Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
21:42 

Кратно и квадратно

wpoms.
Step by step ...


Положительные целые числа `p`, `a` и `b` удовлетворяют уравнению `p^2 + a^2 = b^2`. Докажите, что если `p` является простым и `p > 3`, то `a` кратно` 12` и `2*(p + a + 1)` является полным квадратом.



@темы: Теория чисел

21:58 

По ранжиру становись

wpoms.
Step by step ...


Расположите следующие числа в порядке возрастания и обоснуйте ваши рассуждения:
`3^{3^4}, \ 3^{4^3}, \ 3^{4^4}, \ 4^{3^3}` и `4^{3^4}`.

Отметим, что `a^{b^c}` означает `a^{(b^c)}`.



@темы: Показательные уравнения (неравенства)

01:18 

Непредставительные числа

wpoms.
Step by step ...


Число `1000` может быть записано как сумма `16` последовательных натуральных чисел: `1000 = 55 + 56 + ... + 70`. Найдите все натуральные числа, которые не могут быть записаны как сумма двух или более последовательных натуральных чисел.



@темы: Теория чисел

11:54 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC`, точка `D` - проекция точки `B` на биссектрису угла `ACB`, а точка `E` - проекция точки `C` на биссектрису угла `ABC`. Докажите, что `DE` пересекает стороны `AB` и `AC` в точках касания этих сторон с вписанной в треугольник `ABC` окружностью.



@темы: Планиметрия

17:41 

Иванов, Петров, Сидоров - Близнецы? - Нет. Однофамильцы

wpoms.
Step by step ...


В классе, в котором учатся `14` мальчиков, провели опрос. Каждого из мальчиков попросили ответить на два вопроса: у скольких одноклассников такое же имя и у скольких одноклассников такая же фамилия. В ответ были получены числа `0, 1, 2, 3, 4, 5` и `6`. Докажите, что в классе есть два мальчика с совпадающими именем и фамилией.



@темы: Комбинаторика

18:32 

Новогодняя гирлянда

wpoms.
Step by step ...


Имеются n выключенных лампочек, пронумерованных числами от `1` до `n`. С ними можно выполнять одну из следующих операций:
• изменить состояние лампочки `1`;
• изменить состояние лампочки `2`, если первая лампочка горит;
• изменить состояние лампочки с номером `k` (`k > 2`), если лампочка с номером `k-1` горит и все лампочки с номерами `1, ... , k-2` выключены.
Покажите, что возможно, после определенного количества операций, добиться того, чтобы горела только лампочка с номером `n`.



@темы: Дискретная математика

17:02 

Про параллелограмм

wpoms.
Step by step ...


Точка `P`, расположенная внутри треугольника `ABC`, лежит на срединном перпендикуляре стороны `AB`. Точки `Q` и `R`, расположенные вне треугольника таковы, что `BPA`, `BOC` и `CRA` - подобные треугольники. Докажите, что `PQCR` является параллелограммом.




@темы: Планиметрия

11:31 

Позвони мне, позвони

wpoms.
Step by step ...


Девятизначный телефонный номер abcdefghi является легко запоминаемым если последовательность его первых четырех цифр abcd повторяется в последних пяти цифрах efghi. Сколько всего существует легко запоминаемых телефонных номеров?



@темы: Комбинаторика

23:24 

Треугольник

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC`, длины сторон которого выражаются целыми числами. Вписанная в треугольник `ABC` окружность касается сторон `BC` и `AC` в точках `D` и `E`, соответственно. Пусть `-2 <= |AD|*|AD| - |BE|*|BE| <= 2`. Покажите, что `|AC| = |BC|`.



@темы: Планиметрия

22:54 

Целая часть числа

wpoms.
Step by step ...


Обозначим для всех действительных чисел `x` наибольшее целое число, меньшее или равное `x` как `lfloor x rfloor`. Пусть `alpha = 2 + sqrt(3)`. Докажите, что `alpha^n - lfloor alpha^n rfloor = 1 - alpha^{-n}`, для `n = 0,1, 2, .. .`



@темы: Теория чисел

18:24 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников в Алтайском крае

Центр по работе с одаренными детьми в Алтайском крае


Задания 2016/17 у.г., 2017/18 у.г.


@темы: Олимпиадные задачи

17:05 

Произведение простых чисел

wpoms.
Step by step ...


Предположим, что `n` равно произведению различных простых чисел `a`, `b`, `c`, `d` таких, что:
(a) `a + c = d`;
(b) `a*(a + b + c + d) = c*(d - b)`;
(c) `1 + b*c + d = b*d`.
Найдите `n`.



@темы: Теория чисел

10:17 

wpoms.
Step by step ...


Таблица размером `3 times n` заполняется следующим образом: в первой строке записаны числа от `1` до `n`, упорядоченные по возрастанию слева направо. Вторая строка получена из первой циклическим сдвигом, то есть в этом ряду записаны числа `i, i + 1, . . . , n - 1, n, 1, 2, . . . , i - 1` для некоторого `i`. В третьей строке записаны в некотором порядке числа от `1` до `n`, при этом сумма чисел в каждой из `n` колонок одна и та же.
Для каких значений `n` возможно заполнение таблицы по указанным выше правилам? Для тех `n`, для которых это возможно сделать, определите количество различных способов заполнить таблицу.



@темы: Теория чисел

02:10 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для всех `0 < a, b, c < 1` верно неравенство
`a/(1 - a) + b/(1 - b) + c/(1 - c) >= (3*root(3){a*b*c})/(1 - root(3){a*b*c})`.

Определите, в каких случаях достигается равенство.




@темы: Доказательство неравенств

18:07 

Натуральные числа. Прошу любить и жаловать

wpoms.
Step by step ...


Последовательность `a_1, a_2, a_3, a_4,...` определяется соотношениями `a_1 = 1`, `a_2 = 1`, `a_3 = 1` и `a_{n+1}*a_{n-2} - a_{n}*a_{n-1} = 2`, для всех `n >= 3`. Докажите, что `a_n` является натуральным числом для всех `n >= 1`.



@темы: Теория чисел

22:36 

Тройки

wpoms.
Step by step ...


Найдите все тройки натуральных чисел `(p, q, n)` (`p` и `q` простые), удовлетворяющие равенству
`p*(p + 3) + q*(q + 3) = n*(n + 3)`.




@темы: Теория чисел

19:14 

Всесибирская олимпиада

wpoms.
Step by step ...
Всесибирская открытая олимпиада школьников
Сайт олимпиады
Архив ВООШ

Олимпиада 2016-2017 гг. по математике
Первый этап, 23-10-2016

11 класс

11.1. Найти все натуральные числа `n` такие, что существуют `n` последовательных натуральных чисел, сумма которых равна `n^2`.

11.2. Найти решение уравнения `cos^2(x) + cos^2(2*x) + cos^2(3*x) = 1`.

11.3. При каком наименьшем `n` выполнено условие: если в таблице размера `6 xx 6` в произвольном порядке расставить `n` крестиков (не более одного в клетке), то обязательно найдутся три клетки, образующие полоску длины 3, вертикальную или горизонтальную, в каждой из которых стоит крестик?

11.4. Найдите все натуральные числа `x` такие, что произведение всех цифр в десятичной записи `x` равно `x^2 - 10*x - 22 = 0`.

11.5. На плоскости дан отрезок `AB` и на нём произвольная точка `M`. На отрезках `AM` и `MB` как на сторонах построены квадраты `AMCD` и `MBFE`, лежащие по одну сторону от `AB`, и `N` - точка пересечения прямых `AF` и `BC`. Докажите, что при любом положении точки `M` на отрезке `AB` каждая прямая `MN` проходит через некоторую точку `S`, общую для всех таких прямых.

@темы: Олимпиадные задачи

13:12 

Давай пожмем друг другу руки - И в дальний путь, на долгие года.

wpoms.
Step by step ...


(a) Группа людей приняла участие в вечеринке. Каждый имеет не более трех знакомых в этой группе, если двое не знают друг друга, то у них есть общий знакомый в группе. Какое наибольшее количество людей могло принять участие в вечеринке?

(b) Если, дополнительно, в группе есть три человека, каждый из которых знаком с двумя другими, то чему равно наибольшее количество людей, которые могли принять участие в вечеринке?



@темы: Дискретная математика

00:24 

Угол

wpoms.
Step by step ...


В треугольнике `ABC` известны длины сторон `AB = 20`, `AC = 21` и `BC = 29`. Точки `D` и `E` лежат на отрезке `BC`, при этом `BD = 8` и `EC = 9`. Найдите угол `/_DAE`.



@темы: Планиметрия

20:56 

Прямые на шахматной доске

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что если p - простое число, то на шахматной доске размером pxp можно выбрать p клеток так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. На рисунке показан один из возможных выборов клеток для p=3.




@темы: Дискретная математика

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная