• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
00:42 

Найти число

wpoms.
Step by step ...


Из множества целых чисел от `1` до `n` удалено одно число. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно `40 3/4`. Какое число было удалено?



@темы: Прогрессии

02:03 

Студентам для тренировки

wpoms.
Step by step ...


В трехмерном евклидовом пространстве обозначим `u_1, u_2, u_3` три ортогональных единичных вектора направленных вдоль осей `x, y, z` соответственно.
а) Покажите, что точка `P(t) = (1 - t)*u_1 + (2 - 3*t)*u_2 + (2*t - 1)*u_3`, где `t` принимает все действительные значения, описывает прямую (которую мы обозначим через `L`).
б) Что описывает точка `Q(t) = (1 - t^2)*u_1 + (2 - 3*t^2)*u_2 + (2*t^2 - 1)*u_3`, если `t` принимает все действительные значения?
в) Найти вектор параллельный `L`.
г) При каких значениях `t` точка `P(t)` принадлежит плоскости `2*x + 3*y + 2*z + 1 = 0`?
д) Найти декартово уравнение плоскости, параллельной последней и содержащей точку `P(3)`.
е) Найти декартово уравнение плоскости, перпендикулярной `L` и содержащей точку `P(2)`.



@темы: Аналитическая геометрия

23:21 

Минимальный путь

wpoms.
Step by step ...


На координатной плоскости имеем точки `P(8; 2)` и `Q(5; 11)`. Рассмотрим путь от `P` до `Q`, который должен удовлетворять следующим условиям:
- от точки `P` движемся в точку на оси `Ox`, имеющую координату `0 <= x <= 1`;
- от этой точки движемся в точку на оси `Oy`, имеющую координату `0 <= y <= 2`;
- от последней точки движемся к точке `Q`.
Среди всевозможных таких путей, определить путь минимальной длины и найти её.



@темы: Задачи на экстремум, Аналитическая геометрия

21:20 

Треугольник

wpoms.
Step by step ...


Имеем равносторонний треугольник с высотой равной `1`. Для любой точки `P` внутри треугольника обозначим через `x, y, z` расстояния до сторон.
а) Докажите, что для любой точки `P` выполнено равенство `x + y + z = 1`.
б) Укажите, для каких точек расстояние до одной их сторон больше, чем сумма до двух других.
в) Отрезок длины `1` случайным образом делим на три части. С какой вероятностью из полученных частей можно составить треугольник.



@темы: Теория вероятностей, Планиметрия

16:37 

Векторное пространство

wpoms.
Step by step ...


Рассматривается множество многочленов не выше четвёртой степени с рациональными коэффициентами:
а) покажите, что множество является векторным пространством над полем рациональных чисел;
б) покажите, что многочлены `1, \ x - 2, \ (x - 2)^2 , \ (x - 2)^3, \ (x - 2)^4` образуют базис оного пространства;
в) разложите многочлен `7 + 2*x - 45*x^2 + 3*x^4` по означенному базису.



@темы: Теория многочленов, Векторная алгебра

20:37 

Корона

wpoms.
Step by step ...


Даны две концентрические окружности `C` и `C'` радиусов `r` и `r'` соответственно. Определите отношение радиусов `{r'}/r`, при котором в кольце, ограниченном `C` и `C'`, можно расположить окружности `C_1, ldots , C_8`, которые касаются `C` и `C'`, а также `C_i` касается `C_{i+1}` и `C_8` касается `C_1`.



@темы: Планиметрия

20:53 

Предел

wpoms.
Step by step ...


В комплексной плоскости задана последовательность:
`a_0 = 1, \ & \ a_n = a_{n-1}+1/n (cos45^@ + i*sin45^@)^n.`
Докажите, что последовательность действительных частей элементов последовательности `{a_n}` сходится и ее предел представляет собой число от `0.85` до `1.15`.



@темы: Комплексные числа, Пределы

22:18 

Система из трёх уравнений и одного неравенства

wpoms.
Step by step ...


Найдите все решения системы их трёх линейных уравнений и одного линейного неравенства
`{(2*x - 5*y + 11*z - 6 = 0), (-x + 3*y - 16*z + 8 = 0), (4*x - 5*y - 83*z + 38 = 0), (3*x + 11*y - z + 9 > 0):},`



@темы: Системы линейных уравнений

01:46 

Минимальный элемент

wpoms.
Step by step ...


Определите минимальный элемент последовательности `a_n = 1/4 * n^4 - 10*n^2*(n - 1)`, где `n = 0, 1, 2, ldots`



@темы: Задачи на экстремум

22:11 

Разбиваемые числа

wpoms.
Step by step ...


Пусть `p` - простое число, `n` - натуральное число и `T = {1, 2, 3,..., n}`. Назовем `n` `p`-разбиваемым, если существует `p` непустых подмножеств `T_1`, `T_2`, ... , `T_p` множества `T`, удовлетворяющих условиям:
(i) `T = T_1 uu T_2 uu ...uu T_p`;
(ii) `T_1,T_2,... ,T_p` - неперескающиеся (т.е. `T_i nn T_j` - пустое множество для всех `i, j`, `i != j`), и
(iii) сумма элементов `T_i` одна и та же для `i = 1, 2,... ,p`.
[Например, , `5` является `3`-разбиваемым, т.к. можно выбрать множества `T_1 = {1, 4}`, `T_2 = {2, 3}`, `T_3 = {5}`, удовлетворяющие (i), (ii) and (iii). Аналогично, `6` является `3`-разбиваемым, т.к. можно выбрать множества `T_1 = {1, 6}`, `T_2 = {2, 5}`, `T_3 = {3,4}`, удовлетворяющие (i), (ii) and (iii).]
(a) Предположим, что `n` является `p`-разбиваемым. Докажите, что `p` делит `n` или `n + 1`.
(b) Предположим, что `n` делится на `2*p`. Докажите, что `n` является `p`-разбиваемым.



@темы: Множества, Теория чисел

19:47 

Количество элементов

wpoms.
Step by step ...


Множество `S` состоит из натуральных чисел `n`, удовлетворяющих условиям:
(i) `n` является `1000`-значным числом;
(ii) все цифры `n` нечетны, и
(iii) модуль разности между соседними цифрами `n` равен `2`.
Определите количество различных элементов в `S`.



@темы: Комбинаторика

17:39 

Подмножество

wpoms.
Step by step ...


`A` - подмножество `{0, 1, 2, 3,..., 1997}`, состоящее более чем из `1000` элементов. Докажите, что либо `A` содержит степень `2` (число, которое можно представить в виде `2^k`, где `k` - неотрицательное целое), либо существуют два различных элемента `a, b in A`, сумма которых `a + b` является степенью `2`.



@темы: Множества, Теория чисел

01:45 

Длина стороны

wpoms.
Step by step ...


Четырехугольник `ABCD` описан около окружности `Gamma` (т.е., каждая сторона четырехугольника касается `Gamma`.)
Пусть `/_A = /_B = 120^@`, `/_D = 90^@` и длина `BC` равна `1`. Найдите, с доказательством, длину `AD`.



@темы: Планиметрия

20:13 

Обильные числа

wpoms.
Step by step ...


Для натурального числа `n` обозначим `sigma(n)` сумму всех натуральных чисел, которые делят `n`. [Например, `sigma(3) = 1 + 3 = 4`, `sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6= 12`, `sigma(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6+12 = 28`].
Назовем `n` обильным, если `sigma(n) > 2n`. (Так, например, `12` - обильно).
Даны натуральные `a`, `b` и известно, что `a` обильно. Докажите, что `a*b` тоже обильно.



@темы: Теория чисел

23:42 

Бинарная операция

wpoms.
Step by step ...


Пусть `S` будет множеством всех нечетных целых чисел, больших единицы. Для каждого `x in S` обозначим `delta(x)` единственное целое число, удовлетворяющее неравенству `2^(delta(x)) < x < 2^(delta(x)+1)`.
Для `a,b in S` определим операцию `a otimes b = 2^{delta(a)-1}*(b - 3) + a`. [Например, для вычисления `5 otimes 7` заметим, что `2^2 < 5 < 2^3`, поэтому `delta(5) = 2`, и тем самым `5 otimes 7 = 2^(2-1)(7 - 3) + 5 = 13`. Аналогично `2^2 < 7 < 2^3`, поэтому `delta(7) = 2` и `7 otimes 5 = 2^(2-1)(5 - 3) + 7 = 11`].
Докажите, что для всех `a, b, c in S` выполняется
(a) `a otimes b in S` и
(b) `(a otimes b) otimes c = a otimes ( b otimes c)`.



@темы: Высшая алгебра

20:50 

Нестрогое неравенство

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a`, `b` и `c` - неотрицательные действительные числа, для которых выполняется неравенство `a + b + c >= a*b*c`. Докажите, что `a^2 + b^2 + c^2 >= a*b*c`.



@темы: Доказательство неравенств

22:11 

Уравнение для многочленов

wpoms.
Step by step ...


Найдите все многочлены `p`, удовлетворяющие уравнению `(x - 16)*p(2*x) = 16*(x - 1)*p(x)` для всех `x`.



@темы: Теория многочленов

01:12 

ГМТ

wpoms.
Step by step ...


Точка `M` находится внутри равностороннего треугольника `ABC`. Точки `D`, `E`, `F` являются основаниями перпендикуляров, опущенных из `M` на `BC`, `CA`, `AB`, соответственно. Найдите геометрическое место всех точек `M`, для которых `/_FDE` является прямым.



@темы: Планиметрия

22:57 

Уравнение

wpoms.
Step by step ...


Найдите, с доказательством, все пары целых чисел `(x, y)`, удовлетворяющих уравнению `1 + 1996*x + 1998*y = x*y`.



@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

19:08 

Единственная

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что существует единственная функция `f: NN to NN` такая, что равенство

`f (a + b)f (a - b) = f (a^2)`

выполняется для всех `a, b in NN`, `a>b`.



@темы: Функции

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная