• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
20:30 

График функции

wpoms.
Step by step ...


Исследуйте вещественную функцию `f(x) = (1+1/x)^x` определенную на `x in RR setminus [-1, 0]`. Постройте график.



@темы: Исследование функций

23:30 

Предел

wpoms.
Step by step ...


Вычислите предал `lim_{n to infty} 1/n (1/n^k + 2^k/n^k + ... + (n-1)^k/n^k + n^k/n^k)`.
(Для вычисления этого предела можно воспользоваться построением интеграла)



@темы: Пределы

19:14 

Биссекториса

wpoms.
Step by step ...


В треугольнике $ABC$ $I$ -- центр вписанной окружности, $D, E, F$ -- точки касания вписанной окружности и сторон треугольника $BC,CA,AB$ соответственно. Биссектриса угла $BIC$ пересекает $BC$ в $M$, прямая $AM$ пересекает $EF$ в $P$. Докажите, что $DP$ является биссектрисой угла $FDE$.



@темы: Планиметрия

13:44 

Многочлены

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что многочлен $z^{2n} + z^n + 1\ (n \in \mathbb{N})$ делится на многочлен $z^2 + z + 1$ тогда и только тогда, когда $n$ не является кратным $3$.



@темы: Теория многочленов

14:05 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Пусть $M$ лежит на меньшей дуге $AB$. Докажите, что `MC \cdot MD > 3\sqrt{3} \cdot MA \cdot MB`.



@темы: Планиметрия

23:37 

Одна точка

wpoms.
Step by step ...


Дан выпуклый (не обязательно правильный) шестиугольник `ABCDEF`, `AB = BC`, `CD = DE`, `EF = FA` и `/_ABC + /_CDE + /_EFA = 360^@`. Докажите, что перпендикуляры из `A`, `C` и `E` к `FB`, `BD` и `DF`, соответственно, проходят через одну точку.



@темы: Планиметрия

19:44 

Делители

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа `m`, таких что четвертая степень количества натуральных делителей `m` равна `m`.



@темы: Теория чисел

23:14 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Сумма положительных действительных чисел `a`, `b`, `c` и `d` равна `1`. Докажите, что
`(a^2)/(a + b) + (b^2)/(b + c) + (c^2)/(c + d) + (d^2)/(d + a) >= 1/2`,

и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `a = b = c = d = 1//4`.



@темы: Доказательство неравенств

14:04 

Функция

wpoms.
Step by step ...


Функция `f : NN -> NN` (где `NN` обозначает множество натуральных чисел) удовлетворяет условиям
(a) `f(a*b) = f (a)*f(b)` если наибольший общий делитель `a` и `b` равен `1`,
(b) `f(p + q) = f(p) + f(q)` для всех простых чисел `p` и `q`.
Докажите, что `f(2) = 2`, `f(3) = 3` и `f(1999) = 1999`.



@темы: Функции

23:56 

Система уравнений

wpoms.
Step by step ...


Решите систему уравнений
`{( y^2 = (x + 8)*(x^2 + 2) ), ( y^2 = (8 + 4*x)*y + 5*x^2 - 16*x - 16 ):}`




@темы: Системы НЕлинейных уравнений

19:13 

Не прогрессия

wpoms.
Step by step ...


Три действительных числа `a`, `b`, `c` (`a < b < c`) являются членами арифметической прогрессии, если `c - b = b - a`. Последовательность `u_n`, `n = 0,1, 2, 3,...` задается так: `u_0 =0`, `u_1 = 1` и, для всех `n >= 1`, `u_{n+1}` равно наименьшему натуральному числу, удовлетворяющему условиям `u_{n+1} > u_n` и `{u_0, u_1,..., u_n, u_{n+1}}` не содержит трех элементов, являющихся членами арифметической прогрессии. Найдите `u_100`.



@темы: Прогрессии

00:43 

Застилаем пол

wpoms.
Step by step ...


На квадратный пол, разделенный на `10000` квадратов (`100 times 100` квадратов - как большая шахматная доска), нужно уложить плитку. В наличии только прямоугольная плитка размером `1 times 3`, закрывающая точно три квадрата на полу.
(a) Докажите, что если не укладывать плитку в квадрат `2 times 2` в центре пола, то оставшаяся часть пола может покрыта имеющимися плитками.
(b) Если не укладывать плитку в квадрат размером `2 times 2` в углу пола, то докажите, что оставшаяся часть пола не может быть полностью покрыта этими плитками.
[Имеется достаточное количество плиток, плитки укладываются без перекрытия, плитки не могут развиваться на более мелкие части.]



@темы: Планиметрия

21:39 

Задачи математической олимпиады Средиземья-2 2007–2014 годов

wpoms.
Step by step ...

Задачи математической олимпиады Средиземья-2 2007–2014 годов

yadi.sk

Благодарю All_ex, Дилетант за неоценимый вклад в подготовку сборника.





@темы: Олимпиадные задачи

09:33 

Про треугольник

wpoms.
Step by step ...


Точки `D`, `E` и `F` лежат на сторонах `BC`, `CA` и `AB`, соответственно, треугольника `ABC`. `AD` перпендикуляр к `BC`, `BE` биссектриса `/_B` и `F` середина `AB`. Докажите, что `AD`, `BE` и `CF` проходят через одну точку тогда и только тогда, когда `a^2(a - c) = (b^2 - c^2)(a + c)`, где `a`, `b` и `c` длины сторон `BC`, `CA` и `AB`, соответственно, треугольника `ABC`.



@темы: Планиметрия

18:21 

Числа Фибоначчи

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что в последовательности Фибоначчи есть число, которое делится на 1000.
[Последовательность Фибоначчи `F_n` определяется так: `F_0 = 0`, `F_1 = 1`, `F_n = F_{n-1} + F_{n-2}` для `n >= 2`. Последовательность начинается так: `0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...` ]



@темы: Теория чисел

21:10 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Найдите все действительные значения `x`, которые удовлетворяют неравенству
`(x^2)/((x + 1 - sqrt(x+1))^2) < (x^2 + 3x + 18)/((x +1)^2)`.



@темы: Иррациональные уравнения (неравенства)

20:41 

Деревня

wpoms.
Step by step ...


Наибольшее расстояние между домами в деревне равно `M`, а наименьшее расстояние равно `m`. Докажите, что если в деревне шесть домов, то `M/m >= sqrt(3)`.



@темы: Планиметрия

20:30 

Раскраска домов

wpoms.
Step by step ...


На улице Антонио сто домов, пронумерованных числами от единицы до ста. Любой дом, чей номер равен разности номеров домов, покрашенных в один цвет, покрашен в цвет отличный от цвета этих двух домов. Докажите, что на улице Антонио есть дома по крайне мере пяти разных цветов.



@темы: Дискретная математика

14:24 

Одеяло

wpoms.
Step by step ...


Фернанда решила украсить квадратное одеяло лентами и кнопками, располагая кнопки в центрах квадратов, через которые проходит лента, образующая показанную на рисунке фигуру. Если Фернанда разместила первую кнопку в строке с номером ноль, то в какой строке будет располагаться кнопка с номером 2007?




@темы: Головоломки и занимательные задачи

16:07 

Почти факториал )))

wpoms.
Step by step ...


Найдите наибольшее целое число `n`, которое равно произведению всех натуральных чисел меньших `sqrt(n)`.



@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная