• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
18:00 

Игра

wpoms.
Step by step ...


Анна и Берта играют в игру, в которой нужно снимать камешки со стола.
Анна ходит первой. Пусть перед очередным ходом на столе лежат `n \geq 1` камешков, тогда делающий ход игрок снимает со стола `k` камешков, где `k \geq 1` либо четное и `k \leq \frac{n}{2}`, либо нечетное и `\frac{n}{2} \leq k \leq n`. Игрок выигрывает, если своим ходом она снимает со стола последний камень.
Найдите наименьшее `N \geq 100000` такое, что Берта может одержать победу, если на столе лежат ровно `N` камешков в начале игры.



@темы: Дискретная математика

18:06 

В пятиугольнике

wpoms.
Step by step ...


Дан правильный пятиугольник `ABCDE` с центром `M`. Точка `P \neq M` лежит на отрезке `MD`. Окружность, описанная около `ABP`, пересекает отрезок `AE` в точках `A` и `Q`, а так же пересекает прямую, проходящую через `P` перпендикулярно `CD`, в точках `P` и `R`. Докажите, что длины отрезков `AR` и `QR` равны.



@темы: Планиметрия

20:13 

wpoms.
Step by step ...


5519.
Даны три различных натуральных числа. Разрешается к любому из них прибавить наибольший общий делитель двух других. Можно ли за несколько таких операций сделать все числа равными?
%Ю.А. Игнатов (Тула)

читать дальше



@темы: Порешаем?!

12:45 

wpoms.
Step by step ...
Бураго А. Г. Дневник математического кружка: первый год занятий / Перевод с английского А. В. Абакумова. –– М.: МЦНМО, 2017. –– 368 с.

Книга содержит весь необходимый материал для проведения математического кружка в 5––7 классах в течение всего учебного года.
Приводятся подробно изложенные темы для обсуждения в классе, наборы задач с решениями, математические игры и конкурсы. Автор –– преподаватель математических кружков с многолетним стажем –– делится профессиональными навыками ведения кружка. Читатель найдёт в книге советы, как организовать занятие, преподнести материал и избежать типичных ошибок.
Книга адресована учителям и руководителям математических кружков. Также она будет интересна школьникам, увлекающимся математикой, и их родителям.

biblio.mccme.ru/node/5764 (265 руб.)

О новой книге

@темы: Литература

12:33 

wpoms.
Step by step ...
Игнатов Ю.А., Шулюпов В.А., Реброва И.Ю., Устян А.Е., Эвнин А.Ю. Всероссийские студенческие турниры математических боев. Тула, 2002-2015 гг. Часть 1 — Тула: ТГПУ, 2017. — 146 с.
Сборник задач проводившихся в Туле в 2002-2015 студенческих математических боёв. Включает также правила проведения, регламент турниров, сводку результатов.
Предназначен в помощь студентам и преподавателям для подготовки к математическим соревнованиям.

Игнатов Ю.А., Шулюпов В.А., Реброва И.Ю., Устян А.Е., Эвнин А.Ю. Всероссийские студенческие турниры математических боев. Тула, 2002-2015 гг.. Ч.2 — Тула: ТГПУ, 2017. — 148 с.
Сборник задач проводившихся в Туле в 2002-2015 студенческих математических боёв. Включает также правила проведения, регламент турниров, сводку результатов.
Предназначен в помощь студентам и преподавателям для подготовки к математическим соревнованиям.

Полистать можно на www.twirpx.com или либгене.

@темы: Литература

19:06 

И снова многочлены

wpoms.
Step by step ...


Найдите все многочлены $P(x) \in \R[x]$, удовлетворяющие двум условиям:
(a) $P(2017) = 2016$ и
(b) $(P(x) + 1)^2 = P(x^2 + 1)$ для всех действительных $x.$



@темы: Теория многочленов

06:02 

Что-то про многочлены

wpoms.
Step by step ...


Пусть `u` является положительным корнем уравнения `x^2 + x - 4 = 0`. Многочлен
`P(x) = a_n*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + \ldots + a_0,`

где `n` - положительное целое число, имеет неотрицательные целые коэффициенты и `P(u) = 2017`.
1) Докажите, что `a_0 + a_1 + \ldots + a_n \equiv 1 text{mod} 2 `.
2) Найдите максимально возможное значение выражения `a_0+a_1+\ldots+a_n`.



@темы: Теория многочленов

22:36 

Целочисленные тройки

wpoms.
Step by step ...


Найдите все целочисленные тройки `(a,b,c)` такие, что `a > 0 > b > c` и их сумма равна 0 при условии, что
`N=2017-a^3b-b^3c-c^3a`

является квадратом целого числа.



@темы: Теория чисел

12:01 

Много треугольников

wpoms.
Step by step ...


Через точку `A` на плоскости проходят 3 прямые, которые разбивают плоскость на 6 областей.
Внутри каждой области выбраны 5 точек. Известно, что никакие три из выбранных 30 точек не лежат на одной прямой. Докажите, что существует не менее 1000 треугольников с вершинами в выбранных точках таких, что точка `A` находится внутри или на границе треугольников.



@темы: Планиметрия

09:43 

Переходим к старшим

wpoms.
Step by step ...


Остроугольный треугольник `ABC` с `AB < AC < BC` вписан в окружность `c(O,R)`. Окружность `c_1(A,AC)` пересекает окружность `c` в точке `D` и пересекает продолжение стороны `CB` в `E`. Прямая `AE` пересекает `c` в `F` и точка `G` симметрична `E` относительно точки `B`. Докажите, что около четырёхугольника `FEDG` можно описать окружность.



@темы: Планиметрия

20:58 

Игра по правилам

wpoms.
Step by step ...


Компания из `n` игроков играет в настольную игру по следующим правилам.
а) В каждом раунде играют ровно `3` игрока
б) Игра заканчивается через `n` раундов
в) Каждая пара игроков играет вместе по крайней мере в одном раунде.
Найдите наибольшее возможное значение `n`.



@темы: Комбинаторика

21:58 

Что-то гармоническое

wpoms.
Step by step ...


Найдите все такие положительные целые числа`a`, `b` и простые числа `p` такие, что
`\frac{1}{p} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}`.



@темы: Теория чисел

20:10 

Боремся с системой

wpoms.
Step by step ...


Решите систему в положительных действительных числах:
`{(x*(6 - y) = 9), ( y*(6 - z) = 9), (z*(6 - x) = 9):}`.



@темы: Системы НЕлинейных уравнений

13:58 

Площадь как функция

wpoms.
Step by step ...


Дан квадрат `ABGD` с длиной стороны `\alpha`. На стороне `AD` отметили точки `E` и `Z` такие, что `DE = \dfrac{\alpha}{3}` и `AZ = \dfrac{\alpha}{4}`. Прямые `BZ` и`GE` пересекаются в точке `H`. Выразите площадь треугольника `BGH` как функцию от `\alpha`.



@темы: Планиметрия

22:50 

Функции

wpoms.
Step by step ...


Найдите все функции `f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}` такие, что для всех `x,\ y \in \mathbb{R}` выполняется
`f(x+yf(x+y)) = y^2 + f(xf(y+1))`.




@темы: Функции

02:23 

Финское национальное математическое соревнование для старшеклассников

wpoms.
Step by step ...


Финское национальное математическое соревнование для старшеклассников

Финское национальное математическое соревнование для старшеклассников (Lukion matematiikka­kilpailu) проводится MAOL, финской ассоциацией учителей математики, физики, химии и информатики.

С 1997 года соревнование проводится в два раунда: В первом раунде, который проводится для трёх возрастных групп, определяются школьники, которые примут участие в финале. Квота для самых старших - 15, для следующей по возрасту категории - 4 и для самой юной - 1. В финале всем предлагаются одинаковые задания, но итоги подводятся отдельно для каждой возрастной группы.

Задачи олимпиады


@темы: Олимпиадные задачи

01:20 

Наибольшее

wpoms.
Step by step ...


Пусть $n \geq 2$ --- натуральное число. Для каждого $n$-элементного подмножества $F$ множества $\{1, \ldots, 2n\},$ определим $m(F)$ как минимум всех НОК$(x, y),$ где $x$ и $y$ --- два различных элемента $F.$ Найдите наибольшее значение, которое может принимать $m(F).$



@темы: Теория чисел

16:59 

Дунайское математическое соревнование

wpoms.
Step by step ...
Дунайское математическое соревнование

Дунайское математическое соревнование (Mathematical Danube Competition) - это тренировочное соревнование, в котором принимают участие школьники из Румынии, Болгарии, Молдовы.

Задачи олимпиады

@темы: Олимпиадные задачи

13:50 

Олимпиада Бенилюкс

wpoms.
Step by step ...
Олимпиада Бенилюкс

Математическая олимпиада Бенилюкса (The Benelux Mathematical Olympiad - BxMO) - математическое соревнование, в котором принимают участие старшеклассники из Бельгии, Люксембурга и Нидерландов. Участникам предлагаются 4 задачи, в основном соответствующие уровню простых задач ИМО или более легкие. В состав делегации от каждой страны входят 10 школьников и трое сопровождающих. Половина участников награждается бронзовыми, серебряными и золотыми медалями в отношении 3:2:1.

Задачи олимпиады

@темы: Олимпиадные задачи

02:00 

Про отроцентр

wpoms.
Step by step ...


Пусть `H` --- ортоцентр остроугольного треугольника `ABC`. `G` --- точка пересечения прямой, параллельной `AB` и проходящей через `H`, и прямой, параллельной `AH` и проходящей через `B`. Точка `I` выбрана на прямой `GH` так, что `AC` пересекает отрезок `HI` в его середине. `J` --- вторая точка пересечения `AC` с описанной около треугольника `CGI` окружностью. Покажите, что `IJ = AH`.



@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная