• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
21:39 

Задачи математической олимпиады Средиземья-2 2007–2014 годов

wpoms.
Step by step ...

Задачи математической олимпиады Средиземья-2 2007–2014 годов

yadi.sk

Благодарю All_ex, Дилетант за неоценимый вклад в подготовку сборника.





@темы: Олимпиадные задачи

09:33 

Про треугольник

wpoms.
Step by step ...


Точки `D`, `E` и `F` лежат на сторонах `BC`, `CA` и `AB`, соответственно, треугольника `ABC`. `AD` перпендикуляр к `BC`, `BE` биссектриса `/_B` и `F` середина `AB`. Докажите, что `AD`, `BE` и `CF` проходят через одну точку тогда и только тогда, когда `a^2(a - c) = (b^2 - c^2)(a + c)`, где `a`, `b` и `c` длины сторон `BC`, `CA` и `AB`, соответственно, треугольника `ABC`.



@темы: Планиметрия

18:21 

Числа Фибоначчи

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что в последовательности Фибоначчи есть число, которое делится на 1000.
[Последовательность Фибоначчи `F_n` определяется так: `F_0 = 0`, `F_1 = 1`, `F_n = F_{n-1} + F_{n-2}` для `n >= 2`. Последовательность начинается так: `0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...` ]



@темы: Теория чисел

21:10 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Найдите все действительные значения `x`, которые удовлетворяют неравенству
`(x^2)/((x + 1 - sqrt(x+1))^2) < (x^2 + 3x + 18)/((x +1)^2)`.



@темы: Иррациональные уравнения (неравенства)

20:41 

Деревня

wpoms.
Step by step ...


Наибольшее расстояние между домами в деревне равно `M`, а наименьшее расстояние равно `m`. Докажите, что если в деревне шесть домов, то `M/m >= sqrt(3)`.



@темы: Планиметрия

20:30 

Раскраска домов

wpoms.
Step by step ...


На улице Антонио сто домов, пронумерованных числами от единицы до ста. Любой дом, чей номер равен разности номеров домов, покрашенных в один цвет, покрашен в цвет отличный от цвета этих двух домов. Докажите, что на улице Антонио есть дома по крайне мере пяти разных цветов.



@темы: Дискретная математика

14:24 

Одеяло

wpoms.
Step by step ...


Фернанда решила украсить квадратное одеяло лентами и кнопками, располагая кнопки в центрах квадратов, через которые проходит лента, образующая показанную на рисунке фигуру. Если Фернанда разместила первую кнопку в строке с номером ноль, то в какой строке будет располагаться кнопка с номером 2007?




@темы: Головоломки и занимательные задачи

16:07 

Почти факториал )))

wpoms.
Step by step ...


Найдите наибольшее целое число `n`, которое равно произведению всех натуральных чисел меньших `sqrt(n)`.



@темы: Теория чисел

01:17 

Описанные окружности

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` и точки `X`, `Y` и `Z` на сторонах `AB`, `BC` и `AC`, соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников `AXZ`, `BXY` и `CYZ` пересекаются в одной точке.



@темы: Планиметрия

22:23 

Ожерелье

wpoms.
Step by step ...


У João были синие, белые и красные жемчужины. Он изготовил из двадцати жемчужин ожерелье, в котором было равное количество синих и белых жемчужин. João заметил, что вне зависимости от того, каким образом разрезать ожерелье на две части с четным количеством жемчужин, в одной из частей количество синих жемчужин будет больше количества белых. Сколько красных жемчужин в ожерелье João?



@темы: Комбинаторика

01:34 

Покажите, что

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что существует натуральное число `k` с таким свойством: если `a`, `b`, `c`, `d`, `e` и `f` - целые числа и `m` является делителем `a^n + b^n + c^n - d^n - e^n - f^n` для всех целых чисел `n` в диапазоне `1 <= n <= k`, то `m` является делителем `a^n + b^n + c^n - d^n - e^n - f^n` для всех натуральных чисел `n`.



@темы: Теория чисел

15:30 

Подмножества

wpoms.
Step by step ...


Множество действительных чисел произвольным образом разделили на два непересекающихся подмножества. Докажите, что для каждой пары натуральных чисел `(m, n)` существуют действительные числа `x < y < z`, принадлежащие одному из подмножеств, для которых `m*(z-y) = n*(y-x)`.



@темы: Теория чисел

00:22 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Функция `f`, определенная для натуральных чисел, задается соотношениями: `f(1) = 1` и, для `n > 1`, `f(n) = f(lfloor (2n-1)/3 rfloor) + f( lfloor (2n)/3 rfloor)`, где `lfloor x rfloor` обозначает наибольшее целое число меньшее или равное `x`. Верно ли, что `f(n) - f(n - 1) <= n` для всех `n > 1`?
[Несколько примеров использования `lfloor x rfloor` : `lfloor pi rfloor = 3`, `lfloor 1729 rfloor = 1729` и `lfloor 2012/1000 rfloor = 2`.]



@темы: Функции

02:06 

Радиусы

wpoms.
Step by step ...


Диагонали `AC` и `BD` вписанного четырехугольника пересекаются в точке `E`. `P`, `Q`, `R` и `S` являются серединами сторон `AB`, `BC`, `CD` и `DA`, соответственно. Докажите, что радиусы окружностей `EPS` и `EQR` имеют равную длину.



@темы: Планиметрия

21:06 

Основания высот

wpoms.
Step by step ...


Дан остроугольный треугольник `ABC`. Основания высот, проведенных из `A`, `B` и `C`, обозначим как `D`, `E` и `F`, соответственно. Докажите, что `DE + DF <= BC` и определите, для каких треугольников достигается равенство.



@темы: Планиметрия

21:40 

Четыре не равно двум

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных чисел не может быть равно произведению двух последовательных натуральных чисел.



@темы: Теория чисел

14:41 

Шарики

wpoms.
Step by step ...


В одной сумке лежит `m` шариков, в другой их `n` (`m, n > 0`). Можно выполнять две разные операции:
a) Удалить равное количество шариков из обеих сумок;
b) Удвоить количество шариков в одной из сумок.
Всегда ли возможно опустошить обе сумки с помощью конечной последовательности операций a) и b)?
Операцию b) заменяют на
b') Утроить количество шаров в одной из сумок.
Всегда ли возможно опустошить обе сумки с помощью конечной последовательности операций a) и b')?



@темы: Дискретная математика

01:20 

Окружности

wpoms.
Step by step ...


Дана окружность `S`. Точка `P` лежит вне `S` и прямая, проходящая через `P`, пересекает `S` в различных точках `X` и `Y`. Окружности `S_1` и `S_2`, проходящие через `P`, касаются `S` в точках `X` и `Y`, соответственно. Докажите, что разность радиусов `S_1` и `S_2` не зависит от положения точек `P`, `X` и `Y`.



@темы: Планиметрия

22:52 

Перестановка

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим числа `1, 2, ..., n`. Найдите, как зависимость от `n`, наибольшее целое число `t`, для которого эти числа могут быть расставлены в ряд так, чтобы все последовательные элементы ряда отличались по крайней мере на `t`.



@темы: Комбинаторика

00:10 

Полные квадраты

wpoms.
Step by step ...


Найдите все (положительные или отрицательные) целые числа `n`, для которых `n^2 + 20n + 11` является полным квадратом. Помните, что вы должны обосновать, что найдены все возможные числа.



@темы: Теория чисел, Школьный курс алгебры и матанализа

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная