида `(a,b,...,g)` и `[a,b,...,g]` обозначают соответственно наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное положительных целых чисел `a,b,...,g`. Например, `(3,6,18)=3` и `[6,15]=30`. Докажите, что

`([a,b,c]^2)/([a,b][b,c][c,a]) = ((a,b,c)^2)/((a,b)(b,c)(c,a)).`





@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная