• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
20:50 

Раскраска

wpoms.
Step by step ...


Каждая диагональ правильного `2014`-тиугольника окрашена в один из `n` цветов. Любые две диагонали, пересекающиеся внутри многоугольника, окрашены в разные цвета. При каком минимальном значении `n` это возможно?



@темы: Комбинаторика

14:35 

Углы и стороны

wpoms.
Step by step ...


Углы треугольника `A`, `B` и `C` измеряются в градусах, а длины противоположных сторон обозначены `a`, `b` и `c` соответственно. Докажите что `60 <= {a*A + b*B + c*C}/{a + b + c} < 90`.



@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

20:24 

Про перпендикуляры

wpoms.
Step by step ...


Из внутренней точки `P` равностороннего треугольника `ABC` на стороны `BC`,`CA` и `AB` опустили перпендикуляры `PD`, `PE` и `PF` соответственно. Докажите что
a) `AF + BD + CE = AE + BF + CD` и
b) `[APF] + [BPD] + [CPE] = [APE] + [BPF] + [CPD]`.
`[XYZ]` обозначает площадь треугольника `XYZ`.



@темы: Планиметрия

21:04 

Планируем отдых

wpoms.
Step by step ...


Исаак планирует девятидневные каникулы. Каждый день он собирается либо заниматься серфингом, либо кататься на водных лыжах, либо просто отдыхать. При этом в каждый из дней Исаак планирует заниматься чем-то одним. Он не планирует заниматься водными видами спорта два дня подряд. Какое количество расписаний каникул может составить Исаак?



@темы: Комбинаторика

23:36 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Число `A` в десятичной системе записывается `3^{2013}` цифрами `3`. Другие цифры в десятичной записи числа `A` не используются. Найдите самое большое натуральное число `n` такое, что `3^n` делит число `A`.



@темы: Теория чисел

14:27 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


В остроугольном треугольнике `ABC` точка `E` является основанием перпендикуляра опущенного из вершины `B` на `AC`. Пусть `l` - касательная к окружности, описанной около треугольника `ABC`, проведённая в точке `B`. Точка `F` - основание перпендикуляра опущенного из точки `C` на `l`. Докажите, что прямая `EF` параллельна прямой `AB`.



@темы: Планиметрия

13:22 

Калькулятор must die

wpoms.
Step by step ...


Вычислите значение `{2014^4 + 4*2013^4}/{2013^2 + 4027^2} - {2012^4 + 4*2013^4}/{2013^2 + 4025^2}`.



@темы: Про самолеты

13:03 

Про выпуклый четырёхугольник

wpoms.
Step by step ...


Точки `P, Q, R, S` - середины сторон `BC, CD, DA, AB` выпуклого четырехугольника `ABCD` соответственно. Докажите, что `4*(AP^2 + BQ^2 + CR^2 + DS^2) \le 5*(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2)`.



@темы: Доказательство неравенств, Планиметрия

20:55 

Единственное решение

wpoms.
Step by step ...


Пусть `c_1, c_2, ldots ,c_n, b_1, b_2, ldots ,b_n \ \ (n\geq 2)` - положительные действительные числа. Докажите, что `sum_{i = 1}^{n} c_i*sqrt{x_i - b_i} = 1/2*\sum_{i = 1}^{n} x_i` имеет единственное решение `(x_1, ldots ,x_n)` тогда и только тогда, когда `sum_{i = 1}^{n} c_i^2 = sum_{i = 1}^{n} b_i`.



@темы: Системы НЕлинейных уравнений

15:11 

Перпендикулярность

wpoms.
Step by step ...


Равносторонние треугольники `XAB`, `YBC`, `ZCD`, `WDA`, точки пересечения медиан которых обозначены `S_1`, `S_2`, `S_3`, `S_4` соответственно, построены вне выпуклого четырехугольника `ABCD`. Докажите, что `S_1S_3 perp S_2S_4` тогда и только тогда, когда `AC=BD`.



10:16 

Подмножества

wpoms.
Step by step ...


Из множества `F={1,2,...,100}` выбрано произвольное `10`-ти элементное подмножество `G`. Докажите, что существуют два непустых непересекающихся подмножества `S` и `T` множества `G` суммы элементов которых равны.



@темы: Множества, Теория чисел

19:47 

Сокровище

wpoms.
Step by step ...


Два игрока играют в следующую игру на круглой доске с 2009 домами. Игроки поочередно помещают в пустой дом одну из трех фишек, они называются исследователь (E), ловушка (A) и камень (P). Назовем сокровищем последовательность из трех домов, такую что в первом (в любом направлении) находится исследователь и в среднем не находится ловушка. Например, последовательность PAE не является сокровищем, но последовательность AEE сокровищем является.

Первый игрок, который образует сокровище выигрывает. Могут ли игроки обеспечить себе победу? И если да, то кто из них?





@темы: Дискретная математика

10:53 

Досрочный ЕГЭ

wpoms.
Step by step ...
Еще один возможный вариант досрочного ЕГЭ

а) Решите уравнение
`(13sin^2 x - 5sin x)/(13cos x + 12) = 0.`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-3pi; -(3pi)/2].`




Дана правильная треугольная призма `ABCA_1B_1C_1`, все рёбра которой равны 6. Через точки `A`, `C_1` и середину `T` ребра `A_1B_1` проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью `ABC`.




Решите неравенство:
`log_((sqrt3+sqrt19)/6) 5 >= log_((sqrt3+sqrt19)/6) (7-2^x)`.




Стороны `KN` и `LM` трапеции `KLMN` параллельны, прямые `LM` и `MN` --- касательные к окружности, описанной около треугольника `KLN`.
а) Докажите, что треугольники `LMN` и `KLN` подобны.
б) Найдите площадь треугольника `KLN`, если известно, что `KN = 6`, а `/_LMN = 120^@`.




По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13% по сравнению с началом года.
Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число `n` млн рублей в первый и второй годы, а также целое число `m` млн рублей в третий и четвёртый годы.
Найдите наименьшие значения `n` и `m,` при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.




Найдите все значения параметра `b,` при каждом из которых уравнение
`x^3+4x^2-x*log_2(b-3)+6=0`
имеет единственное решение на отрезке `[-2; 2]`.




Бесконечная арифметическая прогрессия `a_1,` `a_2,` ..., `a_n,` ... состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел `a_1,` `a_2,` ..., `a_7` ровно три числа делятся на 36?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел `a_1`, `a_2`, ..., `a_{49}` ровно 9 чисел делятся на 36?
в) Для какого наибольшего натурального $n$ могло оказаться так, что среди чисел `a_1`, `a_2`, ..., `a_{2n}` больше кратных 36, чем среди чисел `a_{2n + 1}`, `a_{2n + 2}`, ..., `a_{5n}`?

@темы: ЕГЭ

20:35 

ГМТ

wpoms.
Step by step ...


Окружности `C_1` и `C_2` имеют разные длины радиусов и касаются в точке `T`. На окружности `C_1` берется произвольная точка `A`, а на окружности `C_2` - точка `B`, обе точки отличны от `T` и величина угла `BTA` равна `90` градусам. Что представляет собой геометрическое место середин отрезков `AB`?




@темы: Планиметрия

18:28 

Сумма произведений

wpoms.
Step by step ...


João вычислил произведение ненулевых цифр каждого целого числа от 1 до 10^2009. После этого он сложил эти 10^2009 произведений. Какое число получил João?



@темы: Теория чисел

18:21 

Ломаная

wpoms.
Step by step ...


Дуарте хочет нарисовать квадрат с длиной стороны 2009 см, разделенный на 2009 x 2009 квадратов с длиной стороны 1 см, не отрывая карандаша от бумаги. Если начинать рисунок с угла квадрата, то чему равна наименьшая длина линии, которую нужно провести для достижения намеченной цели?



@темы: Планиметрия

09:25 

Величина угла

wpoms.
Step by step ...


На сторонах `CD` и `BC` квадрата `ABCD` отмечены точки `M` и `N`, соответственно. Периметр треугольника `MCN` равен удвоенной длине стороны квадрата. Определите величину угла `MAN`.



@темы: Планиметрия

18:57 

Встаньте числа, встаньте в круг

wpoms.
Step by step ...


Окружность разделена на `n` равных частей. В каждой из этих частей было записано одно из чисел от `1` до `n` так, что расстояния между соседними по величине числами одинаковы. Числа `11`, `4` и `17` записаны в последовательных частях окружности. На сколько частей разделена окружность?



@темы: Теория чисел

19:47 

Функции натурального аргумента

wpoms.
Step by step ...


Найдите, с доказательством, все функции `f` из множества натуральных чисел в себя, которые удовлетворяют равенству
`f (x + f (y)) = f (x) + y`

для всех натуральных чисел `x`,`y`.


Вариант 2: Обозначим `QQ` множество рациональных чисел. Найдите все функции `f : QQ -> QQ`, для которых `f (x + f (y)) = y + f (x)`, для всех `x, y in QQ`.



@темы: Функции

21:51 

Целое число

wpoms.
Step by step ...


Найдите, с доказательством, все неотрицательные действительные числа `x`, для которых
`root(3){13 + sqrt(x)} + root(3){13-sqrt(x)}`

является целым числом.



@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная