• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: wpoms (список заголовков)
07:37 

wpoms
Step by step ...
С Днём рождения, aalleexx, и всего наилучшего!!!





P.S. На форуме alexlarin.com начался 5 6 сезон популярного вариала.

Вариант 201.

1. Шоколадка стоит 40 рублей. В воскресенье в супермаркете действует
специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три
(одну – в подарок). Какое наибольшее количество шоколадок можно получить,
потратив не более 320 рублей в воскресенье?

читать дальше

Вариант в виде pdf: alexlarin.net/ege/2018/trvar201.html

@темы: Праздники, Порешаем?!, ЕГЭ

15:15 

Куба

wpoms
Step by step ...
15:13 

Швейцария

wpoms
Step by step ...


Швейцария

Suisse yodle chanson



Swiss Mathematical Olympiad



@темы: Ссылки

15:01 

Венесуэла

wpoms
Step by step ...
Венесуэла

Soledad Bravo - Cantos de Pilón



Olimpíada Juvenil de Matemática de Venezuela

@темы: Олимпиадные задачи, Ссылки

04:32 

wpoms
Step by step ...
ТУЙМААДА-2016 (15-22 июля, Якутск)

Старшая лига

читать дальше

@темы: Олимпиадные задачи

19:35 

wpoms
Step by step ...
Очередная порция задач из Математики в школе. (vk.com/club1126038)

5463.
Сорок детей водили хоровод. Из них 22 держали за руку мальчика и 30 держали за руку девочку. Сколько девочек было в хороводе?
%Е.В. Бакаев (Москва)

5464.
На сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC` выбраны точки `M` и `N,` соответственно. Известно, что `BM = BN` и `AO = OC,` где `O` --- точка пересечения отрезков `AN` и `CM.` Докажите, что треугольник `ABC` равнобедренный.
%Из задач олимпиады «Формула Единства/Третье Тысячелетие», 2015-2016

5465.
Существуют ли такие целые числа `m` и `n,` что:
а) уравнение `x^2 + mx + n = 0` не имеет корней, а уравнение `[x^2] + mx + n = 0` имеет?
б) уравнение `x^2 + mx + 2n = 0` не имеет корней, а уравнение `[x^2] + 2mх + n = 0` имеет?
(`[\alpha]` --- целая часть числа `\alpha.`)
%А.И. Храбров (С.-Петербург)

5466.
Пусть `l` --- общая внешняя касательная к окружностям `S_1` и `S_2,` касающимся друг друга внешним образом, а `C_1` --- окружность, вписанная в криволинейный треугольник, ограниченный `S_1,` `S_2` и `l.` Окружности `C_2,` ..., `C_n` построены так, что `C_{k+1}` касается внешним образом `S_1,` `S_2` и `C_k,` `k = 1, ..., п-1` (рис. 1).

Найдите отношение расстояния от центра окружности `C_n` до прямой `l` к радиусу этой окружности.
%А.Ю. Эвнин (Челябинск)

5467.
Имеется `n`-вершинный граф, про который мы должны выяснить, связный ли он. За один шаг можно про любую пару вершин узнать, соединены ли эти вершины ребром. Существует ли алгоритм, гарантирующий нам выполнение задачи быстрее, чем за `(n(n-1))/2` шагов?
%К.А. Кноп (С.-Петербург)

@темы: Головоломки и занимательные задачи

21:02 

wpoms
Step by step ...
В одном из комментариев приведено условие такой задачи

Дана последовательность из 10 натуральных чисел, причем каждый следующий элемент больше предыдущего не более чем на 10. Среднее арифметическое первых пяти чисел равно 15, последних шести равно 50.
а) может ли среднее арифметическое первых 4 быть равно 11?
б) может ли среднее арифметическое первых 4 быть равно 14?
в) какое самое большое число может быть средним арифметическим всех 10 чисел?

Решение в сети найти не удалось, за исключением испорченного изображения.

читать дальше

Пожалуйста, помогите восстановить пропуски или напишите свое полное решение.
:beg:

@темы: ЕГЭ

10:04 

wpoms
Step by step ...
57 Международная математическая олимпиада

Агаханов Н. Х., руководитель сборной команды
Терёшин Д. А., заместитель руководителя сборной команды
Пратусевич М. Я., заместитель руководителя сборной команды

Вепрев Г. А., Лицей № 2, г. Рыбинск, Ярославская область
Губкин П. В., Президентский физико-математический лицей № 239, Санкт-Петербург
Карагодин Н. А., Президентский физико-математический лицей № 239, Санкт-Петербург
Салимов Р. И., Школа № 1329, Москва
Фролов И. И., Школа № 1329, Москва
Юргин Г. А., Лицей «Вторая школа», Москва

Успехов!



Day 1.

1. Triangle `BCF` has a right angle at `B`. Let `A` be the point on line `CF` such that `FA=FB` and `F` lies between `A` and `C`. Point `D` is chosen so that `DA=DC` and `AC` is the bisector of `/_DAB`. Point `E` is chosen so that `EA=ED` and `AD` is the bisector of `/_EAC`. Let `M` be the midpoint of `CF`. Let `X` be the point such that `AMXE` is a parallelogram. Prove that `BD,` `FX` and `ME` are concurrent.

2. Find all positive integers `n` for which each cell of `n x n` table can be filled with one of the letters I, M, O in such way that:
- in each row and each collumn, one third of the entries are I, one third are M, one third are O; and
- in any diagonal, if the number of entries on the diagonal is a multiple of three, then one third of the entries are I, one third are M, one third are O.
Note. The rows and columns of an `n x n` table are each labelled `1` to `n` in a natural order. Thus each cell corresponds to a pair of positive integer `(i,j)` with `1 <= i,j <= n`. For `n>1`, the table has `4n-2` diagonals of two types. A diagonal of first type consists all cells `(i,j)` for which `i+j` is a constant, and the diagonal of this second type consists all cells `(i,j)` for which `i-j` is constant.

3. Let `P=A_1A_2...A_n` be a convex polygon in the plane. The vertices `A_1, A_2, ... A_n` have integral coordinates and lie on a circle. Let `S` be the area of `P`. An odd positive integer `n` is given such that the squares of the side lengths of `P` are integers divisible by `n`. Prove that `2S` is an integer divisible by `n`.

Day 2.

4. A set of postive integers is called fragrant if it contains at least two elements and each of its elements has a prime factor in common with at least one of the other elements. Let `P(n)=n^2+n+1`. What is the least possible positive integer value of `b` such that there exists a non-negative integer `a` for which the set
`{P(a+1),P(a+2),...,P(a+b)}`

is fragrant?

5. The equation
`(x-1)(x-2)...(x-2016)=(x-1)(x-2)...(x-2016)`

is written on the board, with `2016` linear factors on each side. What is the least possible value of `k` for which it is possible to erase exactly `k` of these `4032` linear factors so that at least one factor remains on each side and the resulting equation has no real solutions?

6. There are `n >= 2` line segments in the plane such that every two segments cross and no three segments meet at a point. Geoff has to choose an endpoint of each segment and place a frog on it facing the other endpoint. Then he will clap his hands `n-1` times. Every time he claps, each frog will immediately jump forward to the next intersection point on its segment. Frogs never change the direction of their jumps. Geoff wishes to place the frogs in such a way that no two of them will every occupy the same intersection point at the same time.
(a) Prove that Geoff can always fulfill his wish if `n` is odd.
(b) Prove that Geoff can never fulfill his wish if `n` is even.



@темы: Олимпиадные задачи

19:57 

wpoms
Step by step ...
Официальные решения и критерии оценивания занимательных задач ЕГЭ 2016

Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {200;201;202;...299} хорошим?
б) Является ли множество {2;4;8;...;2^(100)} хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества {1;2;4;5;7;9;11}?
читать дальше

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа `a` и `b`, записанные на доске, заменяются на два числа: или `a+b` и `2a-1`, или `a+b` и `2b-1` (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
читать дальше

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
читать дальше

Последовательность `a_1,` `a_2,` ..., `a_n` (`n >= 3`) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при `n = 10`?
читать дальше

В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» --- процент побед, округлённый до целого, «ничьи» --- процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
читать дальше

Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно `113/27`.
б) Может ли это число равняться `125/27`?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
читать дальше

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно `A`, среднее арифметическое чисел во второй группе равно `B`. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше `(A+B)/2`;
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно `(A+B)/2`;
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения `(A+B)/2`.
читать дальше

Последовательность `a_1, a_2, ..., a_6` состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть `M_k` - среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме `k`-го. Известно, что `M_1 = 1`, `M_2 = 2`.
а) приведите пример такой последовательности, для которой `M_3 = 1.6`.
б) существует ли такая последовательность, для которой `M_3 = 3`?
в) Найдите наибольшее возможное значение `M_3`.
читать дальше

Материалы сайта alexlarin.net

@темы: ЕГЭ

12:31 

wpoms
Step by step ...
В сообществе Волшебство Wasan можно найти задачи традиционной японской математики.



24 декабря 2015 г.



Требуется доказать, что диаметр желтой окружности равен удвоенному корню
из произведения диаметров синей и зеленой окружностей.





В большинстве предлагаемых задач для решения достаточно использовать теорему Пифагора. В данной задаче можно рассмотреть прямоугольный треугольник с вершинами в центре красной окружности, точке касания желтых окружностей и центре желтой окружности.


Попробуйте решить эту и другие опубликованные в сообществе задачи. Если возникнут проблемы с пониманием условий, то пишите, попробуем разобраться вместе.

@темы: Планиметрия

11:10 

wpoms
Step by step ...
Эта задача для ценителей, знающих что представляет собою вписанный в прямоугольник круг.





Найдите длину малой оси эллипса, если известны длины оснований равнобедренной трапеции.



@темы: Планиметрия

06:13 

wpoms
Step by step ...
Еще один возможный вариант заданий ЕГЭ

а) Решите уравнение `2*log_9^2 x - 3*log_9 x + 1 = 0.`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[sqrt(10); sqrt(99)].`

В правильной треугольной призме `ABCA_1B_1C_1` сторона `AB` основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах `B_1C_1` и `A_B` отмечены точки `P` и `Q` соответственно, причём `PC_1 = 3,` а `AQ = 4.` Плоскость `A_1PQ` пересекает ребро `BC` в точке `M.`
а) Докажите, что точка `M` является серединой ребра `BC.`
б) Найдите расстояние от точки `B` до плоскости `A_1PQ.`

Решите неравенство:
`(27^(x+1/3)-10*9^x+10*3^x-5)/(9^(x+1/2)-10*3^x+3) <=`
`3^x + 1/(3^x-2) + 1/(3^(x+1)-1).`

На катетах `AC` и `BC` прямоугольного треугольника `ABC` как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке `M.` Точка `Q` лежит на меньшей дуге `MB` окружности с диаметром `BC.` Прямая `CQ` второй раз пересекает окружность с диаметром `AC` в точке `P.`
а) Докажите, что прямые `PM` и `QM` перпендикулярны.
б) Найдите `PQ,` если `AM = 6,` `BM = 2,` а `Q` --- середина дуги `MB.`

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере `S` тыс. рублей, где `S` --- натуральное число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 17,5% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
07.2016 — S
07.2017 — 0,9S
07.2018 — 0,4S
07.2019 — 0
Найдите наименьшее значение `S,` при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Найдите все значения `а,` при каждом из которых система уравнений
`(xy^2-xy-6y+6)sqrt(y+2) = 0,`
`y = ax`
имеет ровно три различных решения.

Последовательность `a_1, a_2, ..., a_6` состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть `M_k` --- среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме `k`-го. Известно, что `M_1 = 1,` `M_2 = 2.`
а) приведите пример такой последовательности, для которой `M_3 = 1.6.`
б) существует ли такая последовательность, для которой `M_3 = 3?`
в) Найдите наибольшее возможное значение `M_3.`

@темы: ЕГЭ

11:43 

Задания резервного дня

wpoms
Step by step ...
Задания резервного дня1



а) Решите уравнение `sin 2x + 2cos(x-pi/2) = sqrt3 cos x + sqrt3.`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-3pi; -(3pi)/2].`



На ребрах `CD` и `B B_1` куба `ABCDA_1B_1C_1D_1` c ребром 12 отмечены точки `P` и `Q` соответственно, причем `DP=4,` а `B_1Q=3.` Плоскость `APQ` пересекает ребро `C C_1` в точке `M.`
а) Докажите, что точка `M` является серединой ребра `C C_1.`
б) Найдите расстояние от точки `C` до плоскости `APQ.`



Решите неравенство:
`(9^x-3^(x+1)-19)/(3^x-6) + (9^(x+1)-3^(x+4)+2)/(3^x-9) <= 10*3^x + 3.`



В прямоугольном треугольнике `ABC` с прямым углом `C` точки `M` и `N` --- середины катетов `AC` и `BC` соответственно, `CH` --- высота.
а) Докажите, что прямые `MH` и `NH` перпендикулярны.
б) Пусть `P` --- точка пересечения прямых `AC` и `NH,` а `Q` --- точка пересечения прямых `BC` и `MH.` Найдите площадь треугольника `PQM,` если `AH=4` и `BH=2.`



Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года.
Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на `x` млн рублей, где `x` --- целое число. Найдите наименьшее значение `x,` при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.



Найдите все значения параметра `a,` при каждом из которых система уравнений
`(x-3)(y+3x-9) = |x-3|^3,`
`y=x+a`
имеет ровно четыре различных решения.



На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно `A,` среднее арифметическое чисел во второй группе равно `B.` (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше `(A+B)/2`;
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно `(A+B)/2`;\\
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения `(A+B)/2`.

-----------------------------------------
1 alexlarin.net

@темы: ЕГЭ

09:47 

wpoms
Step by step ...


Как показано на рисунке, центры равных соприкасающихся кругов лежат на диагоналях ромба, центр одного из них совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба, а крайние круги касаются сторон ромба. Определите количество кругов, если известны диаметр круга, сумма и произведение длин диагоналей ромба.





@темы: Планиметрия

09:46 

wpoms
Step by step ...


На рисунке изображены четыре равные большие пересекающиеся окружности, одна средняя окружность, касающаяся больших окружностей, и восемь равных маленьких окружностей. Окружности касаются своих соседей. Найдите длину диаметра маленькой окружности, если известна длина диаметра средней окружности.





@темы: Планиметрия

18:20 

wpoms
Step by step ...
Результаты профильного ЕГЭ по математике продемонстрировали рост уровня подготовки выпускников

Предварительные результаты ЕГЭ по математике профильного уровня, прошедшего 6 июня, продемонстрировали рост уровня подготовки выпускников, которые станут абитуриентами технических вузов.

читать дальше

@темы: Новости, ЕГЭ

09:21 

Занимательные задачи, ЕГЭ 2016, 6 июня

wpoms
Step by step ...
Занимательные задачи, ЕГЭ 2016, 6 июня

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 27. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых больше 53 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 4 ходов.
б) Можно ли сделать 9 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

читать дальше

@темы: ЕГЭ

09:17 

Уравнения, неравенства, параметры, ЕГЭ 2016, 6 июня

wpoms
Step by step ...
Уравнения, неравенства, параметры, ЕГЭ 2016, 6 июня

а) Решите уравнение `2cos2x=4sin(pi/2+x)+1`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-5pi/2; -pi]`

читать дальше

@темы: ЕГЭ, Задачи с параметром, Иррациональные уравнения (неравенства), Комбинированные уравнения и неравенства, Логарифмические уравнения (неравенства)

07:29 

Геометрия, ЕГЭ 2016, 6 июня

wpoms
Step by step ...
Геометрия, ЕГЭ 2016, 6 июня

В правильной призме `A\dots C_1` сторона основания `AB` равна 6, а боковое ребро `AA_1` равно 3. На ребре `B_1C_1` отмечена точка `L` так, что `B_1L=1`. Точки `K` и `M` --- середины рёбер `AB` и `A_1C_1` соответственно. Плоскость
`\gamma` параллельна прямой `AC` и содержит точки `K` и `L`.
а) Докажите, что прямая `BM` перпендикулярна плоскости `\gamma`.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой --- точка `M`, а основание --- сечение призмы плоскостью `\gamma`.
б') Найдите расстояние от вершины `C`, до плоскости `\gamma`.

читать дальше

@темы: Стереометрия, Планиметрия, ЕГЭ

16:53 

ЕГЭ, 6.6.2016

wpoms
Step by step ...
ЕГЭ, 6.6.2016

Какие впечатления от экзамена? Какие задачи запомнились?

@темы: ЕГЭ

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная