Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
16:29 

На окружности

wpoms.
Step by step ...


Точка $M$ --- середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $AB=AC$. Точка $D$ --- ортогональная проекция точки $M$ на сторону $AB$. Окружность $\omega$ вписана в треугольник $ACD$ и касается отрезков $AD$ и $AC$ соответственно в точках $K$ иd $L$. Касательные к $\omega$, проходящие через точку $M$, пересекают прямую $KL$ в точках $X$ и $Y$, причем точки $X$, $K$, $L$, $Y$ лежат в указанном порядке на прямой $KL$. Докажите, что точки $M$, $D$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности.



@темы: Планиметрия

22:41 

Пятёрочка

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что множество положительных целых чисел `ZZ^+ = \{1,2,3,...\}` можно представить в виде суммы пяти попарно различных подмножеств таких, что каждая пятерка чисел `(n, \ 2n, \ 3n, \ 4n, \ 5n)`, где `n \in ZZ^+`, содержит ровно по одному числу из каждого из этих пяти подмножеств.



@темы: Теория чисел, Множества

21:31 

Целые числа

wpoms.
Step by step ...


Целые числа `a_1, a_2, \ldots, a_n` удовлетворяют неравенству `1 < a_1 < a_2 < \ldots < a_n < 2a_1`.
Докажите, что если `m` --- количество различных простых делителей `a_1 * a_2 * \cdots * a_n`, то `(a_1 * a_2 * \cdots * a_n)^{m-1} \geq (n!)^m`



@темы: Доказательство неравенств

00:01 

Вредные множества

wpoms.
Step by step ...


Последовательность `$(a_1, a_2, ldots , a_k)`, состоящая из попарно различных клеток шахматной доски `n times n`, называется циклом, если `k \geq 4` и клетки `a_i` и `a_{i+1}` имеют общую сторону для всех `i=1, 2, ldots, k`, где `a_{k+1} = a_1`. Подмножество `X`, состоящее из клеток доски, назовем вредным, если каждый цикл содержит по крайней мере одну клетку из `X`.
Найдите все действительные числа `C` такие, что для каждого целого числа `n \geq 2` на доске размером` n \times n` существует вредное подмножество, содержащее не более `C*n^2` клеток.



@темы: Дискретная математика

01:02 

И снова треугольник

wpoms.
Step by step ...


Точки $P$ и $Q$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, причем $BP=CQ$. Отрезки $BQ$ и $CP$ пересекаются в точке $R$. Описанные окружности треугольников $BPR$ и $CQR$ пересекаются повторно в точке $S$ отличной от $R$. Докажите, что точка $S$ лежит на биссектрисе угла $BAC$.



@темы: Планиметрия

21:45 

wpoms.
Step by step ...
Не удается найти задания муниципального этапа, проходившего в нескольких регионах.


Республика Адыгея, Республика Алтай, Астраханская область, Волгоградская область, Республика Ингушетия, Кабардино-Балкарская Республика, Республика Калмыкия, Кировская область, Курганская область, Магаданская область, Республика Мордовия, Орловская область, Пензенская область, Псковская область, Самарская область, Республика Саха (Якутия), Сахалинская область, Тверская область, Республика Тыва, Чеченская Республика, Чувашская Республика, Чукотский автономный округ.

Помогите, чем можете.
запись создана: 04.01.2019 в 15:28

@темы: Олимпиадные задачи, Поиск

04:02 

Про числа

wpoms.
Step by step ...


Даны простое число `p > 2` и числа `x,y \in \{ 1, 2, \ldots , {p - 1}/{2} \}`. Докажите, что если число `x*( p - x)*y*( p - y)` является квадратом целого числа, то `x = y`.



@темы: Теория чисел

12:39 

Рататуй

wpoms.
Step by step ...


Гурман Жан сравнивал $n$ ресторанов, где $n$ --- положительное целое число. Каждая пара ресторанов сравнивалась по двум показателям: качеству еды и уровню обслуживания. В некоторых случаях Жан не мог определиться, какой из двух ресторанов лучше по какому-то одному показателю, но тогда он всегда выбирал лучший по другому показателю. Понятно, что если Жан узнал, что ресторан $A$ лучше ресторана $B$ по какому-то показателю, и ресторан $B$ лучше ресторана $C$ по этому же показателю, то он считает, что $A$ лучше $C$ по этому показателю. Докажите, что есть ресторан $R$ такой, что любой другой ресторан хуже чем $R$ хотя бы по одному показателю.



@темы: Дискретная математика

19:36 

Про треугольник

wpoms.
Step by step ...


Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ соответственно в точках $D$ и $E$. Точка $J$ --- центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$. Точки $M$ и $N$ являются соответственно серединами отрезков $JD$ и $JE$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.



@темы: Планиметрия

19:22 

Математическая олимпиада в Молдавии

wpoms.
Step by step ...
Математическая олимпиада в Молдавии


Республиканская олимпиада школьников по математике

Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: районный, муниципальный и республиканский.





@темы: Олимпиадные задачи

09:37 

Треугольники

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим два треугольника `ABC` и `PQR`, показанные на рисунке. Точка `D` в треугольнике `ABC` выбрана так, что `/_ ADB = /_ BDC = /_ CDA = 120^@`. Докажите, что `x = u + v + w`.




@темы: Планиметрия

01:23 

Папа, мама, я - спортивная семья

wpoms.
Step by step ...


Папа, мама и сын проводят семейный турнир, играя в игру без ничьих, в каждой партии которой участвуют два игрока. Правила турнира:
(i) Самый слабый игрок выбирает первую пару игроков.
(ii) Победитель очередной партии проводит следующую партию против человека, не игравшего в предыдущей партии.
(iii) Первый человек, выигравший две партии, выигрывает турнир.
Папа - самый слабый игрок, сын - сильнейший. Предполагается, что вероятность любого игрока выиграть партию у другого игрока не меняется во время турнира. Докажите, что оптимальная стратегия папы для победы в турнире - сыграть первую партию с мамой.




@темы: Теория вероятностей, Дискретная математика

21:07 

Про кривую

wpoms.
Step by step ...


Две точки на поверхности шара радиуса 1 соединены кривой, длина которой меньше 2 и все точки которой не лежат вне шара. Докажите, что кривая содержится в половине шара, ограниченной полусферой и плоскостью, проходящей через его центр.



@темы: Стереометрия

03:29 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для положительных действительных чисел `a`, `b` и `c` верно неравенство `a^a*b^b*c^c >= (a*b*c)^{(a+b+c)/3}`.



@темы: Доказательство неравенств

13:33 

Донецкие олимпиады

wpoms.
Step by step ...
Математические олимпиады : 906 самых интересных задач и примеров с решениями / Р.И. Довбыш [и др.]. — 2-е изд.
Ростов н/Д : Феникс; Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2008. — 331 с. — (Большая перемена).

Сборник предназначен для внеклассной и факультативной работы со школьниками и студентами, готовящимися посвятить себя серьёзному изучению математики. Содержит задачи, предлагаемые в течение сорока лет участникам математических олимпиад, с подробными указаниями к их решению.
Скачать (djvu) libgen || twirpx

@темы: Литература, Олимпиадные задачи

06:32 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Рязанская область

Олимпиады школьников г. Рязани


Задания 2018/19 у.г.


@темы: Олимпиадные задачи

20:36 

Про полином

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a`, `b`, и `c` — различные целые числа, а `P` — полином с целыми коэффициентами. Покажите, что невозможно одновременное выполнение равенств `P(a)=b`, `P(b)=c` и `P(c)=a`.




@темы: Теория многочленов

19:23 

Кошка

wpoms.
Step by step ...
Лестница длиной $\ell$ прислонена вертикально к стене. На середине лестницы сидит кошка. В момент времени $t_0 = 0$ нижний край лестницы начинает скользить по полу, удаляясь от стены со скоростью $v = 2t,$ где $t$ --- момент времени (или промежуток времени, прошедший от момента $t_0$ --- начала скольжения); верхний край лестницы соскальзывает по стене, а кошка сидит неподвижно относительно лестницы на ее середине. Останется ли кошка живой после приземления ее на пол?



Заповедник Шайтан-Тау

@темы: Олимпиадные задачи

20:09 

Палочка

wpoms.
Step by step ...
Палочка разломана на несколько частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить треугольник. Докажите, что среди частей есть такая, которая длиннее трети исходной палочки.



Муниципальный этап ВОШ в Кировской области 2017: http://eek.diary.ru

@темы: Олимпиадные задачи

17:42 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Москва






ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ по МАТЕМАТИКЕ для школьников города Москвы: olympiads.mccme.ru/vmo/

@темы: Олимпиадные задачи

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная