• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
01:45 

Длина стороны

wpoms.
Step by step ...


Четырехугольник `ABCD` описан около окружности `Gamma` (т.е., каждая сторона четырехугольника касается `Gamma`.)
Пусть `/_A = /_B = 120^@`, `/_D = 90^@` и длина `BC` равна `1`. Найдите, с доказательством, длину `AD`.



@темы: Планиметрия

20:13 

Обильные числа

wpoms.
Step by step ...


Для натурального числа `n` обозначим `sigma(n)` сумму всех натуральных чисел, которые делят `n`. [Например, `sigma(3) = 1 + 3 = 4`, `sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6= 12`, `sigma(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6+12 = 28`].
Назовем `n` обильным, если `sigma(n) > 2n`. (Так, например, `12` - обильно).
Даны натуральные `a`, `b` и известно, что `a` обильно. Докажите, что `a*b` тоже обильно.



@темы: Теория чисел

23:42 

Бинарная операция

wpoms.
Step by step ...


Пусть `S` будет множеством всех нечетных целых чисел, больших единицы. Для каждого `x in S` обозначим `delta(x)` единственное целое число, удовлетворяющее неравенству `2^(delta(x)) < x < 2^(delta(x)+1)`.
Для `a,b in S` определим операцию `a otimes b = 2^{delta(a)-1}*(b - 3) + a`. [Например, для вычисления `5 otimes 7` заметим, что `2^2 < 5 < 2^3`, поэтому `delta(5) = 2`, и тем самым `5 otimes 7 = 2^(2-1)(7 - 3) + 5 = 13`. Аналогично `2^2 < 7 < 2^3`, поэтому `delta(7) = 2` и `7 otimes 5 = 2^(2-1)(5 - 3) + 7 = 11`].
Докажите, что для всех `a, b, c in S` выполняется
(a) `a otimes b in S` и
(b) `(a otimes b) otimes c = a otimes ( b otimes c)`.



@темы: Высшая алгебра

20:50 

Нестрогое неравенство

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a`, `b` и `c` - неотрицательные действительные числа, для которых выполняется неравенство `a + b + c >= a*b*c`. Докажите, что `a^2 + b^2 + c^2 >= a*b*c`.



@темы: Доказательство неравенств

22:11 

Уравнение для многочленов

wpoms.
Step by step ...


Найдите все многочлены `p`, удовлетворяющие уравнению `(x - 16)*p(2*x) = 16*(x - 1)*p(x)` для всех `x`.



@темы: Теория многочленов

01:12 

ГМТ

wpoms.
Step by step ...


Точка `M` находится внутри равностороннего треугольника `ABC`. Точки `D`, `E`, `F` являются основаниями перпендикуляров, опущенных из `M` на `BC`, `CA`, `AB`, соответственно. Найдите геометрическое место всех точек `M`, для которых `/_FDE` является прямым.



@темы: Планиметрия

22:57 

Уравнение

wpoms.
Step by step ...


Найдите, с доказательством, все пары целых чисел `(x, y)`, удовлетворяющих уравнению `1 + 1996*x + 1998*y = x*y`.



@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

19:08 

Единственная

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что существует единственная функция `f: NN to NN` такая, что равенство

`f (a + b)f (a - b) = f (a^2)`

выполняется для всех `a, b in NN`, `a>b`.



@темы: Функции

16:10 

В четырёхугольнике

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим четырехугольник `ABCD`, вписанный в окружность и описанный около окружности (имеющий вписанную и описанную окружности).

Стороны `AD` и `BC` касаются вписанной окружности в точках `E` и `F` соответственно. Докажите, что `AE times FC = BF times ED`.



@темы: Планиметрия

13:51 

Обильные числа

wpoms.
Step by step ...


Натуральное число `n` назовем обильным, если сумма его делителей превосходит `2*n`. Например, `18` обильно, потому что сумма его делителей `1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18` больше, чем `36`. Выпишите все четные числа, большие `46`, которые представимы в виде суммы двух обильных чисел.



@темы: Теория чисел

21:04 

Лампочки

wpoms.
Step by step ...


На распределительном щите имеется `a` строк с выключателями по `b` выключателей в каждой (`a` строк и `b` столбцов), каждый выключатель соединен с лампочкой в одном из домов. При нажатии выключателя, соответствующего некоторому дому, вместе с лампочкой данного дома изменяют состояния лампочки домов, стоящих в одной строке и одном столбце с данной (включенные, гаснут, выключенные загораются).
Для каких величин `a` и `b` возможна ситуация, в которой после серии переключений окажется включена только одна лампочка?



@темы: Математическая логика, Дискретная математика

00:31 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим треугольники `ABC` и `EDC`, у которых, соответственно, углы `A` и `D` прямые (см. рисунок). Докажите, что если `E` является серединой стороны `AC`, то `AB < BD`.




@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

11:48 

Считалка

wpoms.
Step by step ...


В очереди на концерт группы Супер Рок Поп стояло 2005 человек. Чтобы выбрать трех человек, которым выпадет честь побывать за кулисами, придумали следующую считалку. Первый человек должен сказать "Супер", второй — "Рок", третий — "Поп", четвертый — "Супер", пятый — "Рок", шестой — "Поп", и т.д. Те, кто говорят "Рок" и "Поп", выходят сразу. Считалка повторяется до тех пор, пока не останутся только три человека. Какие номера были у этих людей в исходной очереди?



@темы: Теория чисел

21:20 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для всех положительных действительных чисел `x`, `y` и `z` выполнено неравенство `4(x + y + z)^3 > 27(x^2y + y^2z + z^2x)`.



@темы: Доказательство неравенств

19:53 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Целое число `x` не меньше `3` и пусть `n = x^6 - 1`. Пусть `p` - простое число и `k` - натуральное число, такое что `p^k` является делителем `n`. Покажите, что `p^{3k} < 8n`.



@темы: Теория чисел, Доказательство неравенств

03:59 

Углы

wpoms.
Step by step ...


В треугольнике `ABC` точка `G` - пересечения медиан, а точка `D` - середина `CA`. Прямая, проходящая через `G` параллельно `BC`, пересекает `AB` в точке `E`. Докажите, что `/_AEC = /_DGC` тогда и только тогда, когда `/_ACB = 90^@`.



@темы: Планиметрия

00:24 

Дети

wpoms.
Step by step ...


В математическом лагере `2010^2010` детей. Каждый имеет в лагере не более трех друзей и, если `A` дружит с `B`, то `B` дружит с `A`. Начальник лагеря хочет построить детей в ряд, так чтобы между любой парой друзей стояло не более `2010` детей. Всегда ли это можно сделать?



@темы: Дискретная математика

01:28 

Карта сокровищ

wpoms.
Step by step ...


Длинный Джон Силверман похитил карту сокровищ у Адама МакБонес. Адам закопал сокровища в точке `(x, y)` с целыми координатами (не обязательно положительными). Он указал на карте значения `x^2 + y` и `x + y^2` и эти числа различны. Докажите, что есть единственное место, в котором Длинный Джон должен копать для того, чтобы найти сокровища.



@темы: Системы НЕлинейных уравнений

01:39 

Уравнение

wpoms.
Step by step ...


Найдите все функции `f`, определенные на множестве действительных чисел и принимающие действительные значения, которые удовлетворяют уравнению `f(x)f(y) = f(x + y) + xy` для всех действительных чисел `x` и `y`.



@темы: Функции

01:55 

Доказать равенство

wpoms.
Step by step ...


Две окружности разных радиусов с центрами в точках `B` и `C` касаются внешним образом в точке `A`. Общая касательная, не проходящая через `A`, касается первой окружности в точке `D` и второй окружности в точке `E`. Прямая, проходящая через `A` и перпендикулярная `DE`, пересекается с серединным перпендикуляром к `BC` в точке `F`. Докажите, что `BC = 2AF`.



@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная