• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
02:10 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для всех `0 < a, b, c < 1` верно неравенство
`a/(1 - a) + b/(1 - b) + c/(1 - c) >= (3*root(3){a*b*c})/(1 - root(3){a*b*c})`.

Определите, в каких случаях достигается равенство.




@темы: Доказательство неравенств

18:07 

Натуральные числа. Прошу любить и жаловать

wpoms.
Step by step ...


Последовательность `a_1, a_2, a_3, a_4,...` определяется соотношениями `a_1 = 1`, `a_2 = 1`, `a_3 = 1` и `a_{n+1}*a_{n-2} - a_{n}*a_{n-1} = 2`, для всех `n >= 3`. Докажите, что `a_n` является натуральным числом для всех `n >= 1`.



@темы: Теория чисел

22:36 

Тройки

wpoms.
Step by step ...


Найдите все тройки натуральных чисел `(p, q, n)` (`p` и `q` простые), удовлетворяющие равенству
`p*(p + 3) + q*(q + 3) = n*(n + 3)`.




@темы: Теория чисел

19:14 

Всесибирская олимпиада

wpoms.
Step by step ...
Всесибирская открытая олимпиада школьников
Сайт олимпиады
Архив ВООШ

Олимпиада 2016-2017 гг. по математике
Первый этап, 23-10-2016

11 класс

11.1. Найти все натуральные числа `n` такие, что существуют `n` последовательных натуральных чисел, сумма которых равна `n^2`.

11.2. Найти решение уравнения `cos^2(x) + cos^2(2*x) + cos^2(3*x) = 1`.

11.3. При каком наименьшем `n` выполнено условие: если в таблице размера `6 xx 6` в произвольном порядке расставить `n` крестиков (не более одного в клетке), то обязательно найдутся три клетки, образующие полоску длины 3, вертикальную или горизонтальную, в каждой из которых стоит крестик?

11.4. Найдите все натуральные числа `x` такие, что произведение всех цифр в десятичной записи `x` равно `x^2 - 10*x - 22 = 0`.

11.5. На плоскости дан отрезок `AB` и на нём произвольная точка `M`. На отрезках `AM` и `MB` как на сторонах построены квадраты `AMCD` и `MBFE`, лежащие по одну сторону от `AB`, и `N` - точка пересечения прямых `AF` и `BC`. Докажите, что при любом положении точки `M` на отрезке `AB` каждая прямая `MN` проходит через некоторую точку `S`, общую для всех таких прямых.

@темы: Олимпиадные задачи

13:12 

Давай пожмем друг другу руки - И в дальний путь, на долгие года.

wpoms.
Step by step ...


(a) Группа людей приняла участие в вечеринке. Каждый имеет не более трех знакомых в этой группе, если двое не знают друг друга, то у них есть общий знакомый в группе. Какое наибольшее количество людей могло принять участие в вечеринке?

(b) Если, дополнительно, в группе есть три человека, каждый из которых знаком с двумя другими, то чему равно наибольшее количество людей, которые могли принять участие в вечеринке?



@темы: Дискретная математика

00:24 

Угол

wpoms.
Step by step ...


В треугольнике `ABC` известны длины сторон `AB = 20`, `AC = 21` и `BC = 29`. Точки `D` и `E` лежат на отрезке `BC`, при этом `BD = 8` и `EC = 9`. Найдите угол `/_DAE`.



@темы: Планиметрия

20:56 

Прямые на шахматной доске

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что если p - простое число, то на шахматной доске размером pxp можно выбрать p клеток так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. На рисунке показан один из возможных выборов клеток для p=3.




@темы: Дискретная математика

20:37 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что в любом треугольнике есть две стороны a и b, длины которых удовлетворяют неравенству
`(sqrt(5)-1)/2 < a/b < (sqrt(5)+1)/2`




@темы: Доказательство неравенств, Планиметрия

21:58 

НОК

wpoms.
Step by step ...


Giraldo написал пять различных натуральных чисел в вершинах пятиугольника. Затем он написал на каждой стороне наименьшее общее кратное чисел, которые записаны в концах этих сторон, после чего он заметил, что все пять чисел, написанных на сторонах равны. Какое наименьшее число могло быть написано на стороне пятиугольника?



@темы: Теория чисел

01:13 

Десерт

wpoms.
Step by step ...


Ежедневно более чем половина жителей города Эвора ест на десерт sericaia. Покажите, что есть группа из 10 эворийцев, таких что за последние 2010 дней каждый день по крайней мере один из них ел на десерт sericaia.

Sericá (или Sericaia) является традиционным португальским десертом из яиц, сахара, молока и корицы. Обычно подается с сахарными сливами.




@темы: Дискретная математика

22:18 

На окружности

wpoms.
Step by step ...


Точки окружности `A` и `B` принадлежат разным дугам, на которые окружность разбивается концами диаметра `CD`. Отрезки `EC` и `DF` перпендикулярны отрезку `AB`. Найдите `BF`, если `AE = 1` см.





@темы: Планиметрия

20:16 

Сгорая плачут свечи

wpoms.
Step by step ...


В часовне На костях (Capela dos Ossos) было несколько свечей одинакового размера. В первый день зажгли на один час одну свечу. На второй день на один час зажгли две свечи, на третий день зажгли три свечи на один час, и так далее, до последнего дня, в который зажгли все свечи на один час. В конце концов, все свечи полностью сгорели. Определите все возможности для исходного числа свечей.




@темы: Комбинаторика

18:19 

Функции в треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Пусть `S` - множество точек лежащих внутри данного равностороннего треугольника `ABC` с длиной стороны `1` или на его границах. Для любой точки `M in S, \ a_M, \ b_M, \ c_M` обозначают расстояния от `M` до `BC, \ CA, \ AB` соответственно. Определим
`f(M) = a_M^3 (b_M - c_M) + b_M^3(c_M - a_M) + c_M^3(a_M - b_M)`.
(a) Опишите множество `{M \in S | f(M) \geq 0 }` геометрически.
(b) Найдите наименьшее и наибольшее значение `f(M)` и точки в которых они достигаются.



@темы: Функции, Планиметрия

08:35 

Число в степени

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что существует положительное целое `N` такое, что десятичное представление числа `2000^N` начинается с `200120012001`.



@темы: Теория чисел

17:49 

Разложение на множители

wpoms.
Step by step ...


Найдите все целые `n` для которых многочлен `p(x) = x^5 - n*x - n - 2` может быть представлен как произведение двух многочленов ненулевой степени с целыми коэффициентами.



@темы: Теория многочленов

16:51 

Про окружность

wpoms.
Step by step ...


Точки `P` и `Q` лежат на окружности `k`. Хорда `AC` этой окружности проходит через середину `M` отрезка `PQ`. Трапеция `ABCD` вписана в `k` и `AB \parallel PQ \parallel CD`. `X` - точка пересечения `AD` и `BC`. Докажите, что `X` зависит только от `k`, `P` и `Q`.



@темы: Планиметрия

20:56 

Пересечение прямых

wpoms.
Step by step ...


Пусть `P` - внутренняя точка треугольника `ABC`. Точка `A'` - отличная от `A` точка пересечения прямой `AP` с описанной около треугольника `ABC` окружностью. Аналогичным образом определяются точки `B'` и `C'`. Пусть точки `O_A`, `O_B` и `O_C` - центры окружностей, описанных около треугольников `BCP`, `ACP` и `ABP` соответственно, а точки `O_{A'}`, `O_{B'}` и `O_{C'}` - центры окружностей, описанных около треугольников `B'C'P`, `A'C'P` и `A'B'P` соответственно. Докажите, что прямые `O_{A}O_{A'}`, `O_{B}O_{B'}` и `O_{C}O_{C'}` пересекаются в одной точке.



@темы: Планиметрия

08:38 

Математический конкурс в ЮУрГУ

wpoms.
Step by step ...
Математический конкурс в ЮУрГУ

Сайт: vk.com/konkursinsusu
Организатор: А. Эвнин

Задания конкурса № 44

Задача 259. [Хоровод] В хоровод стало 40 детей. Оказалось, что 22 из них держали за руку мальчика, а 30 — девочку. Сколько было мальчиков в хороводе?

Задача 260. [Белые мыши] Имеется 100 бутылок с вином, в одной из которых вино испорчено. Требуется в течение часа при помощи белых мышей обнаружить плохое вино. Если мышь выпьет плохого вина, через час она станет синей. Разрешается накапать вина из разных бутылок (но не более чем из пяти) каждой мыши, и дать им выпить одновременно. Какого наименьшего числа мышей достаточно для решения поставленной задачи?

Задача 261. [Прямой угол] В треугольнике ABC проведены биссектрисы `A A_1`, `B B_1`, `C C_1`. Известно, что `/_ABC = 120^@`. Докажите, что треугольник `A_1B_1C_1` — прямоугольный.

Задача 262. [Игра в определитель] Первоначально таблица 5x5 пуста. Аня выбирает любую клетку и записывает в неё любое число от 1 до 25. Затем Ваня в другую клетку записывает число от 1 до 25, отличное от записанного Аней. И далее игроки по очереди записывают в незанятые клетки числа от 1 до 25, отличные от ранее записанных. Если определитель соответствующей матрицы делится на 25, выигрывает Аня; в противном случае побеждает Ваня. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 263. [Числа по кругу] При каких `n > 3` можно по кругу расставить числа 1, 2,..., `n- 1` так, чтобы разность квадрата каждого и произведения соседних делилась на `n`?

Задача 264. [Рулетка] На игровой рулетке `n` секторов с числами 1, 2,..., `n`. Сколько в среднем раз нужно прокрутить барабан, чтобы общая сумма выпавших очков стала не меньше `n`?

@темы: Олимпиадные задачи, Головоломки и занимательные задачи

21:31 

Делители

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a_0 = 4`, а последующие члены последовательности вычисляются по формуле `a_n = a_{n - 1}^2 - a_{n - 1}` для всех натуральных чисел `n`.
а) Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, которые являются делителем хотя бы одного члена последовательности;
б) Существует ли бесконечно много простых чисел, которые не являются делителем ни одного члена последовательности?



@темы: Теория чисел

19:50 

Параллелепипед

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что не существует прямоугольный параллелепипед, у которого объем, площадь поверхности и периметр численно равна.
Периметр прямоугольного параллелепипеда равен сумме длин всех двенадцати ребер.



@темы: Стереометрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная