• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms. (список заголовков)
06:51 

Точки на окружности

wpoms.
Step by step ...


Существует ли такая окружность и такое бесконечное множество точек на ней, что расстояние между любыми двумя точками из этого множества является рациональным?



@темы: Планиметрия

20:20 

Многочлен

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим многочлен с неотрицательными действительными коэффициентами `p(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n`. Предположим, что `p(4) = 2` и `p(16) = 8`. Докажите, что `p(8) <= 4` и найдите, с доказательством, все такие многочлены, для которых `p(8) = 4`.



@темы: Доказательство неравенств, Теория многочленов

22:01 

Взаимнопростые числа

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что среди любых десяти последовательных целых чисел найдется одно число, которое будет взаимно простым с остальными числами. Например, рассмотрим числа `114`, `115`, `116`, `117`, `118`, `119`, `120`, `121`, `122`, `123`. Числа `119` и `121` будут взаимно просты с остальными числами. [Два целых числа `a`, `b` называются взаимно простыми если их наибольший общий делитель равен единице.]



@темы: Теория чисел

03:26 

Равенство

wpoms.
Step by step ...


Для всех натуральных чисел `n` найдите (с доказательством) все натуральные числа `m`, для которых существуют натуральные числа `x_1 < x_2 < ... < x_n`, удовлетворяющие равенству `1/(x_1)+2/(x_2)+ ... n/(x_n) = m`.



@темы: Теория чисел

21:34 

Геометрическое неравенство

wpoms.
Step by step ...


Четырехугольник `ABCD` вписан в окружность радиуса `R`. Обозначим длины сторон `ABCD` как `a`, `b`, `c`, `d` и пусть площадь `ABCD` равна `Q`. Докажите, что `R^2 =((a*b + c*d)*(a*c + b*d)*(a*d + b*c))/(16*Q^2)`. Докажите, что `R >= ((a*b*c*d)^(3/4))/(Q*sqrt(2))` и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `ABCD` является квадратом.



@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

13:49 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что для всех действительных чисел `x >= 0`, `y >= 0`, `x + y = 2` выполняется неравенство `x^2*y^2*(x^2 + y^2) <= 2`.



@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

10:23 

Параболические окружности )))

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим все параболы вида `y = x^2 + 2*p*x + q` (`p`,`q` действительные числа), которые пересекают оси `0x`и `0y`в трех различных точках. Обозначим `C_{p,q}` окружность, проходящую через точки пересечения параболы `y = x^2 + 2*p*x + q` с осями. Докажите, что все окружности `C_{p,q}` имеют общую точку.



@темы: Линии второго порядка

21:53 

Прогрессии

wpoms.
Step by step ...


Даны действительные числа `a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_M`. Назовем `{a_1, a_2, ..., a_M}` слабой арифметической прогрессией длины `M` если существуют действительные числа `x_0, x_1, x_2,..., x_M` и `d` для которых `x_0 <= a_1 < x_1 <= a_2 < x_2 <= a_3 < x_3 <= ... <= a_M < x_M` и для `i = 0, 1, 2,..., M - 1`, `x_{i+i} - x_i = d`, т.е. `{x_0, x_1,x_2,..., x_M}` является арифметической прогрессией.
(a) Докажите, что если `a_1 < a_2 < a_3`, то `{a_1, a_2, a_3}` является слабой арифметической прогрессией длины `3`.
(b) Пусть `A` является подмножеством `{0, 1, 2, 3,..., 999}` и содержит по крайней мере `730` элементов. Докажите, что `A` содержит слабую арифметическую прогрессию длины `10`.



@темы: Прогрессии

20:13 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Дана функция `f(x) = 5*x^13 + 13*x^5 + 9*a*x`. Найдите наименьшее натуральное число `a`, для которого `65` делит `f(x)` для всех целых `x`.



@темы: Теория чисел, Теория многочленов

19:33 

Два в одном

wpoms.
Step by step ...


Дан правильный пятиугольник `ABCDE` с длиной стороны `1`. Точка `F` делит `AB` на равные части, точки `G`, `H` лежат на сторонах `CD` и `DE`, соответственно, при этом `/_GFD = /_HFD = 30^@`. Докажите, что треугольник `GFH` равносторонний. Квадрат вписан в треугольник `GFH`, при этом одна сторона квадрата лежит на `GH`. Докажите, что длина `FG` равна `t = (2 * cos 18^@ * (cos 36^@)^2)/(cos 6^@)` и что длина стороны квадрата равна `(t*sqrt(3))/(2 + sqrt(3))`.



@темы: Планиметрия

21:14 

Пример с доказательством

wpoms.
Step by step ...


Множество `S` состоит из чисел вида `a(n) = n^2 + n + 1`, где `n` натуральное число. Докажите, что произведение `a(n)*a(n + 1)` принадлежит `S` для всех натуральных чисел `n`. Приведите пример, с доказательством, пары чисел `s, t in S` таких, что `s*t notin S`.



@темы: Множества, Теория чисел

20:07 

Сад камней

wpoms.
Step by step ...


Пусть `n` - натуральное число, большее `2`. У Ванессы есть `n` кучек нефритовых камней с различным количеством камней в кучках. Она может распределить камни из любой кучки среди остальных и получить `n - 1` кучку с равным количеством камней. Она может распределить камни из любых двух кучек среди остальных и получить `n - 2` кучки с равным количеством камней. Определите наименьшее возможное количество камней, которое может находиться в кучке с наибольшим количеством камней?



@темы: Дискретная математика

15:23 

Про подобие

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` с прямым углом `A` и `AB < AC`. Точка `M` - середина `BC`, а точка `D` - точка пересечения отрезка `AC` и перпендикуляра к `BC`, проходящего через `M`. Точка `E` - точка пересечения прямой, параллельной `AC` и проходящей через точку `M`, и перпендикуляра к `BD`, проходящего через `B`. Докажите, что треугольники `AEM` и `MCA` подобны тогда и только тогда, когда угол `ABC` равен шестидесяти градусам.



@темы: Планиметрия

17:08 

Игра

wpoms.
Step by step ...


Нельсон предложил Тельме поиграть в такую игру:
Тельма стирает `2^9` чисел из множества `{0,1, 2, 3, ..., 1024}`, затем Нельсон стирает `2^8` чисел, после этого Тельма стирает `2^7` чисел и так далее пока не останутся только два числа. По завершении игры Нельсон выплачивает Тельме разницу между этими двумя числами в евро. Какую наибольшую сумму может выиграть Тельма вне зависимости от стратегии Нельсона?



@темы: Дискретная математика

02:13 

Если друг оказался вдруг

wpoms.
Step by step ...


Пусть `d` - натуральное число, а `M` и `N` - натуральные, `d`-значные числа. Скажем, что `M` является другом `N`, если при замене любой цифры числа `M` на стоящую на том же месте цифру числа `N` получается число кратное семи. Найдите все `d`, для которых верно утверждение: Для любых двух `d`-значных чисел `M` и `N`, если `M` является другом `N`, то `N` является другом `M`.



@темы: Теория чисел

21:35 

Тогда и только тогда

wpoms.
Step by step ...


На рисунке изображен вписанный в окружность треугольник `ABC`. Точка `E` лежит на окружности, точка `D` лежит на луче `AE` вне круга, а угол `CAB` равен углу `BAE`.
Докажите, что `AB = BD` тогда и только тогда, когда `DE = AC`.






@темы: Планиметрия

22:14 

Треугольники

wpoms.
Step by step ...


Сколько треугольников, с вершинами в точках, отмеченных на рисунке, можно нарисовать?




@темы: Комбинаторика

17:18 

Про квадрат

wpoms.
Step by step ...


Пусть `ABCD` является квадратом и точка `P` лежит на окружности, вписанной в этот квадрат. Определите, возможно ли и нет, чтобы длины всех отрезков `PA`, `PB`, `PC`, `PD` и `AB` были целыми.



@темы: Планиметрия

21:12 

Двоичная запись

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим множество натуральных чисел, двоичная запись которых содержит точно `2013` цифр, среди которых нулей больше чем единиц. Обозначим через `n` количество таких чисел и через `s` их сумму. Докажите, что если сумму `n + s` записать в двоичной системе счисления, то в ней будет больше нулей чем единиц.



@темы: Теория чисел

22:33 

Равенство углов

wpoms.
Step by step ...


Точка `P` лежит внутри треугольника `ABC`, при этом `/_ABP = /_PCA`. Точка `Q` такова, что `PBQC` является параллелограммом. Докажите, что `/_QAB = /_CAP`.



@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная