• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
20:07 

Сад камней

wpoms.
Step by step ...


Пусть `n` - натуральное число, большее `2`. У Ванессы есть `n` кучек нефритовых камней с различным количеством камней в кучках. Она может распределить камни из любой кучки среди остальных и получить `n - 1` кучку с равным количеством камней. Она может распределить камни из любых двух кучек среди остальных и получить `n - 2` кучки с равным количеством камней. Определите наименьшее возможное количество камней, которое может находиться в кучке с наибольшим количеством камней?



@темы: Дискретная математика

15:23 

Про подобие

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` с прямым углом `A` и `AB < AC`. Точка `M` - середина `BC`, а точка `D` - точка пересечения отрезка `AC` и перпендикуляра к `BC`, проходящего через `M`. Точка `E` - точка пересечения прямой, параллельной `AC` и проходящей через точку `M`, и перпендикуляра к `BD`, проходящего через `B`. Докажите, что треугольники `AEM` и `MCA` подобны тогда и только тогда, когда угол `ABC` равен шестидесяти градусам.



@темы: Планиметрия

17:08 

Игра

wpoms.
Step by step ...


Нельсон предложил Тельме поиграть в такую игру:
Тельма стирает `2^9` чисел из множества `{0,1, 2, 3, ..., 1024}`, затем Нельсон стирает `2^8` чисел, после этого Тельма стирает `2^7` чисел и так далее пока не останутся только два числа. По завершении игры Нельсон выплачивает Тельме разницу между этими двумя числами в евро. Какую наибольшую сумму может выиграть Тельма вне зависимости от стратегии Нельсона?



@темы: Дискретная математика

02:13 

Если друг оказался вдруг

wpoms.
Step by step ...


Пусть `d` - натуральное число, а `M` и `N` - натуральные, `d`-значные числа. Скажем, что `M` является другом `N`, если при замене любой цифры числа `M` на стоящую на том же месте цифру числа `N` получается число кратное семи. Найдите все `d`, для которых верно утверждение: Для любых двух `d`-значных чисел `M` и `N`, если `M` является другом `N`, то `N` является другом `M`.



@темы: Теория чисел

21:35 

Тогда и только тогда

wpoms.
Step by step ...


На рисунке изображен вписанный в окружность треугольник `ABC`. Точка `E` лежит на окружности, точка `D` лежит на луче `AE` вне круга, а угол `CAB` равен углу `BAE`.
Докажите, что `AB = BD` тогда и только тогда, когда `DE = AC`.






@темы: Планиметрия

22:14 

Треугольники

wpoms.
Step by step ...


Сколько треугольников, с вершинами в точках, отмеченных на рисунке, можно нарисовать?




@темы: Комбинаторика

17:18 

Про квадрат

wpoms.
Step by step ...


Пусть `ABCD` является квадратом и точка `P` лежит на окружности, вписанной в этот квадрат. Определите, возможно ли и нет, чтобы длины всех отрезков `PA`, `PB`, `PC`, `PD` и `AB` были целыми.



@темы: Планиметрия

21:12 

Двоичная запись

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим множество натуральных чисел, двоичная запись которых содержит точно `2013` цифр, среди которых нулей больше чем единиц. Обозначим через `n` количество таких чисел и через `s` их сумму. Докажите, что если сумму `n + s` записать в двоичной системе счисления, то в ней будет больше нулей чем единиц.



@темы: Теория чисел

22:33 

Равенство углов

wpoms.
Step by step ...


Точка `P` лежит внутри треугольника `ABC`, при этом `/_ABP = /_PCA`. Точка `Q` такова, что `PBQC` является параллелограммом. Докажите, что `/_QAB = /_CAP`.



@темы: Планиметрия

17:10 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Существует ли бесконечно много пар натуральных чисел `(m,n)`, для которых `n^2 + 1` кратно `m`, а `m^2 + 1`кратно `n`?



@темы: Теория чисел

05:48 

Середина

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC`. `S` - окружность, проходящая через `B` и касающаяся `CA` в `A`, `T` - окружность, проходящая через `C` и касающаяся `AB` в `A`. Окружности `S` и `T` пересекаются в `A` и `D`. `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью, проходящей через точки `A`, `B`, `C`. Докажите, что `D` является серединой `AE`.



@темы: Планиметрия

21:40 

Площадь

wpoms.
Step by step ...


Длины сторон треугольника не превышают `2`, `3` и `4`, соответственно. Определите, с доказательством, максимально возможную площадь треугольника.



@темы: Планиметрия

17:07 

Полные квадраты

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные числа `n`, для которых `12n -119` и `75n - 539` являются полными квадратами.



@темы: Теория чисел

00:15 

Система уравнений

wpoms.
Step by step ...


Найдите все действительные числа `x`, `y` и `z`, которые одновременно удовлетворяют уравнениям `x^2 - 4y + 7 = 0`, `y^2 - 6z + 14 = 0` и `z^2 - 2x - 7 = 0`.



@темы: Системы НЕлинейных уравнений

23:28 

Точки на одной прямой

wpoms.
Step by step ...


Окружности `S` и `T` касаются в точке `X`. Их общая касательная касается `S` в `A` и `T` в `B`. Точки `A` и `B` различны. Пусть `AP` является диаметром `S`. Докажите, что `B`, `X` и `P` лежат на одной прямой.



@темы: Планиметрия

22:19 

Шашки

wpoms.
Step by step ...


Исаак разместил несколько шашек в квадратах доски размером 8 на 8, не более одной в каждый квадрат. Определите, с обоснованием, какое наибольшее количество шашек мог он разместить, если в каждом ряду, каждой колонке, на каждой большой диагонали находилось менее пяти шашек.



@темы: Комбинаторика

22:05 

Вероятность

wpoms.
Step by step ...


Наудачу выбираются два числа между 0 и 1. Вычислите вероятность того, что одно из них меньше квадрата другого.



@темы: Теория вероятностей

21:59 

Функция

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим вещественную функцию
`f(x) = 1/(|x +3| + |x +1| + |x - 2| + |x - 5|)`
определенную для всех x in RR.
а) найдите ее максимум;
б) постройте график.



@темы: Исследование функций

22:06 

Последовательности

wpoms.
Step by step ...


Пусть `{x_n}` и `{y_n}` две последовательности натуральных чисел, определяемые следующим образом:
`x_1 = 1, \ x_2 = 1, \ x_{n+2} = x_{n+1} + 2*x_n` при` n =1, 2, 3,...` и `y_1 = 1, \ y_2 = 7, \ y_{n+2} = 2*y_{n+1} + 3*y_n` при `n =1, 2, 3,...`
Докажите, что за исключением случая `x_1 = y_1 =1`, не существует ни одного натурального числа, присутствующего в обеих последовательностях.



@темы: Теория чисел

19:37 

wpoms.
Step by step ...

Задачи математической олимпиады Средиземья-3 2012–2014 годов

ya.disk

Благодарю All_ex, Дилетант за неоценимый вклад в подготовку сборника.



@темы: Олимпиадные задачи

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная