• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
16:07 

Почти факториал )))

wpoms.
Step by step ...


Найдите наибольшее целое число `n`, которое равно произведению всех натуральных чисел меньших `sqrt(n)`.



@темы: Теория чисел

01:17 

Описанные окружности

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` и точки `X`, `Y` и `Z` на сторонах `AB`, `BC` и `AC`, соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников `AXZ`, `BXY` и `CYZ` пересекаются в одной точке.



@темы: Планиметрия

22:23 

Ожерелье

wpoms.
Step by step ...


У João были синие, белые и красные жемчужины. Он изготовил из двадцати жемчужин ожерелье, в котором было равное количество синих и белых жемчужин. João заметил, что вне зависимости от того, каким образом разрезать ожерелье на две части с четным количеством жемчужин, в одной из частей количество синих жемчужин будет больше количества белых. Сколько красных жемчужин в ожерелье João?



@темы: Комбинаторика

01:34 

Покажите, что

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что существует натуральное число `k` с таким свойством: если `a`, `b`, `c`, `d`, `e` и `f` - целые числа и `m` является делителем `a^n + b^n + c^n - d^n - e^n - f^n` для всех целых чисел `n` в диапазоне `1 <= n <= k`, то `m` является делителем `a^n + b^n + c^n - d^n - e^n - f^n` для всех натуральных чисел `n`.



@темы: Теория чисел

15:30 

Подмножества

wpoms.
Step by step ...


Множество действительных чисел произвольным образом разделили на два непересекающихся подмножества. Докажите, что для каждой пары натуральных чисел `(m, n)` существуют действительные числа `x < y < z`, принадлежащие одному из подмножеств, для которых `m*(z-y) = n*(y-x)`.



@темы: Теория чисел

00:22 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Функция `f`, определенная для натуральных чисел, задается соотношениями: `f(1) = 1` и, для `n > 1`, `f(n) = f(lfloor (2n-1)/3 rfloor) + f( lfloor (2n)/3 rfloor)`, где `lfloor x rfloor` обозначает наибольшее целое число меньшее или равное `x`. Верно ли, что `f(n) - f(n - 1) <= n` для всех `n > 1`?
[Несколько примеров использования `lfloor x rfloor` : `lfloor pi rfloor = 3`, `lfloor 1729 rfloor = 1729` и `lfloor 2012/1000 rfloor = 2`.]



@темы: Функции

02:06 

Радиусы

wpoms.
Step by step ...


Диагонали `AC` и `BD` вписанного четырехугольника пересекаются в точке `E`. `P`, `Q`, `R` и `S` являются серединами сторон `AB`, `BC`, `CD` и `DA`, соответственно. Докажите, что радиусы окружностей `EPS` и `EQR` имеют равную длину.



@темы: Планиметрия

21:06 

Основания высот

wpoms.
Step by step ...


Дан остроугольный треугольник `ABC`. Основания высот, проведенных из `A`, `B` и `C`, обозначим как `D`, `E` и `F`, соответственно. Докажите, что `DE + DF <= BC` и определите, для каких треугольников достигается равенство.



@темы: Планиметрия

21:40 

Четыре не равно двум

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных чисел не может быть равно произведению двух последовательных натуральных чисел.



@темы: Теория чисел

14:41 

Шарики

wpoms.
Step by step ...


В одной сумке лежит `m` шариков, в другой их `n` (`m, n > 0`). Можно выполнять две разные операции:
a) Удалить равное количество шариков из обеих сумок;
b) Удвоить количество шариков в одной из сумок.
Всегда ли возможно опустошить обе сумки с помощью конечной последовательности операций a) и b)?
Операцию b) заменяют на
b') Утроить количество шаров в одной из сумок.
Всегда ли возможно опустошить обе сумки с помощью конечной последовательности операций a) и b')?



@темы: Дискретная математика

01:20 

Окружности

wpoms.
Step by step ...


Дана окружность `S`. Точка `P` лежит вне `S` и прямая, проходящая через `P`, пересекает `S` в различных точках `X` и `Y`. Окружности `S_1` и `S_2`, проходящие через `P`, касаются `S` в точках `X` и `Y`, соответственно. Докажите, что разность радиусов `S_1` и `S_2` не зависит от положения точек `P`, `X` и `Y`.



@темы: Планиметрия

22:52 

Перестановка

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим числа `1, 2, ..., n`. Найдите, как зависимость от `n`, наибольшее целое число `t`, для которого эти числа могут быть расставлены в ряд так, чтобы все последовательные элементы ряда отличались по крайней мере на `t`.



@темы: Комбинаторика

00:10 

Полные квадраты

wpoms.
Step by step ...


Найдите все (положительные или отрицательные) целые числа `n`, для которых `n^2 + 20n + 11` является полным квадратом. Помните, что вы должны обосновать, что найдены все возможные числа.



@темы: Теория чисел, Школьный курс алгебры и матанализа

00:47 

Раскраска

wpoms.
Step by step ...


Стороны выпуклого `(L + M + N)`-угольника раскрашены в три цвета: `L` сторон красным, `M` сторон желтым и `N` сторон синим. Выразите в виде неравенств необходимые и достаточные условия такой раскраски, при которой две смежные стороны не окрашены одним и тем же цветом.



@темы: Дискретная математика

18:06 

Бак с водой

wpoms.
Step by step ...


Бак имеет форму правильной шестиугольной призмы, стороны основания которого равны `1 m`, а высота `10 m`. Бак наклонен на некоторый угол и частично наполнен водой, объем которой равен `9 m^3`. Плоскость свободной поверхности воды пересекает все боковые рёбра. `2 m` бокового ребра призмы находится под водой. Какая часть противоположного бокового ребра находится под водой?



@темы: Стереометрия

21:57 

Хорды

wpoms.
Step by step ...


В круге единичного радиуса проведены две хорды `AB` и `AC` равной длины.
а) Покажите, как можно построить третью хорду `DE`, которая делится на три равные части точками пересечения с `AB` и `AC`.
б) Если `AB = AC = sqrt{2}`, то на части какой длины `DE` разбивает `AB`?



@темы: Планиметрия

22:40 

Абелева группа

wpoms.
Step by step ...


Пусть `(G, *)` группа с нейтральным элементом `e`. Докажите, что если все элементы `x in G` удовлетворяют условию `x * x = e`, то `(G, *)` абелева (то есть коммутативная).



@темы: Теория групп

21:17 

Световой луч

wpoms.
Step by step ...


Три стороны равностороннего треугольника отражают световые лучи (за исключением его вершин), так что лучи света от источника, расположенного внутри в плоскости треугольника, отражаются в его внутреннюю область. Найдите длину пути светового луча, который был выпущен из вершины треугольника и достиг другой его вершины после отражения последовательно от трех сторон, при условии, что длина стороны треугольника равна 1 м.



@темы: Планиметрия

20:28 

Алгебраическая структура

wpoms.
Step by step ...


Пусть `Z_ {(5)}` обозначает некоторое подмножество множества рациональных чисел `QQ`. Рациональное число принадлежит `Z_ {(5)}` тогда и только тогда, когда 5 является делителем не всех дробей, представляющих это число. (Например, рациональное число 13/10 не принадлежит `Z_ {(5)}`, поскольку знаменатели всех дробей, равных `13/10`, кратны 5. Рациональное число `75/10` принадлежит `Z_ {(5)}`, так как `75/10 = 15/2`).
Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:
а) Какой алгебраической структурой (полугруппа, группа и т.д.) является `Z_ {(5)}` относительно операции сложения?
б) А относительно умножения?
с) Является ли `Z_ {(5)}` подкольцом `QQ`?
г) Является ли `Z_ {(5)}` векторным пространством?



@темы: Высшая алгебра

17:41 

Максимальный объём

wpoms.
Step by step ...


Из металлического диска вырезается круговой сектор, оставшаяся часть диска используется как форма при изготовлении стеклянного конуса максимального объема. Определите, в радианах, величину угла вырезанного сектора.



@темы: Стереометрия, Задачи на экстремум

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная