• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
17:10 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Существует ли бесконечно много пар натуральных чисел `(m,n)`, для которых `n^2 + 1` кратно `m`, а `m^2 + 1`кратно `n`?



@темы: Теория чисел

05:48 

Середина

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC`. `S` - окружность, проходящая через `B` и касающаяся `CA` в `A`, `T` - окружность, проходящая через `C` и касающаяся `AB` в `A`. Окружности `S` и `T` пересекаются в `A` и `D`. `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью, проходящей через точки `A`, `B`, `C`. Докажите, что `D` является серединой `AE`.



@темы: Планиметрия

21:40 

Площадь

wpoms.
Step by step ...


Длины сторон треугольника не превышают `2`, `3` и `4`, соответственно. Определите, с доказательством, максимально возможную площадь треугольника.



@темы: Планиметрия

17:07 

Полные квадраты

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа `n`, для которых `12n -119` и `75n - 539` являются полными квадратами.



@темы: Теория чисел

00:15 

Система уравнений

wpoms.
Step by step ...


Найдите все действительные числа `x`, `y` и `z`, которые одновременно удовлетворяют уравнениям `x^2 - 4y + 7 = 0`, `y^2 - 6z + 14 = 0` и `z^2 - 2x - 7 = 0`.



@темы: Системы НЕлинейных уравнений

23:28 

Точки на одной прямой

wpoms.
Step by step ...


Окружности `S` и `T` касаются в точке `X`. Их общая касательная касается `S` в `A` и `T` в `B`. Точки `A` и `B` различны. Пусть `AP` является диаметром `S`. Докажите, что `B`, `X` и `P` лежат на одной прямой.



@темы: Планиметрия

22:19 

Шашки

wpoms.
Step by step ...


Исаак разместил несколько шашек в квадратах доски размером 8 на 8, не более одной в каждый квадрат. Определите, с обоснованием, какое наибольшее количество шашек мог он разместить, если в каждом ряду, каждой колонке, на каждой большой диагонали находилось менее пяти шашек.



@темы: Комбинаторика

22:05 

Вероятность

wpoms.
Step by step ...


Наудачу выбираются два числа между 0 и 1. Вычислите вероятность того, что одно из них меньше квадрата другого.



@темы: Теория вероятностей

21:59 

Функция

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим вещественную функцию
`f(x) = 1/(|x +3| + |x +1| + |x - 2| + |x - 5|)`
определенную для всех x in RR.
а) найдите ее максимум;
б) постройте график.



@темы: Исследование функций

22:06 

Последовательности

wpoms.
Step by step ...


Пусть `{x_n}` и `{y_n}` две последовательности натуральных чисел, определяемые следующим образом:
`x_1 = 1, \ x_2 = 1, \ x_{n+2} = x_{n+1} + 2*x_n` при` n =1, 2, 3,...` и `y_1 = 1, \ y_2 = 7, \ y_{n+2} = 2*y_{n+1} + 3*y_n` при `n =1, 2, 3,...`
Докажите, что за исключением случая `x_1 = y_1 =1`, не существует ни одного натурального числа, присутствующего в обеих последовательностях.



@темы: Теория чисел

19:37 

wpoms.
Step by step ...

Задачи математической олимпиады Средиземья-3 2012–2014 годов

ya.disk

Благодарю All_ex, Дилетант за неоценимый вклад в подготовку сборника.



@темы: Олимпиадные задачи

10:02 

Углы

wpoms.
Step by step ...


На плоскости лежат прямая `r` и две точки `A` и `B`, которые не принадлежат этой прямой и находятся от нее в одной полуплоскости. Найдите на прямой r точку `M`, такую что угол между `r` и `AM` вдвое больше, чем между `r` и `BM`.



@темы: Планиметрия

20:30 

График функции

wpoms.
Step by step ...


Исследуйте вещественную функцию `f(x) = (1+1/x)^x` определенную на `x in RR setminus [-1, 0]`. Постройте график.



@темы: Исследование функций

23:30 

Предел

wpoms.
Step by step ...


Вычислите предал `lim_{n to infty} 1/n (1/n^k + 2^k/n^k + ... + (n-1)^k/n^k + n^k/n^k)`.
(Для вычисления этого предела можно воспользоваться построением интеграла)



@темы: Пределы

19:14 

Биссекториса

wpoms.
Step by step ...


В треугольнике $ABC$ $I$ -- центр вписанной окружности, $D, E, F$ -- точки касания вписанной окружности и сторон треугольника $BC,CA,AB$ соответственно. Биссектриса угла $BIC$ пересекает $BC$ в $M$, прямая $AM$ пересекает $EF$ в $P$. Докажите, что $DP$ является биссектрисой угла $FDE$.



@темы: Планиметрия

13:44 

Многочлены

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что многочлен $z^{2n} + z^n + 1\ (n \in \mathbb{N})$ делится на многочлен $z^2 + z + 1$ тогда и только тогда, когда $n$ не является кратным $3$.



@темы: Теория многочленов

14:05 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Пусть $M$ лежит на меньшей дуге $AB$. Докажите, что `MC \cdot MD > 3\sqrt{3} \cdot MA \cdot MB`.



@темы: Планиметрия

23:37 

Одна точка

wpoms.
Step by step ...


Дан выпуклый (не обязательно правильный) шестиугольник `ABCDEF`, `AB = BC`, `CD = DE`, `EF = FA` и `/_ABC + /_CDE + /_EFA = 360^@`. Докажите, что перпендикуляры из `A`, `C` и `E` к `FB`, `BD` и `DF`, соответственно, проходят через одну точку.



@темы: Планиметрия

19:44 

Делители

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа `m`, таких что четвертая степень количества натуральных делителей `m` равна `m`.



@темы: Теория чисел

23:14 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Сумма положительных действительных чисел `a`, `b`, `c` и `d` равна `1`. Докажите, что
`(a^2)/(a + b) + (b^2)/(b + c) + (c^2)/(c + d) + (d^2)/(d + a) >= 1/2`,

и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `a = b = c = d = 1//4`.



@темы: Доказательство неравенств

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная