Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
08:17 

Геометрия. Задачи повышенной сложности

wpoms.
Step by step ...


Прасолов В.В. Геометрия. Задачи повышенной сложности. 7 класс : учеб. пособие для общеобразоват. организаций / В. В. Прасолов. — М. : Просвещение, 2019. — 80 с. : ил.

Книга содержит задачи повышенной сложности по геометрии для учащихся 7 класса. Каждая глава начинается с перечисления основных фактов и понятий, относящихся к этому разделу. Затем разбираются решения нескольких наиболее типичных задач повышенной сложности. Далее приводятся задачи для самостоятельного решения. Решать задачи учащимся рекомендуется именно в предлагаемой последовательности, так как такой порядок нацелен на постепенное формирование умения решать задачи. В конце пособия приведены ответы и ко всем задачам даны указания. Книга может быть полезной как для учителей, так и для учащихся, которые хотят повысить свой уровень или подготовиться к математической олимпиаде, уровень которой ниже уровня заключительного этапа Всероссийской олимпиады.

Прасолов В.В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7-9 классы : учеб. пособие для общеобразоват. организаций / В. В. Прасолов. — М. : Просвещение, 2019. — 239 с. : ил.

P.S. Вторую книгу в сети в электронной форме еще не видел.

Бонус

@темы: Литература, Планиметрия

11:01 

Максимум

wpoms.
Step by step ...


(a) Найдите максимум $M$ выражения $x + y + z$, где $x, y$ и $z$ --- положительные действительные числа, удовлетворяющие $16xyz = (x + y)^2(x + z)^2.$
(b) Докажите, что существует бесконечно много троек $(x, y, z)$ положительных рациональных чисел таких, что $16xyz = (x + y)^2(x + z)^2$ и $x + y + z = M.$



@темы: Задачи на экстремум, Функции нескольких переменных

19:01 

Скажи квадратам "нет"

wpoms.
Step by step ...


Дана последовательность $(a_n)_{n \geq 0}$ рациональных чисел такая, что $a_0 = 2016$ и $a_{n+1} = a_n + \frac{2}{a_n}$ для всех $n \geq 0.$
Покажите, что последовательность не содержит квадратов рациональных чисел.



@темы: Теория чисел

19:41 

Ожерелье

wpoms.
Step by step ...


Ожерелье содержит 2016 жемчужин, каждая из которых окрашена в один из цветов --- чёрный, зёленый или синий.
На каждом шаге мы заменяем одновременно каждую жемчужину новой, цвет которой определяется так: если у жемчужины оригинальные соседи были одного цвета, то новая жемчужина получает их цвет, если соседи были двух разных цветов, новая жемчужина выбирается третьего цвета.
(a) Есть ли такое ожерелье, которое может быть с помощью таких шагов преобразовано в ожерелье с синими жемчужинами, если вначале одна половина жемчужин была чёрной, а вторая половина --- зелёной?
(b) Есть ли такое ожерелье, которое может быть с помощью таких шагов преобразовано в ожерелье с синими жемчужинами, если вначале 1000 жемчужин были чёрными, а остальные --- зелёными?
(c) Возможно ли преобразовать ожерелье, в котором ровно две чёрные, соседние, жемчужины, а остальные 2014 --- синие, в ожерелье, в котором одна зелёная жемчужина и 2015 синих жемчужин?



@темы: Дискретная математика

21:29 

Функции

wpoms.
Step by step ...


Дано действительное число `a`. Найдите все функции `f : RR -> RR` такие, что `f(f(x + y) * f(x - y)) = x^2 + a * y * f(y)` для всех `x, y \in RR`.



@темы: Функции, Задачи с параметром

12:04 

Тузы в колоде

wpoms.
Step by step ...


Колоду из `n` игральных карт, содержащую три туза, перетасовали случайным образом (предполагается, что любой порядок карт в колоде является равновозможным). Затем карты выкладывают по одной до появления второго туза. Докажите, что ожидаемое (среднее) количество выложенных карт равно `(n + 1)/2`.



@темы: Комбинаторика, Теория вероятностей

10:23 

Построение

wpoms.
Step by step ...


Две окружности пересекаются в точках `P` и `Q`. Покажите как построить отрезок `AB` с концами на разных окружностях, проходящий через точку `P`, такой что `AP * PB` имеет максимальное значение.




@темы: Планиметрия

15:41 

Опрос

wpoms.
Step by step ...
Пишет All_ex:
31.03.2019 в 12:26



Весёлый конкурс... и группа у них весёлая...


URL комментария

Вопрос: Один из мостов в Пекине помогает не забыть
1. Теорему Ролля о стационарной точке 
0  (0%)
2. Теорему Лагранжа о среднем значении 
10  (55.56%)
3. Теорему Коши о среднем значении 
1  (5.56%)
4. Ой! Знакомые буковки :) 
5  (27.78%)
5. Трудно сказать без знания китайского языка 
2  (11.11%)
Всего: 18

@темы: Интересное в @дневниках

09:59 

Математический конкурс в ЮУрГУ

wpoms.
Step by step ...
Математический конкурс в ЮУрГУ

Сайт: vk.com/konkursinsusu
Организатор: А. Эвнин

Задания конкурса № 61

Задача 361. [Угол падения...] Пусть D - середина гипотенузы ВС прямоугольного треугольника ABC. На катете АС выбрана такая точка М, что угол AMB равен углу CMD. Вычислите отношение BM/MD.

читать дальше

Условие в формате pdf смотрите на указанном выше сайте.

Эвнин А.Ю. Математический конкурс в ЮУрГУ 2012-2016 гг. Сборник задач. — Челябинск: Южно-Уральский государственный университет (ЮУрГУ), 2017. — 176 с.
читать дальше

@темы: Литература, Олимпиадные задачи

10:37 

Досрочный экзамен 29 марта 2019 года

wpoms.
Step by step ...
Досрочный экзамен 29 марта 2019 года

13.1 а) Решите уравнение `2log^2_2(2cos x) -9log_2(2cos x) + 4 = 0.`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-2pi; -pi/2].`

13.2 а) Решите уравнение `log^2_4(4cos x) -7log_2(2cos x) + 3 = 0.`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[pi/2; 2pi].`

14.1 Дана пирамида `SABC,` в которой `SC = SB = AB = AC = sqrt(17),` `SA = BC = 2sqrt(5).`
а) Докажите, что ребро `SA` перпендикулярно ребру `BC.`
б) Найдите расстояние между ребрами `BC` и `SA.`

15.1 Решите неравенство `(9^x+2*3^x-117)/(3^x-27) <= 1.`

15.2 Решите неравенство `(2^(x+1)-17*2^(2-x))/(2^x-2^(6-x)) >= 1.`

16.1 Дана трапеция `ABCD` с основаниями `BC` и `AD.` Точки `M` и `N` являются серединами сторон `AB` и `CD` соответственно. Окружность, проходящая через точки `B` и `C,` пересекает отрезки `BM` и `CN` в точках `P` и `Q` (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки `M ,` `N ,` `P` и `Q` лежат на одной окружности.
б) Найдите `QN,` если прямая `DP` перпендикулярна `CP` и `AB = 26,` `BC = 4,5,` `CD = 25,` `AD = 21,5.`

17.1 В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере `S` млн рублей, где `S` — целое число. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей
Месяц и год / Июль 2019 / Июль 2020 / Июль 2021 / Июль 2022
Долг (в млн рублей) / `S` / `0,7S` / `0,3S` / 0
Найдите наименьшее `S,` при котором каждая из выплат будет больше 3 млн. рублей.

17.2 В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере `S` млн рублей, где `S` — целое число. Условия его возврата таковы:
− 15-го января долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− 15-го июля каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей
Месяц и год / Июль 2019 / Июль 2020 / Июль 2021 / Июль 2022
Долг (в млн рублей) / `S` / `0,8S` / `0,4S` / 0
Найдите наибольшее `S,` при котором каждая из выплат будет меньше 7 млн. рублей.

18.1 Найдите все значения `a,` , при каждом из которых наименьшее значение функции
`f(x) = x-2|x|+|x^2-2(a+1)x+a^2+2a|`
больше –4.

18.2 f(x) = 3|x+a| + |x^2 - x + 2|. Найти а, при каждом из которых минимальное значение f(x) меньше 2

19.1 Вася и Петя решали каждый день задачи из сборника задач, причем каждый следующий день Вася решал на 1 задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на 2 задачи больше. В первый день они решили каждый хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что в первый день Вася решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день Вася решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше чем другой?

@темы: ЕГЭ

13:54 

IV Кавказская олимпиада

wpoms.
Step by step ...
IV Кавказская олимпиада

Задачи, решения, результаты: cmo.adygmath.ru

@темы: Олимпиадные задачи

13:16 

Значение многочлена

wpoms.
Step by step ...


Пусть $P(x)$ - многочлен степени $n$ такой, что $P(k)=\frac{k}{k+1}$ для $k=0,1,2,\ldots,n$. Вычислите $P(n+1)$.



@темы: Теория многочленов

10:53 

Четыре точки

wpoms.
Step by step ...


Пусть $A,B,C,D$ обозначают четыре точки в пространстве, а $AB$ - расстояние между точками $A$ и $B,$ и так далее. Покажите, что $AC^2 + BD^2 + AD^2 + BC^2 \ge AB^2 + CD^2.$



@темы: Стереометрия

17:40 

Неравенство и факториалы

wpoms.
Step by step ...


(a) Докажите, что $[5x]+[5y]\ge [3x+y]+[3y+x],$ где $x,y\ge 0$, а $[u]$ обозначает наибольшее целое число, которое не превосходит $u$ (например, $[\sqrt{2}]=1$).

(b) Используя (a) или что-либо другое, докажите, что $\frac{(5m)!(5n)!}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}$ является целым для любых натуральных $m$ и $n$.



@темы: Доказательство неравенств, Теория чисел

21:30 

Геометрия на комплексной плоскости

wpoms.
Step by step ...


Попарно различные комплексные числа `z_1, z_2, z_3` удовлетворяют `|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1` и
`1/(2 + |z_1 + z_2|) + 1/(2 + |z_2 + z_3|) + 1/(2 + |z_3 + z_1|) = 1`.
Точки `A(z_1), B(z_2), C(z_3)` -- вершины остроугольного треугольника. Докажите, что этот треугольник является равносторонним.



@темы: Комплексные числа

22:08 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a,b,c > 0` и `a*b + b*c + c*a + 2*a*b*c = 1`. Докажите, что `2*(a + b + c) + 1 \geq 32*a*b*c`.



@темы: Доказательство неравенств

20:50 

Отношение площадей

wpoms.
Step by step ...


В треугольнике `ABC` высота, опущенная из вершины `A`, пересекает описанную около него окружность с центром в точке `O` повторно в точке `T`. Прямые `OA` и `OT` пересекают сторону `BC` в `Q` и `M` соответственно.
Докажите, что `(S_{AQC})/(S_{CMT}) = ( (sin B)/(cos C) )^2`.



@темы: Планиметрия

21:32 

Romanian Master of Mathematics 2019

wpoms.
Step by step ...
rmms.lbi.ro/rmm2019/index.php?id=home - задачи, результаты

PosCountryTotalPrize
1 USA117First + Trophy
2 KOR107Second
3 SRB107Second
4 ISR105Third
5 RUS104
6 CHN101


1. A и B играют в игру. Вначале A пишет на доске положительное целое число. Затем игроки ходят по очереди, B ходит первым. Делая свой ход B заменяет число $n,$ написанное в этот момент на доске, на число вида $n-a^2$, где $a$ --- положительное целое число. Делая свой ход A заменяет $n,$ написанное в этот момент на доске, на число вида $n^k$, где $k$ --- положительное целое число. B выигрывает, если ему удается написать на доске число ноль. Может ли A помешать B выиграть?

2. Дана равнобедренная трапеция $ABCD,$ $AB\parallel CD$. Пусть $E$ --- середина $AC$. Пусть $\omega$ --- описанная окружность треугольника $ABE$, $\Omega$ --- $CDE$. Пусть $P$ --- точка пересечения прямой, касающейся $\omega$ в точке $A$, и прямой, касающейся $\Omega$ в точке $D$. Докажите, что $PE$ касается $\Omega$.

читать дальше

@темы: Олимпиадные задачи

01:41 

Факториалы

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа `m` такие, что `1! * 3! * 5! * ldots * (2m-1)! = (\frac{m(m+1)}{2})!`.



@темы: Теория чисел

00:11 

Последовательности и суммы

wpoms.
Step by step ...


Даны три последовательности неотрицательных действительных чисел `(a_0, a_1, \ldots, a_n)`, `(b_0, b_1, \ldots, b_{n})`, `(c_0, c_1, \ldots, c_{2n})` такие, что для всех `$0 \leq i,j \leq n` выполняется неравенство `a_i*b_j \leq (c_{i+j})^2`. Докажите, что
`\sum_{i=0}^n a_i \cdot \sum_{j=0}^n b_j \leq \left( \sum_{k=0}^{2n} c_k\right)^2`



@темы: Доказательство неравенств

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная