Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
11:29 

Винни-Пух сел на диету

wpoms.
Step by step ...


5525.
Собралось несколько друзей, некоторые из которых всегда говорят правду, а остальные всегда лгут.
Докажите, что вместе они могут проскандировать одну фразу, по которой посторонний сможет определить число лгущих.
%М.А. Дидин (Москва)

5526.
Винни-Пух сел на диету и каждый день ест на две банки варенья меньше и на одну банку мёда больше, чем вчера.
Всего за время диеты он съел 484 банки варенья и 275 банок мёда. Сколько дней длилась диета?
%Е.В. Бакаев (Москва)

читать дальше



@темы: Порешаем?!

13:36 

Про коробки

wpoms.
Step by step ...


Имеются 100 бесконечно вместительных коробок, в каждой из которых лежит по одной фишке. Бруно может добавить в каждую коробку так много фишек, сколько пожелает. После этого начинает выполняться последовательность шагов.
На шаге 1 в каждую коробку добавляется по одной фишке.
На шаге 2 фишка добавляется в те коробки, в которых содержится чётное количество фишек.
На шаге 3 фишка добавляется в те коробки, количество фишек в которых делится на 3.
На шаге 4 фишка добавляется в те коробки, количество фишек в которых делится на 4.
И так далее.
Целью Бруно было добиться того, чтобы на каждом шаге можно было найти две коробки с разным количеством фишек.
Определите, может ли Бруно достичь своей цели при каком-либо добавлении фишек до начала выполнения описанной последовательности шагов.




@темы: Дискретная математика

20:24 

Баскетбол

wpoms.
Step by step ...



В баскетболе коэффициентом эффективности игрока называют отношение заброшенных со штрафных мячей к общему количеству выполненных штрафных бросков. В конце первой половины игры коэффициент эффективности Метью был меньше 3/4, в в конце игры больше 3/4. Можно ли с уверенностью утверждать, что в некоторый момент времени его коэффициент эффективности был равен точно 3/4? Ответьте на тот же вопрос для 3/5 вместо 3/4.




@темы: Теория чисел

11:12 

Альтернативные способы решения задач

wpoms.
Step by step ...
1. Кушнир, И. Альтернативные способы решения задач (Геометрия). — К.: Факт, 2006. - 368 с.

Стр. 42.

12. Окружность. Первые задачи

Рассмотрим несколько задач, интерес к которым «подогревается» возможностью решить их двумя и более способами. Лично у меня вызывает особый интерес первая задача.

Привыкнув к ней как к одной из предлагаемых в начале изучения курса планиметрии, я не подозревал о существовании второго способа, пока его не предложил ученик, почему-то не сумевший решить задачу первым, более легким способом. Бывает...

Задача 1. Доказать, что общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров.

Первый способ
Пусть О1 и O2 — центры двух пересекающихся окружностей с общей хордой MN. Поскольку треугольники О1МO2 и О1NO2 равны, то /_MO1O2 = /_NO1O2, а значит, MN_|_O1O2 как биссектриса равнобедренного треугольника MO1N.

Второй способ
Проведем диаметры MA и MB. Поскольку /_MNA = /_MNB = 90°, то АВ — прямая. В треугольнике МАВ O1O2 — средняя линия, параллельная стороне АВ. Поскольку АВ _|_ MN, то O1O2 _|_ MN.

P.S. Предположу, что можно предложить ещё несколько вариантов доказательства.

2. Эйнштейну приписывается (Steven Strogatz, Einstein’s First Proof) следующее доказательство теоремы Пифагора.

Шаг 1. Проведём высоту из вершины прямого угла.

Каким могло бы быть продолжение? :)

@темы: Порешаем?!

09:26 

Малый мехмат — школе

wpoms.
Step by step ...
Малый мехмат — школе

изображение

Методические разработки, созданные ведущими преподавателями Малого мехмата для проведения математических кружков в общеобразовательных школах.

Линия 1:

для 5 класса (30 занятий), cоставители Д. А. Коробицын и Г. К. Жуков
для 6 класса (30 занятий), составители Д. А. Коробицын и Г. К. Жуков
для 7 класса (30 занятий), составители Е. А. Асташов, Я. А. Верёвкин, А. А. Дейч, С. М. Саулин, А. В. Феклина
для 8–9 классов: 1-е полугодие (15 занятий), составители Е. А. Асташов и Д. А. Удимов, 2-е полугодие (15 занятий), составители Е. А. Асташов, Я. А. Верёвкин, О. А. Манжина и Д. А. Удимов

Линия 2:

для 5–6 классов: 1-е полугодие (15 занятий), составители А. Л. Канунников, С. Л. Кузнецов и И. И. Осипов, 2-е полугодие (15 занятий), составитель И. И. Осипов
для 6–7 классов: 1-я часть, составители Н. П. Стрелкова и С. Л. Кузнецов, 2-я часть, составитель С. Л. Кузнецов
для 8 классов (15 занятий), составитель А. Л. Канунников

mmmf.msu.ru/for_schools/

@темы: Литература, Методические материалы

09:03 

Иранская геометрическая олимпиада

wpoms.
Step by step ...
Иранская геометрическая олимпиада

В сентябре этого года проводилась четвёртая Иранская геометрическая олимпиада.



Задачи разбиты на три уровня сложности: 7–8 классы (Elementary Level), 9–10 классы (Intermediate Level) и 11–12 классы (Advanced Level).
В нашей стране олимпиаду писали в пяти городах.

Сайт олимпиады: igo-official.ir

@темы: Планиметрия, Олимпиадные задачи

06:23 

Пособия для подготовки к ЕГЭ 2018

wpoms.
Step by step ...
Пособия для подготовки к ЕГЭ 2018

Гордин Р.К. ЕГЭ 2018. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.—128 с.

Добавлено Приложение 2. Задачи ЕГЭ 2017. С задачами можно познакомиться в разделе ЕГЭ на замечательном сайте ИПС «Задачи по геометрии».

Гордин Р.К. ЕГЭ 2018. Математика. Геометрия. Планиметрия. Задача 16 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.—240 с.

Приложение 1. Избранные задачи тренировочных и экзаменационных работ пополнилось задачами ЕГЭ 2017. С задачами можно познакомиться в разделе ЕГЭ на замечательном сайте ИПС «Задачи по геометрии».

Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень).—М.: МЦНМО, 2018.—352 с.
Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко.—М.: МЦНМО, 2018.—208 с.

Скорее всего, это стереотипные издания.

P.S. Не забывайте заглядывать на сайт www.alleng.ru.

@темы: ЕГЭ, Литература

06:05 

Математический конкурс в ЮУрГУ

wpoms.
Step by step ...
Математический конкурс в ЮУрГУ

Сайт: vk.com/konkursinsusu
Организатор: А. Эвнин

Задания конкурса № 51

Задача 301. [Нечётные цифры] Вася умножил натуральное число п > 1 на 999 999 997. В полученном числе все цифры оказались нечётными. Найдите наименьшее возможное значение п.

Задача 302. [101 корова] B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на 5 групп по 20 коров в каждой, так что суммарный вес коров по всем группам один и тот же. Известно, что каждая корова весит целое число килограммов. Докажите, что все коровы весят одинаково.

Задача 303. [Произведение косинусов] Пусть n — натуральное число. Докажите, что
cos(pi/(2n+1)) * cos((2pi)/(2n+1)) * cos((3pi)/(2n+1)) * ... * cos((n pi)/(2n+1)) = 1/2^n.

Задача 304. [Найдите угол] В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол A=30 градусов; BC+CD+DB=AC. Найдите угол C.

Задача 305. [Циклическое неравенство] Для положительных чисел a_1, a_2, ..., a_n (n>3) докажите неравенство
1 < (a_1)/(a_n+a_1+a_2) + (a_2)/(a_1+a_2+a_3) + ... + (a_n)/(a_{n-1}+a_n+a_1) < n-2.

Задача 306. [Оцените многочлен] Многочлен второй степени f(x) на концах отрезка [a;b] и в его середине принимает значения, по модулю не большие 1. Каково наибольшее возможное значение f(x) на этом отрезке?

Условие в формате pdf смотрите на указанном выше сайте.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Олимпиадные задачи

21:15 

Уравнение

wpoms.
Step by step ...


Найдите все пары `(a, b)` неотрицательных целых числе таких, что `2017^a = b^6 - 32b + 1`.



@темы: Показательные уравнения (неравенства)

18:00 

Игра

wpoms.
Step by step ...


Анна и Берта играют в игру, в которой нужно снимать камешки со стола.
Анна ходит первой. Пусть перед очередным ходом на столе лежат `n \geq 1` камешков, тогда делающий ход игрок снимает со стола `k` камешков, где `k \geq 1` либо четное и `k \leq \frac{n}{2}`, либо нечетное и `\frac{n}{2} \leq k \leq n`. Игрок выигрывает, если своим ходом она снимает со стола последний камень.
Найдите наименьшее `N \geq 100000` такое, что Берта может одержать победу, если на столе лежат ровно `N` камешков в начале игры.



@темы: Дискретная математика

18:06 

В пятиугольнике

wpoms.
Step by step ...


Дан правильный пятиугольник `ABCDE` с центром `M`. Точка `P \neq M` лежит на отрезке `MD`. Окружность, описанная около `ABP`, пересекает отрезок `AE` в точках `A` и `Q`, а так же пересекает прямую, проходящую через `P` перпендикулярно `CD`, в точках `P` и `R`. Докажите, что длины отрезков `AR` и `QR` равны.



@темы: Планиметрия

20:13 

wpoms.
Step by step ...


5519.
Даны три различных натуральных числа. Разрешается к любому из них прибавить наибольший общий делитель двух других. Можно ли за несколько таких операций сделать все числа равными?
%Ю.А. Игнатов (Тула)

читать дальше



@темы: Порешаем?!

12:45 

wpoms.
Step by step ...
Бураго А. Г. Дневник математического кружка: первый год занятий / Перевод с английского А. В. Абакумова. –– М.: МЦНМО, 2017. –– 368 с.

Книга содержит весь необходимый материал для проведения математического кружка в 5––7 классах в течение всего учебного года.
Приводятся подробно изложенные темы для обсуждения в классе, наборы задач с решениями, математические игры и конкурсы. Автор –– преподаватель математических кружков с многолетним стажем –– делится профессиональными навыками ведения кружка. Читатель найдёт в книге советы, как организовать занятие, преподнести материал и избежать типичных ошибок.
Книга адресована учителям и руководителям математических кружков. Также она будет интересна школьникам, увлекающимся математикой, и их родителям.

biblio.mccme.ru/node/5764 (265 руб.)

О новой книге

@темы: Литература

12:33 

wpoms.
Step by step ...
Игнатов Ю.А., Шулюпов В.А., Реброва И.Ю., Устян А.Е., Эвнин А.Ю. Всероссийские студенческие турниры математических боев. Тула, 2002-2015 гг. Часть 1 — Тула: ТГПУ, 2017. — 146 с.
Сборник задач проводившихся в Туле в 2002-2015 студенческих математических боёв. Включает также правила проведения, регламент турниров, сводку результатов.
Предназначен в помощь студентам и преподавателям для подготовки к математическим соревнованиям.

Игнатов Ю.А., Шулюпов В.А., Реброва И.Ю., Устян А.Е., Эвнин А.Ю. Всероссийские студенческие турниры математических боев. Тула, 2002-2015 гг.. Ч.2 — Тула: ТГПУ, 2017. — 148 с.
Сборник задач проводившихся в Туле в 2002-2015 студенческих математических боёв. Включает также правила проведения, регламент турниров, сводку результатов.
Предназначен в помощь студентам и преподавателям для подготовки к математическим соревнованиям.

Полистать можно на www.twirpx.com или либгене.

@темы: Литература

19:06 

И снова многочлены

wpoms.
Step by step ...


Найдите все многочлены $P(x) \in \R[x]$, удовлетворяющие двум условиям:
(a) $P(2017) = 2016$ и
(b) $(P(x) + 1)^2 = P(x^2 + 1)$ для всех действительных $x.$



@темы: Теория многочленов

06:02 

Что-то про многочлены

wpoms.
Step by step ...


Пусть `u` является положительным корнем уравнения `x^2 + x - 4 = 0`. Многочлен
`P(x) = a_n*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + \ldots + a_0,`

где `n` - положительное целое число, имеет неотрицательные целые коэффициенты и `P(u) = 2017`.
1) Докажите, что `a_0 + a_1 + \ldots + a_n \equiv 1 text{mod} 2 `.
2) Найдите максимально возможное значение выражения `a_0+a_1+\ldots+a_n`.



@темы: Теория многочленов

22:36 

Целочисленные тройки

wpoms.
Step by step ...


Найдите все целочисленные тройки `(a,b,c)` такие, что `a > 0 > b > c` и их сумма равна 0 при условии, что
`N=2017-a^3b-b^3c-c^3a`

является квадратом целого числа.



@темы: Теория чисел

12:01 

Много треугольников

wpoms.
Step by step ...


Через точку `A` на плоскости проходят 3 прямые, которые разбивают плоскость на 6 областей.
Внутри каждой области выбраны 5 точек. Известно, что никакие три из выбранных 30 точек не лежат на одной прямой. Докажите, что существует не менее 1000 треугольников с вершинами в выбранных точках таких, что точка `A` находится внутри или на границе треугольников.



@темы: Планиметрия

09:43 

Переходим к старшим

wpoms.
Step by step ...


Остроугольный треугольник `ABC` с `AB < AC < BC` вписан в окружность `c(O,R)`. Окружность `c_1(A,AC)` пересекает окружность `c` в точке `D` и пересекает продолжение стороны `CB` в `E`. Прямая `AE` пересекает `c` в `F` и точка `G` симметрична `E` относительно точки `B`. Докажите, что около четырёхугольника `FEDG` можно описать окружность.



@темы: Планиметрия

20:58 

Игра по правилам

wpoms.
Step by step ...


Компания из `n` игроков играет в настольную игру по следующим правилам.
а) В каждом раунде играют ровно `3` игрока
б) Игра заканчивается через `n` раундов
в) Каждая пара игроков играет вместе по крайней мере в одном раунде.
Найдите наибольшее возможное значение `n`.



@темы: Комбинаторика

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная