Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
01:20 

Окружности

wpoms.
Step by step ...


Дана окружность `S`. Точка `P` лежит вне `S` и прямая, проходящая через `P`, пересекает `S` в различных точках `X` и `Y`. Окружности `S_1` и `S_2`, проходящие через `P`, касаются `S` в точках `X` и `Y`, соответственно. Докажите, что разность радиусов `S_1` и `S_2` не зависит от положения точек `P`, `X` и `Y`.



@темы: Планиметрия

22:52 

Перестановка

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим числа `1, 2, ..., n`. Найдите, как зависимость от `n`, наибольшее целое число `t`, для которого эти числа могут быть расставлены в ряд так, чтобы все последовательные элементы ряда отличались по крайней мере на `t`.



@темы: Комбинаторика

00:10 

Полные квадраты

wpoms.
Step by step ...


Найдите все (положительные или отрицательные) целые числа `n`, для которых `n^2 + 20n + 11` является полным квадратом. Помните, что вы должны обосновать, что найдены все возможные числа.



@темы: Теория чисел, Школьный курс алгебры и матанализа

00:47 

Раскраска

wpoms.
Step by step ...


Стороны выпуклого `(L + M + N)`-угольника раскрашены в три цвета: `L` сторон красным, `M` сторон желтым и `N` сторон синим. Выразите в виде неравенств необходимые и достаточные условия такой раскраски, при которой две смежные стороны не окрашены одним и тем же цветом.



@темы: Дискретная математика

18:06 

Бак с водой

wpoms.
Step by step ...


Бак имеет форму правильной шестиугольной призмы, стороны основания которого равны `1 m`, а высота `10 m`. Бак наклонен на некоторый угол и частично наполнен водой, объем которой равен `9 m^3`. Плоскость свободной поверхности воды пересекает все боковые рёбра. `2 m` бокового ребра призмы находится под водой. Какая часть противоположного бокового ребра находится под водой?



@темы: Стереометрия

21:57 

Хорды

wpoms.
Step by step ...


В круге единичного радиуса проведены две хорды `AB` и `AC` равной длины.
а) Покажите, как можно построить третью хорду `DE`, которая делится на три равные части точками пересечения с `AB` и `AC`.
б) Если `AB = AC = sqrt{2}`, то на части какой длины `DE` разбивает `AB`?



@темы: Планиметрия

22:40 

Абелева группа

wpoms.
Step by step ...


Пусть `(G, *)` группа с нейтральным элементом `e`. Докажите, что если все элементы `x in G` удовлетворяют условию `x * x = e`, то `(G, *)` абелева (то есть коммутативная).



@темы: Теория групп

21:17 

Световой луч

wpoms.
Step by step ...


Три стороны равностороннего треугольника отражают световые лучи (за исключением его вершин), так что лучи света от источника, расположенного внутри в плоскости треугольника, отражаются в его внутреннюю область. Найдите длину пути светового луча, который был выпущен из вершины треугольника и достиг другой его вершины после отражения последовательно от трех сторон, при условии, что длина стороны треугольника равна 1 м.



@темы: Планиметрия

20:28 

Алгебраическая структура

wpoms.
Step by step ...


Пусть `Z_ {(5)}` обозначает некоторое подмножество множества рациональных чисел `QQ`. Рациональное число принадлежит `Z_ {(5)}` тогда и только тогда, когда 5 является делителем не всех дробей, представляющих это число. (Например, рациональное число 13/10 не принадлежит `Z_ {(5)}`, поскольку знаменатели всех дробей, равных `13/10`, кратны 5. Рациональное число `75/10` принадлежит `Z_ {(5)}`, так как `75/10 = 15/2`).
Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:
а) Какой алгебраической структурой (полугруппа, группа и т.д.) является `Z_ {(5)}` относительно операции сложения?
б) А относительно умножения?
с) Является ли `Z_ {(5)}` подкольцом `QQ`?
г) Является ли `Z_ {(5)}` векторным пространством?



@темы: Высшая алгебра

17:41 

Максимальный объём

wpoms.
Step by step ...


Из металлического диска вырезается круговой сектор, оставшаяся часть диска используется как форма при изготовлении стеклянного конуса максимального объема. Определите, в радианах, величину угла вырезанного сектора.



@темы: Стереометрия, Задачи на экстремум

20:57 

Додекаэдр

wpoms.
Step by step ...


Правильный додекаэдр является правильным многогранником, образованным 12 равными пятиугольниками, 3 стороны которых сходятся в каждой вершине додекаэдра. Вычислите наиболее просто
а) число вершин,
б) число ребер,
в) количество диагоналей всех сторон,
г) число отрезков, определяемых всеми парами вершин,
е) число диагоналей додекаэдра.



@темы: Стереометрия

19:32 

Периметр

wpoms.
Step by step ...


Длины сторон треугольника `ABC` целые, `/_A = 2/_B` и `/_C > 90^@`. Найдите минимально возможную длину его периметра.



@темы: Планиметрия

23:15 

Элемент последовательности

wpoms.
Step by step ...


Последовательность действительных чисел `x_n` определяется рекурсивно: `x_0`, `x_1` - произвольные положительные действительные числа и `x_{n+2} = (1+x_{n+1})/(x_n)`, `n = 0,1, 2,. ..`
Найдите `x_{1998}`.



@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

00:55 

Разбиение множества

wpoms.
Step by step ...


`NN` - множество натуральных чисел.
(a) Докажите, что `NN` может быть представлено как объединение трех взаимно не пересекающихся множеств, таких что, если `m, n in NN` и `|m - n| = 2` или `5`, то `m` и `n` принадлежат разным множествам.
(b) Докажите, что `NN` может быть представлено как объединение четырёх взаимно не пересекающихся множеств, таких что, если `m, n in N` и `|m - n| = 2`, `3` или `5`, то `m` и `n` принадлежат разным множествам. Покажите, что невозможно представить `NN` как объединение трех взаимно не пересекающихся множеств, обладающих этим свойством.



@темы: Множества

19:05 

Неравенства

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для положительных действительных чисел `a`, `b`, `c` выполняются неравенства
(a) `9/(a + b + c) <= 2(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a))`,

и
(b) `1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) <= 1/2 (1/a + 1/b + 1/c)`.




@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

06:42 

Делители

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные `n`, имеющие ровно `16` натуральных делителей `d_1, d_2, ..., d_16`, удовлетворяющих условиям `1 = d_1 < d_2 < ... < d_16 = n`, `d_6 = 18` и `d_9 - d_8 = 17`.



@темы: Теория чисел

02:49 

Целое число

wpoms.
Step by step ...


Действительное число `x` удовлетворяет условиям: `(x^2 - x)` - целое число и, для некоторого `n >= 3`, `(x^n - x)` - целое число. Докажите, что `x` - целое число.



@темы: Теория чисел

23:45 

Покрытие

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что диск радиуса `2` может быть покрыт семью (возможно перекрывающимися) дисками радиуса `1`.



@темы: Множества, Планиметрия

11:25 

Предновогодняя задачка

wpoms.
Step by step ...



Удержите непривязанную козу с помощью собак в треугольнике

Известны длины сторон треугольника, высота прыжка козы, скорость перемещения козы и максимальное время движения с этой скоростью, скорость перемещения собаки и максимальное время движения с этой скоростью. В начальный момент времени коза находится в произвольной внутренней точке треугольника. Собак нужно привязывать на веревке к колышку или к кольцам на веревках, привязанных к колышкам и аналогичным конструкциям. На рисунке ниже приведено очевидное решение задачи с бесконечным количеством собак.



Чему равно минимальное количество собак, способных удержать козу в треугольнике, и каким образом их нужно привязать?

@темы: Про самолеты, Праздники, Головоломки и занимательные задачи

00:56 

Куб числа

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что целое число вида `bar{xyxy}` в системе счисления с основанием `10`, где `x` и `y` - некоторые цифры, не может быть кубом целого числа.
Найдите наименьшее основание системы счисления `b > 1`, для которого существует куб целого числа вида `bar{xyxy}` в системе счисления с основанием `b`.



@темы: Теория чисел, Школьный курс алгебры и матанализа

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная