Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
21:18 

Квадратные уравнения

wpoms.
Step by step ...


Действительные числа `a, b, r` и `s` такие, что корнями уравнения `x^2 - ax + b = 0` являются `1/r` и `1/s,` а корнями уравнения `x^2 - rx + s = 0` являются `a` и `b.` Найдите `a,` если известно, что `a> 0.`



@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

19:39 

Точки на одной прямой

wpoms.
Step by step ...


Биссектрисы углов `ABC` и `ACB` треугольника `ABC` пересекаются в точке `I.` Прямая, параллельная `BI` и проходящая через точку `A,` пересекает `CI` в точке `D.` Прямая, параллельная `CI` и проходящая через точку `A` пересекает прямую `BI` в точке `E.` Прямые `BD` и `CE` пересекаются в точке `F.` Покажите, что точки `F, A` и `I` лежат на одной прямой в том и только том случае, когда `AB = AC.`



@темы: Планиметрия

21:54 

Переходим к среднему звену школы

wpoms.
Step by step ...


a) Рассмотрим все числа образованные четырьмя цифрами 1, 2, 3 и 4. Образуем выражение
`S_4 = 4321 - 4312 + 4231 - 4213 + ... + 1243 - 1234,`
в котором числа слева направо идут от большего к меньшему и знаки + and - чередуются. Вычислите `S_4.`
b) Аналогично, рассмотрим все числа образованные девятью различными цифрами, за исключением ноля, и образуем выражение
`S_9 = 987654321 - 987654312 + 987654231 - ... - 123456789,`
в котором числа слева направо идут от большего к меньшему и знаки + and - чередуются. Вычислите `S_9.`



@темы: Теория чисел

20:10 

Что наша жизнь - Игра

wpoms.
Step by step ...


Дано целое число `N`, `N >= 2.`
В игре OBM участвуют два игрока `A` и `B`, игру начинает игрок `A`, получающий число `N.` Он должен выбрать новое целое число `n,` взаимно простое с `N` и большее или равное `N` и меньшее, чем `N.` Это число передается игроку `B.` Игрок `B`, получив число `n` от своего оппонента, выбирает новое число `m,` взаимно простое с `n`, большее или равное половине `n` и меньшее `n.` Затем он передает выбранное число `m` игроку `A` и процесс повторяется до тех пор, пока одному из игрок остается только выбрать число 1. Этот игрок будет победителем!
Например, для `N = 9,` игрок `A` может выбрать число 5 (заметьте, что он мог выбрать одно из чисел 5, 7 или 8); игрок `B` может затем выбрать число `3;` `A` вынужден выбрать число 2 (это его единственная возможность), и затем `B` выбирает 1 и выигрывает.
Определите, какой игрок имеет выигрышную стратегию, если
a) `N = 7;`
b) `N = 2016.`
Примечание. Два числа называют взаимно простыми, если у них нет общего делителя большего 1. Например, 9 и 6 не являются взаимно простыми числами, так как 3 --- их общий делитель.



@темы: Теория чисел

16:14 

Карл пишет

wpoms.
Step by step ...


Карл составляет список четырехзначных чисел по следующим правилам: сумма цифр числа должна быть равна 12, две цифры должны быть четными, а две другие --- нечетными. Например, число 2703 удовлетворяет эти условиям и должно быть включено в список. Помните, что число не может начинаться с ноля и что ноль чётен.
a) Какое ближайшее к 2016 число содержится в списке Карла?
b) Найдите сумму всех тех чисел в списке Карла, которые меньше 2016.



@темы: Про самолеты

22:47 

Группы чисел

wpoms.
Step by step ...


Целые числа от 1 до 99 разделены на $n$ групп так, что:
I - каждое число принадлежит только одной группе;
II- каждая группа содержит не менее двух чисел;
III- если два числа принадлежат одной группе, то их сумма не делится на 3.

a) Объясните, почему количество групп не может быть равно 50.
b) Чему равно наименьшее возможное количество групп?



@темы: Теория чисел

10:28 

Площадь

wpoms.
Step by step ...


Janaina рисовала последовательность фигур, как показано ниже. Каждая фигура имеет на один квадрат больше, чем предыдущая, и длина стороны добавленного квадрата равна длине диагонали большего квадрата предыдущей фигуры. Все квадраты каждой фигуры имеют общую вершину. Площадь квадрата на первом рисунке равна `2 cm^2.`



a) Чему равна площадь большего квадрата на рисунке 2?
b) Чему равна общая площадь фигуры 3?
c) Чему равна общая площадь фигуры 6?



@темы: Планиметрия

22:36 

Турнир

wpoms.
Step by step ...


Четыре команды провели турнир, в котором каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Победа приносила 3 очка, ничья - 1 очко, за поражение очки не начислялись. В этом турнире,
a) если победитель набрал 9 очков, занявший второе место - 6 очков и занявший третье - 3 очка, то сколько очков набрала четвертая команда?
b) если победитель набрал 5 очков, две другие команды по 3 очка, а последняя - два очка, то сколько игр закончилось вничью?



@темы: Комбинаторика

17:15 

Об экзамене по математике в высшую нормальную школу в Пизе

wpoms.
Step by step ...
За два века своего существования Высшая Нормальная Школа в Пизе (Scuola Normale Superiore, SNS, аналог Высшей нормальной школы - Ecole normale superieure, ENS — в Париже) заслужила репутацию одного из наиболее престижных и квотируемых высших учебных заведений и научно-исследовательских центров не только Италии, но и всего мира. Здесь лучшие из наиболее талантливых и подготовленных студентов получают прочные основы для дальнейшей научной деятельности в гуманитарной (филология, философия, история искусств, палеография, лингвистика, археология) или естественно-научной (математика, физика, химия, биология) областях.

При поступлении в Scuola Normale Superiore производится исключительно тщательный и по возможности максимально объективный отбор: уровень подготовки будущих учеников должен соответствовать запросам учебного процесса — поступившие должны обладать знаниями, позволяющими им поддержать статус «нормалистов» в течение всего cursus studiorum (времени обучения). Поэтому ежегодное общее количество мест (гуманитарии + естественники) в Scuola Normale Superiore очень невелико - всего около шестидесяти! Это не только гарантирует высокий уровень обучающихся, но и позволяет повысить само качество обучения за счет «семинарной» схемы проведения лекций и обеспечить постоянное пересечение и взаимопроникновение учебного и научно-исследовательского процессов.

Комиссия, состоящая из преподавателей Школы и других учебных заведений, оценивает абитуриентов, стараясь выявить способности к обучению и исследованиям. Интересно отметить, что при зачислении в Школу для достижения наибольшей объективности не учитываются никакие предыдущие титулы и «бонусы» конкурсантов - так, например, оценки за выпускные экзамены никак не влияют на результаты отбора.

Экзамены, письменные и устные, производятся в августе и сентябре, их содержание зависит от выбранной области - гуманитарной или естественно-научной. Здесь мы приводим задачи письменного экзамена по математике (область естественных наук) за 2016 г. и их решение. Продолжительность этого экзамена составляет 6 часов.

читать дальше

@темы: Задачи вступительных экзаменов

09:20 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Докажите: для любого натурального числа `n` существует `n`-значное натуральное число, все цифры десятичной записи которого равны только 1 или 2 такое, что оно делится на `2^n`.
Будет ли утверждение верно для систем счисления с основанием `4` или `6`?



@темы: Теория чисел

16:05 

Скоро Покров - снег покрывает землю, а плитки покрывают пол

wpoms.
Step by step ...


Пол в комнате прямоугольной формы можно покрыть плитками размером `2 xx 2` и `4 xx 1`. Докажите, что нельзя покрыть пол плитками, если количество плиток одного вида будет уменьшено на 1, а количество плиток другого вида будет увеличено на 1.



@темы: Планиметрия

22:01 

Получение любого числа

wpoms.
Step by step ...


С натуральным числом, записанным в десятичной системе, можно выполнять такие операции:
(1) приписать 4 в конце числа.
(2) приписать 0 в конце числа.
(3) разделить число на 2, если оно чётное.
Докажите, что, начав с числа 4 и выполняя последовательность операций (1), (2), (3), можно получить любое натуральное число.



@темы: Теория чисел

12:59 

Покроем их кругами

wpoms.
Step by step ...


В квадрате, с длиной стороны равной 7, выбрана 51 точка. Докажите, что какие-то три из этих точек можно накрыть кругом радиуса 1.



@темы: Планиметрия

21:42 

За круглым столом. Не рыцари.

wpoms.
Step by step ...


За круглым столом сидят `n` человек. Количество тех, справа от которых сидит кто-то того же пола, равно количеству тех, для кого это не выполняется. Докажите, что `n` делится на 4.



@темы: Теория чисел

23:47 

Корень из числа

wpoms.
Step by step ...


Даны `n` цифр, записанные по порядку `a_1a_2...a_n` Существует ли натуральное число такое, что в десятичной записи квадратного корня из этого числа первые `n` цифр после запятой совпадают с `a_1a_2...a_n`? Обоснуйте ответ.



@темы: Теория чисел

21:14 

wpoms.
Step by step ...
З любов’ю до людей та математики... До 60-рiччя вiд дня народження В’ячеслава Андрiйовича Ясiнського. — Вiнниця : ТОВ «Нiлан-ЛТД», 2017. — 252 c. : iл. 32 с.
Книга мiстить рiзнi матерiали про творчий шлях Ясiнського В’ячеслава Андрiйовича (1957–2015) — уславленого вчителя математики, заслуженого учителя України, доцента Вiнницького державного педагогiчного унiверситету iменi Михайла Коцюбинського; спогади про нього друзiв, колег. Також у книзi зiбрано 500 задач, автором яких є В. А. Ясiнський, окремi його науково-методичнi публiкацiї.

amnm.vspu.edu.ua/olymp/book/

@темы: Литература

00:25 

Озеро

wpoms.
Step by step ...


Каждой точки плоского озера можно достичь по прямым, проходящим по озеру через точки `A` и `B`. Покажите, что каждой точки этого озера можно достичь по прямой, проходящей по озеру через произвольную точку отрезка `AB.`



@темы: Планиметрия

09:58 

3 олимпиада мегаполисов

wpoms.
Step by step ...
Результаты, задачи, решения: megapolis.educom.ru/ru


Джулиан Бивер, асфальт

@темы: Олимпиадные задачи

06:26 

12 среднеевропейская олимпиада

wpoms.
Step by step ...
В индивидуальных соревнованиях 9 участников набрали максимально возможное количество баллов, в командных соревнованиях победила сборная Украины.

Результаты, задачи, решения: www.memo2018.abel.bielsko.pl


Джулиан Бивер, асфальт

@темы: Олимпиадные задачи

01:26 

Не квадрат

wpoms.
Step by step ...


В десятичной записи 1000-значного натурального числа все цифры, кроме, может быть, одной, равны 5. Покажите, что это число не является квадратом натурального числа.



@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная