• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
19:50 

Функция натурального аргумента

wpoms.
Step by step ...


Функция `f`, определенная на множестве натуральных чисел, удовлетворяет условиям: `f(1) = 1`; `f(2n) = f(n)` , если `n` четное; `f(2n) = 2f(n)`, если `n` нечетное; `f(2n + 1) = 2f(n) + 1`, если `n` четное; `f(2n + 1) = f(n)`, если `n` нечетное. Найдите количество натуральных чисел `n`, которые меньше `2011` и для которых `f(n) = f(2011)`.



@темы: Функции

19:58 

Кратность

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа `x` и `y` такие, что `2xy` кратно `x + y + 1`, а `x^2 + y^2 - 1` кратно `x + y - 1`.



@темы: Теория чисел

03:03 

Расположение точек

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` и точка `X` внутри него. Прямые `AX`, `BX` и `CX` пересекают окружность `ABC` в точках `P`, `Q` и `R`, соответственно. Точка `U` выбрана на `XP` и лежит между `X` и `P`. Проведем через точку `U` прямые параллельные `AB` и `CA`, которые пересекают `XQ` и `XR` в точках `V` и `W`, соответственно. Докажите, что точки `R`, `W`, `V` и `Q` лежат на одной окружности.



@темы: Планиметрия

21:02 

Стороны треугольника

wpoms.
Step by step ...


Длины сторон треугольника равны `a`, `b` и `c`. Известно, что `ab + bc + ca = 1`. Покажите, что `(a + 1)(b + 1)(c + 1) < 4`.



@темы: Планиметрия

17:56 

Окружности

wpoms.
Step by step ...


Окружности `S_1` и `S_2` пересекаются в точках `L` и `M`. Точка `P` лежит на окружности `S_2`. Прямые `PL` и `PM` пересекают `S_1` в точках `Q` и `R`, соответственно. Прямые `QM` и `RL` пересекаются в точке `K`. Покажите, что, при перемещении `P` по окружности `S_2`, точка `K` описывает дугу некоторой окружности.



@темы: Планиметрия

23:50 

Шашки

wpoms.
Step by step ...


У Исаака есть большое количество шашек и он помещает по одной шашке в каждую клетку шахматной доски размером `8 xx 8`. Шашки имеют красный, белый или синий цвет. Назовем размещением конкретное расположение цветных шашек. Определите, каких размещений больше, с четным или нечетным количеством красных шашек.



@темы: Комбинаторика

20:57 

Три точки на прямой

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` с прямым углом `/_CAB`. Точка `L` лежит на прямой `BC` между `B` и `C`. Окружность `ABL` пересекает прямую `AC` в точках `A` и `M`, окружность `CAL` пересекает прямую `AB` в точках `A` и `N`. Докажите, что `L`, `M` и `N` лежат на прямой.



@темы: Планиметрия

17:04 

Отверстие

wpoms.
Step by step ...


`s` - целое число большее `6`. В кубе, длина ребра которого равна `s`, сделали квадратное сквозное отверстие с длиной стороны `x < 6` прямо от одной грани куба до другой (отверстие имеет форму прямоугольного параллелепипеда). Объем оставшейся части куба численно равен полной площади поверхности этой оставшейся части куба. Определите все возможные целые значения `x`.



@темы: Стереометрия

00:42 

Найти число

wpoms.
Step by step ...


Из множества целых чисел от `1` до `n` удалено одно число. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно `40 3/4`. Какое число было удалено?



@темы: Прогрессии

02:03 

Студентам для тренировки

wpoms.
Step by step ...


В трехмерном евклидовом пространстве обозначим `u_1, u_2, u_3` три ортогональных единичных вектора направленных вдоль осей `x, y, z` соответственно.
а) Покажите, что точка `P(t) = (1 - t)*u_1 + (2 - 3*t)*u_2 + (2*t - 1)*u_3`, где `t` принимает все действительные значения, описывает прямую (которую мы обозначим через `L`).
б) Что описывает точка `Q(t) = (1 - t^2)*u_1 + (2 - 3*t^2)*u_2 + (2*t^2 - 1)*u_3`, если `t` принимает все действительные значения?
в) Найти вектор параллельный `L`.
г) При каких значениях `t` точка `P(t)` принадлежит плоскости `2*x + 3*y + 2*z + 1 = 0`?
д) Найти декартово уравнение плоскости, параллельной последней и содержащей точку `P(3)`.
е) Найти декартово уравнение плоскости, перпендикулярной `L` и содержащей точку `P(2)`.



@темы: Аналитическая геометрия

23:21 

Минимальный путь

wpoms.
Step by step ...


На координатной плоскости имеем точки `P(8; 2)` и `Q(5; 11)`. Рассмотрим путь от `P` до `Q`, который должен удовлетворять следующим условиям:
- от точки `P` движемся в точку на оси `Ox`, имеющую координату `0 <= x <= 1`;
- от этой точки движемся в точку на оси `Oy`, имеющую координату `0 <= y <= 2`;
- от последней точки движемся к точке `Q`.
Среди всевозможных таких путей, определить путь минимальной длины и найти её.



@темы: Задачи на экстремум, Аналитическая геометрия

21:20 

Треугольник

wpoms.
Step by step ...


Имеем равносторонний треугольник с высотой равной `1`. Для любой точки `P` внутри треугольника обозначим через `x, y, z` расстояния до сторон.
а) Докажите, что для любой точки `P` выполнено равенство `x + y + z = 1`.
б) Укажите, для каких точек расстояние до одной их сторон больше, чем сумма до двух других.
в) Отрезок длины `1` случайным образом делим на три части. С какой вероятностью из полученных частей можно составить треугольник.



@темы: Теория вероятностей, Планиметрия

16:37 

Векторное пространство

wpoms.
Step by step ...


Рассматривается множество многочленов не выше четвёртой степени с рациональными коэффициентами:
а) покажите, что множество является векторным пространством над полем рациональных чисел;
б) покажите, что многочлены `1, \ x - 2, \ (x - 2)^2 , \ (x - 2)^3, \ (x - 2)^4` образуют базис оного пространства;
в) разложите многочлен `7 + 2*x - 45*x^2 + 3*x^4` по означенному базису.



@темы: Теория многочленов, Векторная алгебра

20:37 

Корона

wpoms.
Step by step ...


Даны две концентрические окружности `C` и `C'` радиусов `r` и `r'` соответственно. Определите отношение радиусов `{r'}/r`, при котором в кольце, ограниченном `C` и `C'`, можно расположить окружности `C_1, ldots , C_8`, которые касаются `C` и `C'`, а также `C_i` касается `C_{i+1}` и `C_8` касается `C_1`.



@темы: Планиметрия

20:53 

Предел

wpoms.
Step by step ...


В комплексной плоскости задана последовательность:
`a_0 = 1, \ & \ a_n = a_{n-1}+1/n (cos45^@ + i*sin45^@)^n.`
Докажите, что последовательность действительных частей элементов последовательности `{a_n}` сходится и ее предел представляет собой число от `0.85` до `1.15`.



@темы: Комплексные числа, Пределы

22:18 

Система из трёх уравнений и одного неравенства

wpoms.
Step by step ...


Найдите все решения системы их трёх линейных уравнений и одного линейного неравенства
`{(2*x - 5*y + 11*z - 6 = 0), (-x + 3*y - 16*z + 8 = 0), (4*x - 5*y - 83*z + 38 = 0), (3*x + 11*y - z + 9 > 0):},`



@темы: Системы линейных уравнений

01:46 

Минимальный элемент

wpoms.
Step by step ...


Определите минимальный элемент последовательности `a_n = 1/4 * n^4 - 10*n^2*(n - 1)`, где `n = 0, 1, 2, ldots`



@темы: Задачи на экстремум

22:11 

Разбиваемые числа

wpoms.
Step by step ...


Пусть `p` - простое число, `n` - натуральное число и `T = {1, 2, 3,..., n}`. Назовем `n` `p`-разбиваемым, если существует `p` непустых подмножеств `T_1`, `T_2`, ... , `T_p` множества `T`, удовлетворяющих условиям:
(i) `T = T_1 uu T_2 uu ...uu T_p`;
(ii) `T_1,T_2,... ,T_p` - неперескающиеся (т.е. `T_i nn T_j` - пустое множество для всех `i, j`, `i != j`), и
(iii) сумма элементов `T_i` одна и та же для `i = 1, 2,... ,p`.
[Например, , `5` является `3`-разбиваемым, т.к. можно выбрать множества `T_1 = {1, 4}`, `T_2 = {2, 3}`, `T_3 = {5}`, удовлетворяющие (i), (ii) and (iii). Аналогично, `6` является `3`-разбиваемым, т.к. можно выбрать множества `T_1 = {1, 6}`, `T_2 = {2, 5}`, `T_3 = {3,4}`, удовлетворяющие (i), (ii) and (iii).]
(a) Предположим, что `n` является `p`-разбиваемым. Докажите, что `p` делит `n` или `n + 1`.
(b) Предположим, что `n` делится на `2*p`. Докажите, что `n` является `p`-разбиваемым.



@темы: Множества, Теория чисел

19:47 

Количество элементов

wpoms.
Step by step ...


Множество `S` состоит из натуральных чисел `n`, удовлетворяющих условиям:
(i) `n` является `1000`-значным числом;
(ii) все цифры `n` нечетны, и
(iii) модуль разности между соседними цифрами `n` равен `2`.
Определите количество различных элементов в `S`.



@темы: Комбинаторика

17:39 

Подмножество

wpoms.
Step by step ...


`A` - подмножество `{0, 1, 2, 3,..., 1997}`, состоящее более чем из `1000` элементов. Докажите, что либо `A` содержит степень `2` (число, которое можно представить в виде `2^k`, где `k` - неотрицательное целое), либо существуют два различных элемента `a, b in A`, сумма которых `a + b` является степенью `2`.



@темы: Множества, Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная