Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
23:45 

Покрытие

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что диск радиуса `2` может быть покрыт семью (возможно перекрывающимися) дисками радиуса `1`.



@темы: Множества, Планиметрия

11:25 

Предновогодняя задачка

wpoms.
Step by step ...



Удержите непривязанную козу с помощью собак в треугольнике

Известны длины сторон треугольника, высота прыжка козы, скорость перемещения козы и максимальное время движения с этой скоростью, скорость перемещения собаки и максимальное время движения с этой скоростью. В начальный момент времени коза находится в произвольной внутренней точке треугольника. Собак нужно привязывать на веревке к колышку или к кольцам на веревках, привязанных к колышкам и аналогичным конструкциям. На рисунке ниже приведено очевидное решение задачи с бесконечным количеством собак.



Чему равно минимальное количество собак, способных удержать козу в треугольнике, и каким образом их нужно привязать?

@темы: Про самолеты, Праздники, Головоломки и занимательные задачи

00:56 

Куб числа

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что целое число вида `bar{xyxy}` в системе счисления с основанием `10`, где `x` и `y` - некоторые цифры, не может быть кубом целого числа.
Найдите наименьшее основание системы счисления `b > 1`, для которого существует куб целого числа вида `bar{xyxy}` в системе счисления с основанием `b`.



@темы: Теория чисел, Школьный курс алгебры и матанализа

01:27 

Площадь треугольника

wpoms.
Step by step ...


Расстояния от точки `P`, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его вершин равны `3`, `4` и `5`. Найдите площадь треугольника.



@темы: Планиметрия

12:49 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что для ненулевых действительных чисел `x` выполняется неравенство `x^8 - x^5 - 1/x + 1/(x^4) >= 0`.



@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

22:34 

Лотерея

wpoms.
Step by step ...


На каждой карточке лотереи "Neuro-Million" написаны числа от 1 до 36. Ставка заключается в выборе 6 из этих 36 чисел. Перед началом розыгрыша выбираются 6 чисел-ключей из этих 36. Ставка выигрывает, если ни одно из отмеченных чисел не совпадает с числом-ключом. Сколько, по крайней мере, нужно сделать ставок, чтобы гарантированно выиграть?



@темы: Комбинаторика

20:24 

Делители

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа n, такие что натуральные делители числа n составляют ровно одну пятую от натуральных чисел 1, 2, ... , n.



@темы: Теория чисел

15:46 

wpoms.
Step by step ...


1. В треугольнике ABC, AB > AC, продолжение высоты AD, где точка D лежит на BC, пересекает описанную окружность треугольника ABC `\omega` в точке P. Окружность, проходящая через точку P и касающаяся BC в точке D, пересекает `\omega` в точке Q отличной от P, при этом PQ = DQ. Докажите, что AD = BD - DC.

2. Найдите все пары целых чисел (m,n) таких, что `m^3-n^3=2mn+8`.

3. `b_1, b_2, ...` - последовательность положительных действительных чисел таких, что для всех натуральных `n \ge 1` выполняется условие
`b_{n+1}^2 \ge b_1^2/1^3 + b_2^2/2^3 + ... b_n^2/n^3`.
Покажите, что существует натуральное число M такое, что
`sum_{n=1}^M b_{n+1}/(b_1+b_2+...+b_n) > 2013/1013`.

4. В массиве 6x6,
2 0 1 0 2 0
0 2 0 1 2 0
1 0 2 0 2 0
0 1 0 2 2 0
1 1 1 1 2 0
0 0 0 0 0 0
можно выбрать подмассив размером k x k, 1 < k < 6, и добавить 1 ко всем его элементам. Возможно ли за конечное количество подобных операций добиться того, чтобы все элементы массива стали кратны 3?

5. Даны различные действительные x, у такие, что `(x^n-y^n)/(x-y)` является целым числом для четырех последовательных натуральных n. Докажите, что `(x^n-y^n)/(x-y)` является целым числом для всех натуральных n.



@темы: Планиметрия, Дискретная математика, Теория чисел

20:56 

В параллелограмме

wpoms.
Step by step ...


Дан параллелограмм ABCD, E - середина стороны AD и F - проекция точки B на отрезок CE. Докажите, что треугольник ABF является равнобедренным.




@темы: Планиметрия

15:34 

Сломалась упаковочная машина

wpoms.
Step by step ...


Упаковочная машина расфасовывает бобы в равных количествах по пакетам, в дальнейшем эти пакеты упаковываются в равных количествах в ящики, которые отгружаются заказчикам. Однажды упаковочная машина сломалась и оставила первые n пакетов пустыми, в следующие n пакетов она упаковала по 1 бобу, в следующие n пакетов по 2 боба и т.д., в последние n пакетов она упаковала 2006 бобов. Для обеспечения отгрузки продукции заказчикам эти пакеты были распределены по 2007 ящикам, так чтобы в каждом ящике было одинаковое количество пакетов и зерен. Для каких n это возможно сделать?



@темы: Теория чисел

22:20 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Дан равносторонний треугольник ABC, D - середина стороны AC, E - проекция D на сторону CB и F - середина отрезка DE. Докажите, что FB и AE взаимно перпендикулярны.




@темы: Планиметрия

17:53 

Длина поезда

wpoms.
Step by step ...


Александр и Геркулес находятся на станции Campanha в ожидании поезда. Чтобы развлечь себя, они решили вычислить длину грузовых поездов, проходящих через станцию с постоянной скоростью. Когда передняя часть поезда проходит мимо них, Александр начинает идти в сторону движения поезда и Геркулес начинает идти в противоположном направлении. Они идут с одной и той же скоростью и каждый из них останавливается в тот момент, когда встречается с концом поезда. Александр прошел 45 метров и Геркулес прошел 30 метров. Чему равна длина поезда?



@темы: Текстовые задачи

21:27 

Свобода

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим множество `G`, которое состоит из точек плоскости `(x,y)` с целыми координатами `x` и `y`, удовлетворяющими неравенству `1 <= x,y <= 2011`. Подмножество `S` множества `G` назовем свободным от параллелограммов, если нет невырожденных параллелограммов, все вершины которых принадлежат `S`. Определите наибольший возможный размер свободного от параллелограммов подмножества множества `G`. (Параллелограмм является невырожденным, если его вершины не лежат на одной прямой)



@темы: Множества

19:50 

Функция натурального аргумента

wpoms.
Step by step ...


Функция `f`, определенная на множестве натуральных чисел, удовлетворяет условиям: `f(1) = 1`; `f(2n) = f(n)` , если `n` четное; `f(2n) = 2f(n)`, если `n` нечетное; `f(2n + 1) = 2f(n) + 1`, если `n` четное; `f(2n + 1) = f(n)`, если `n` нечетное. Найдите количество натуральных чисел `n`, которые меньше `2011` и для которых `f(n) = f(2011)`.



@темы: Функции

19:58 

Кратность

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа `x` и `y` такие, что `2xy` кратно `x + y + 1`, а `x^2 + y^2 - 1` кратно `x + y - 1`.



@темы: Теория чисел

03:03 

Расположение точек

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` и точка `X` внутри него. Прямые `AX`, `BX` и `CX` пересекают окружность `ABC` в точках `P`, `Q` и `R`, соответственно. Точка `U` выбрана на `XP` и лежит между `X` и `P`. Проведем через точку `U` прямые параллельные `AB` и `CA`, которые пересекают `XQ` и `XR` в точках `V` и `W`, соответственно. Докажите, что точки `R`, `W`, `V` и `Q` лежат на одной окружности.



@темы: Планиметрия

21:02 

Стороны треугольника

wpoms.
Step by step ...


Длины сторон треугольника равны `a`, `b` и `c`. Известно, что `ab + bc + ca = 1`. Покажите, что `(a + 1)(b + 1)(c + 1) < 4`.



@темы: Планиметрия

17:56 

Окружности

wpoms.
Step by step ...


Окружности `S_1` и `S_2` пересекаются в точках `L` и `M`. Точка `P` лежит на окружности `S_2`. Прямые `PL` и `PM` пересекают `S_1` в точках `Q` и `R`, соответственно. Прямые `QM` и `RL` пересекаются в точке `K`. Покажите, что, при перемещении `P` по окружности `S_2`, точка `K` описывает дугу некоторой окружности.



@темы: Планиметрия

23:50 

Шашки

wpoms.
Step by step ...


У Исаака есть большое количество шашек и он помещает по одной шашке в каждую клетку шахматной доски размером `8 xx 8`. Шашки имеют красный, белый или синий цвет. Назовем размещением конкретное расположение цветных шашек. Определите, каких размещений больше, с четным или нечетным количеством красных шашек.



@темы: Комбинаторика

20:57 

Три точки на прямой

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` с прямым углом `/_CAB`. Точка `L` лежит на прямой `BC` между `B` и `C`. Окружность `ABL` пересекает прямую `AC` в точках `A` и `M`, окружность `CAL` пересекает прямую `AB` в точках `A` и `N`. Докажите, что `L`, `M` и `N` лежат на прямой.



@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная