• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
20:57 

Додекаэдр

wpoms.
Step by step ...


Правильный додекаэдр является правильным многогранником, образованным 12 равными пятиугольниками, 3 стороны которых сходятся в каждой вершине додекаэдра. Вычислите наиболее просто
а) число вершин,
б) число ребер,
в) количество диагоналей всех сторон,
г) число отрезков, определяемых всеми парами вершин,
е) число диагоналей додекаэдра.



@темы: Стереометрия

19:32 

Периметр

wpoms.
Step by step ...


Длины сторон треугольника `ABC` целые, `/_A = 2/_B` и `/_C > 90^@`. Найдите минимально возможную длину его периметра.



@темы: Планиметрия

23:15 

Элемент последовательности

wpoms.
Step by step ...


Последовательность действительных чисел `x_n` определяется рекурсивно: `x_0`, `x_1` - произвольные положительные действительные числа и `x_{n+2} = (1+x_{n+1})/(x_n)`, `n = 0,1, 2,. ..`
Найдите `x_{1998}`.



@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

00:55 

Разбиение множества

wpoms.
Step by step ...


`NN` - множество натуральных чисел.
(a) Докажите, что `NN` может быть представлено как объединение трех взаимно не пересекающихся множеств, таких что, если `m, n in NN` и `|m - n| = 2` или `5`, то `m` и `n` принадлежат разным множествам.
(b) Докажите, что `NN` может быть представлено как объединение четырёх взаимно не пересекающихся множеств, таких что, если `m, n in N` и `|m - n| = 2`, `3` или `5`, то `m` и `n` принадлежат разным множествам. Покажите, что невозможно представить `NN` как объединение трех взаимно не пересекающихся множеств, обладающих этим свойством.



@темы: Множества

19:05 

Неравенства

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для положительных действительных чисел `a`, `b`, `c` выполняются неравенства
(a) `9/(a + b + c) <= 2(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a))`,

и
(b) `1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) <= 1/2 (1/a + 1/b + 1/c)`.




@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

06:42 

Делители

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные `n`, имеющие ровно `16` натуральных делителей `d_1, d_2, ..., d_16`, удовлетворяющих условиям `1 = d_1 < d_2 < ... < d_16 = n`, `d_6 = 18` и `d_9 - d_8 = 17`.



@темы: Теория чисел

02:49 

Целое число

wpoms.
Step by step ...


Действительное число `x` удовлетворяет условиям: `(x^2 - x)` - целое число и, для некоторого `n >= 3`, `(x^n - x)` - целое число. Докажите, что `x` - целое число.



@темы: Теория чисел

23:45 

Покрытие

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что диск радиуса `2` может быть покрыт семью (возможно перекрывающимися) дисками радиуса `1`.



@темы: Множества, Планиметрия

11:25 

Предновогодняя задачка

wpoms.
Step by step ...



Удержите непривязанную козу с помощью собак в треугольнике

Известны длины сторон треугольника, высота прыжка козы, скорость перемещения козы и максимальное время движения с этой скоростью, скорость перемещения собаки и максимальное время движения с этой скоростью. В начальный момент времени коза находится в произвольной внутренней точке треугольника. Собак нужно привязывать на веревке к колышку или к кольцам на веревках, привязанных к колышкам и аналогичным конструкциям. На рисунке ниже приведено очевидное решение задачи с бесконечным количеством собак.



Чему равно минимальное количество собак, способных удержать козу в треугольнике, и каким образом их нужно привязать?

@темы: Про самолеты, Праздники, Головоломки и занимательные задачи

00:56 

Куб числа

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что целое число вида `bar{xyxy}` в системе счисления с основанием `10`, где `x` и `y` - некоторые цифры, не может быть кубом целого числа.
Найдите наименьшее основание системы счисления `b > 1`, для которого существует куб целого числа вида `bar{xyxy}` в системе счисления с основанием `b`.



@темы: Теория чисел, Школьный курс алгебры и матанализа

01:27 

Площадь треугольника

wpoms.
Step by step ...


Расстояния от точки `P`, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его вершин равны `3`, `4` и `5`. Найдите площадь треугольника.



@темы: Планиметрия

12:49 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что для ненулевых действительных чисел `x` выполняется неравенство `x^8 - x^5 - 1/x + 1/(x^4) >= 0`.



@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

22:34 

Лотерея

wpoms.
Step by step ...


На каждой карточке лотереи "Neuro-Million" написаны числа от 1 до 36. Ставка заключается в выборе 6 из этих 36 чисел. Перед началом розыгрыша выбираются 6 чисел-ключей из этих 36. Ставка выигрывает, если ни одно из отмеченных чисел не совпадает с числом-ключом. Сколько, по крайней мере, нужно сделать ставок, чтобы гарантированно выиграть?



@темы: Комбинаторика

20:24 

Делители

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа n, такие что натуральные делители числа n составляют ровно одну пятую от натуральных чисел 1, 2, ... , n.



@темы: Теория чисел

15:46 

wpoms.
Step by step ...


1. В треугольнике ABC, AB > AC, продолжение высоты AD, где точка D лежит на BC, пересекает описанную окружность треугольника ABC `\omega` в точке P. Окружность, проходящая через точку P и касающаяся BC в точке D, пересекает `\omega` в точке Q отличной от P, при этом PQ = DQ. Докажите, что AD = BD - DC.

2. Найдите все пары целых чисел (m,n) таких, что `m^3-n^3=2mn+8`.

3. `b_1, b_2, ...` - последовательность положительных действительных чисел таких, что для всех натуральных `n \ge 1` выполняется условие
`b_{n+1}^2 \ge b_1^2/1^3 + b_2^2/2^3 + ... b_n^2/n^3`.
Покажите, что существует натуральное число M такое, что
`sum_{n=1}^M b_{n+1}/(b_1+b_2+...+b_n) > 2013/1013`.

4. В массиве 6x6,
2 0 1 0 2 0
0 2 0 1 2 0
1 0 2 0 2 0
0 1 0 2 2 0
1 1 1 1 2 0
0 0 0 0 0 0
можно выбрать подмассив размером k x k, 1 < k < 6, и добавить 1 ко всем его элементам. Возможно ли за конечное количество подобных операций добиться того, чтобы все элементы массива стали кратны 3?

5. Даны различные действительные x, у такие, что `(x^n-y^n)/(x-y)` является целым числом для четырех последовательных натуральных n. Докажите, что `(x^n-y^n)/(x-y)` является целым числом для всех натуральных n.



@темы: Планиметрия, Дискретная математика, Теория чисел

20:56 

В параллелограмме

wpoms.
Step by step ...


Дан параллелограмм ABCD, E - середина стороны AD и F - проекция точки B на отрезок CE. Докажите, что треугольник ABF является равнобедренным.




@темы: Планиметрия

15:34 

Сломалась упаковочная машина

wpoms.
Step by step ...


Упаковочная машина расфасовывает бобы в равных количествах по пакетам, в дальнейшем эти пакеты упаковываются в равных количествах в ящики, которые отгружаются заказчикам. Однажды упаковочная машина сломалась и оставила первые n пакетов пустыми, в следующие n пакетов она упаковала по 1 бобу, в следующие n пакетов по 2 боба и т.д., в последние n пакетов она упаковала 2006 бобов. Для обеспечения отгрузки продукции заказчикам эти пакеты были распределены по 2007 ящикам, так чтобы в каждом ящике было одинаковое количество пакетов и зерен. Для каких n это возможно сделать?



@темы: Теория чисел

22:20 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Дан равносторонний треугольник ABC, D - середина стороны AC, E - проекция D на сторону CB и F - середина отрезка DE. Докажите, что FB и AE взаимно перпендикулярны.




@темы: Планиметрия

17:53 

Длина поезда

wpoms.
Step by step ...


Александр и Геркулес находятся на станции Campanha в ожидании поезда. Чтобы развлечь себя, они решили вычислить длину грузовых поездов, проходящих через станцию с постоянной скоростью. Когда передняя часть поезда проходит мимо них, Александр начинает идти в сторону движения поезда и Геркулес начинает идти в противоположном направлении. Они идут с одной и той же скоростью и каждый из них останавливается в тот момент, когда встречается с концом поезда. Александр прошел 45 метров и Геркулес прошел 30 метров. Чему равна длина поезда?



@темы: Текстовые задачи

21:27 

Свобода

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим множество `G`, которое состоит из точек плоскости `(x,y)` с целыми координатами `x` и `y`, удовлетворяющими неравенству `1 <= x,y <= 2011`. Подмножество `S` множества `G` назовем свободным от параллелограммов, если нет невырожденных параллелограммов, все вершины которых принадлежат `S`. Определите наибольший возможный размер свободного от параллелограммов подмножества множества `G`. (Параллелограмм является невырожденным, если его вершины не лежат на одной прямой)



@темы: Множества

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная