Записи пользователя: Sunline1990 (список заголовков)
13:38 

Геометрическая задача (треугольник)

Здравствуйте! Есть задача:
Дан треугольник `ABC`, где `A A_1` - биссектриса, `B B_1` - высота, `C C_1` - медиана., которые пересекаются в одной точке. Две стороны равны `AB=9` и `AC=31`. Найти `cos(BAC)`.
Мои попытки: Воспользовался свойством биссектрисы, чтобы найти соотношение `A_1 B : A_1 C = 9:31` Далее, не знаю зачем, но нашел, в каком диапазоне лежит длина третьей стороны - (22; 40). Возможно, здесь пригодится теорема косинусов. Больше ничего хорошего не придумал.

Прошу помочь с данной задачей. Заранее спасибо!

@темы: Задачи вступительных экзаменов

17:55 

График функции

Здравствуйте! Есть такое задание:
Построить график функции `y=(x^2-4x+4)/(x-2)-(4x-x^2)/(x)`

Мое решение здесь
Есть сомнения насчет того, правильно ли я нарисовал график (а именно, правильно ли я выколол точки)?

Прошу проверить это задание.

Заранее спасибо!

@темы: Исследование функций

17:52 

Задача на параллельное проектирование

Здравствуйте! Есть такая задача:
Построить изображение прямоугольника со сторонами 1 и 2, имея изображение одной из его вершины, описанной около него окружности и центра этой окружности.
Мое решение Рисунок
Проводим диагонали. Центр окружности - точка пересечения этих диагоналей. Изображением будет эллипс. Параллельность прямых сохранена, отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых тоже

Возникает вопрос: для чего даны стороны с длинами 1 и 2? Ведь при параллельном проектировании длины не сохраняются, верно? То есть единственное, что должно быть отображено (в плане длин на этом рисунке) это то, что `A_1 B_1 < B_1 C_1` `C_1 D_1 < A_1 D_1`?

Заранее спасибо за помощь!

@темы: Задачи вступительных экзаменов

09:58 

Задача по стереометрии

Здравствуйте! Есть такое задание:
Все ребра правильной четырехугольной пирамиды с основанием `ABCD` имеют длину 1. Точки `M` и `N` - середины ребер `AB` и `SC` соответственно. На прямых `AS` и `BN` выбраны точки `P` и `Q` так, что прямая `PQ` параллельна прямой `CM`. Найти длину отрезка `PQ`.
Мое решение:
Нарисовал пирамиду рисунок
Думал провести перпендикуляр из точки `M` на прямую `AS` и найти точку `P`, то есть `PM` перпендикулярно `AS`. Можно найти соотношение `AP : PS = 1 : 3` через подобие треугольников. Но как провести из этой точки прямую, параллельную `CM` и пересекающую `BM`- ума не приложу.
Прошу помощи в решении.

Заранее спасибо!

@темы: Стереометрия, ЕГЭ

23:10 

Два задания с параметром

Здравствуйте! Есть два задания:
Решить неравенства:
1. `(a-1)*2^(sqrt(x))>a-3`
Мое решение

2. `log_{x-3}(2x-a) < 1`
Мое решение

Прошу проверить, правильно ли решены эти задания.
Заранее спасибо за помощь!

@темы: Задачи с параметром

13:33 

Задание с параметром

Здравствуйте! Есть такое задание:
Решить уравнение для всех значений параметра `log_(1/3)(9^x+a)+log_3(2*3^x)=0`
Ниже мое решение:


Не уверен, правильно ли я его решил. Прошу Вас проверить.
Заранее спасибо!

22:23 

Задача на сечение многогранников (тетраэдр)

Здравствуйте. Есть такая задача:
В тетраэдре `DABC`: `T in AD`, `AT:TD=1:5`; `P in DC`, `DP:PC=2:1`; `K in AB`, `AK:KB=3:1`.
а) Построить сечение тетраэдра плоскостью `TPK`.
б) В каком отношении плоскость сечения делит объем тетраэдра?

Мое решение:
а) Построил `TPK`сечение плоскостью
б) Первое, что нужно найти, это отношение объемов пирамид `DABC` и `SPCM` соответственно.
`V_(DABC):V_(PSMC)=(1/3*1/2*AC*BC*sinACB)/(1/3*1/2*AC*CM*sinACB)=(BC)/(CM)`
Найденное отношение `(CB)/(CM)` можно найти по теореме Менелая из треугольника `CBA`
`(CM)/(BM)*(BK)/(AK)*(SA)/(SC)=1`;
`(CM)/(BM)*(BK)/(AK)*(SA)/(SC)=1`;
`(CM)/(BM)*1/3*(SA)/(SC)=1`;
`(BM)/(CM)=1/3*(SA)/(SC)` => [так как нужно отношение `(BC)/(CM)`, то `BM=BC-MC`] => `(BC-MC)/(MC)=1/3*(SA)/(SC)` => `(BC)/(MC)=1/3*(SA)/(SC)+1`;
Теперь нужно найти отношение `SA:SC` `MSC` по теореме Менелая:
`(AC)/(SA)*(SK)/(KM)*(BM)/(BC)=1`;
`(SC-SA)/(SA)*(SK)/(KM)*(BM)/(BC)=1`;
`(SC)/(SA)=(KM)/(SK)*(BC)/(BM)+1`.
Но теперь нужно найти отношение `(KM)/(SK)`. И здесь я не знаю, что делать дальше. Наверное, есть какие-то подобные треугольники, но я их не вижу.
Прошу помощи.

@темы: ЕГЭ, Задачи вступительных экзаменов

19:13 

Задачи на сечение многогранников

Здравствуйте. Есть такое задание:
В треугольной призме `ABCA_1B_1C_1` точка `M in A A_1` `AM:MA_1=1:3`; `N in C C_1`, `CN:NC_1=5:2` ; `K in BC`, `BK:BC=1:3` Построить сечение призмы плоскостью `MNK`. Найти в каком отношении плоскость сечения делит объем призмы?

Мое решение.
1. Построил сечение. Проверьте, пожалуйста, правильно или нет?
2. А вот насчет объема не знаю вообще, что делать. Понятное дело, что можно ввести коэффициенты пропорциональности, и именно `AM=x, MA_1=3x`; `CN=5y, NC_1=2y`;`BK=z, BC=3z, KC=2z`. Но что с этим делать дальше?

Заранее спасибо за помощь!

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Стереометрия

10:01 

Задача по геометрии

Здравствуйте! Есть такая задача.
Пусть на стороне `BC` треугольника `ABC` так выбраны точки `K` и `L`, что `angle CAK = angle BAL`Доказать, что `(BK)/(CK)*(BL)/(CL)=((AB)/(AC))^2`
Мои попытки решения:
Не знаю, как лучше нарисовать рисунок. Точки `K` и `L` разместить от вершины `B` или точки `K` и `L` разместить от вершины `C`. Я так понимаю, нужно рассматривать два случая? Дальше у меня тупик, не знаю, что здесь нужно применить.
Если рассмотреть первый случай, то думал, что нужно начать выражать отношения сторон через площади треугольников. Рисунок
Например, пусть `angle CAE = angle BAL = x`, тогда площади треугольников можно выразить через две формулы:
а) `S_(ABL) = 1/2*BL*AH` и `S_(ABL)=1/2*AB*AL*sin(x)`
`S_(AKC)=1/2*CK*AH` и `S_(AKC)=1/2*AK*AC*sin(x)`
`BL*AH=AB*AL*sin(x) `
`CK*AH=AK*AC*sin(x)`
Выражаем высоту `AH`и получаем отношение `(AB)/(AC)*(AL)/(BL)=(AK)/(CK)`

Дальше я не знаю, что делать. Прошу у Вас помощи.

@темы: ЕГЭ

16:32 

Уравнение с параметром

Здравствуйте. Есть такое задание:
Найти все значения параметра `a`, при которых на луче `(-infty;0]` уравнение `(a-4)x^2+2(a+2)x+a+4=0` имеет единственное решение.

Моё решение. Я так понимаю, что фраза " на луче `(-infty;0]` " означает, что `x in (-infty;0]`. Тогда, если уравнение имеет единственное решение, то дискриминант должен равняться нулю, то есть:
`D=0 => D=4(a+2)^2-4(a-4)(a+4) => 16a+80=0 => a=-5`
Тогда, `x=-1/3, x in (-infty;0]`.

Верны ли мои рассуждения и правильный ли ответ? Если есть ошибка, прошу подсказать, как тогда решаются такие уравнения.
Заранее спасибо!

@темы: Задачи с параметром, ЕГЭ

23:06 

Проблема с решением двух заданий

Здравствуйте. Есть два задания:
Даны функции `p(x)=|x^2-3*|x-6|-1|` и `g(x)=sqrt(|x|-3)`
1. Решить неравенство `p(x-1)<=2*p(x+1)`
2. Найти область определения функции `g(sqrt(x+sqrt(x)))`
Мои попытки.
1.Я так понимаю, что подстановка в функцию `p(x)` аргументов `x-1` и `x+1` намного усложнит решение задачи. Не знаю, какой алгоритм решения здесь применить.
2. Здесь область определения после подстановки аргумента `sqrt(x+sqrt(x))` в функцию `g(x)=sqrt(|x|-3)` следующая:
`|sqrt(x+sqrt(x))|-3>=0`
`|sqrt(x+sqrt(x))|>=3`

a) `sqrt(x+sqrt(x))>=3 `
`x+sqrt(x)>=9 `
`sqrt(x)>=9-x ` ,причем `9-x>=0` или `x<=9`
`x>=81-18x+x^2` ,причем `(9-x)^2>=0`, что верно для любого x
`x^2-19x+81<=0`
`x in ((19-sqrt(37))/2 ; 9) uu (9 ; (19+sqrt(37))/2)` (с учетом `x<=9`)
b) `sqrt(x+sqrt(x))<=-3` не имеет смысл.
Тогда, ответ: `x in ((19-sqrt(37))/2 ; 9)`

Правильное ли рассуждение во втором примере? Также, прошу подсказать, что нужно делать в первом задании.
Заранее спасибо за помощь!

P.S. проверил второе на вольфрам альфа, там вышло, что `x >= (19-sqrt(37))/2` Как так получилось, не знаю.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, Функции

20:44 

Проблема с решением двух заданий

Здравствуйте. Есть две задачи:
1. Дана арифметическая прогрессия `a_1,a_2,...,a_316`у которой `a_1=5, a_316=21`.Найдите сумму `1/(a_1*a_2)+1/(a_2*a_3)+...+1/(a_315*a_316)`
Мои попытки: используя формулу `a_n=a_1+(n-1)d`, `21=5+315*d=21`, `d=16/315`
Найдем первые четыре элемента прогрессии `a_2=5+16/315=1591/315`, `a_3=1607/315`, `a_4=1623/315`
Введем новую последовательность `b_k=b_1+(k-1)*d_1` , где `b_1=1/(a_1*a_2)`, `b_2=1/(a_2*a_3)`, а `d_1=b_2-b_1`
Тогда, `b_1=63/1591`, `b_2=315^2/(1591*1607)`, `d_1=(315^2-1607^2*1591)/(1591*1607*315)`
Но в итоге получается очень специфический ответ с большими числами, если искать `S_k=k*(2*b_1+d_1*(k-1))/2`, где `k=315`, что вызывает у меня подозрения, что я что-то делаю неправильно.

2. Найдите `f(1000)` если `f(x+3)=f(x)+x-7` для всех действительных `x`, и `f(1)=1`.
Мои попытки: `f(x)=f(x+3)-x+7 => f(1)=f(4)-1+7=1 => f(4)=-5`
Дальше не понятно, что делать.

Прошу подсказать, что нужно в этих задачах делать дальше. Заранее спасибо за помощь.

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Прогрессии

12:00 

Проблема с решением системы

Здравствуйте! Есть такое задание: Известно, что `-7*x^3+18*x^2-12*x=(a*x+b)^3+(c*x+d)^3`, (`a`, `b`, `c`, `d` – некоторые числа). Найдите `a+b+c+d`.

Моё решение: Раскрыть скобки в выражении справа, после чего приравнять коэффициенты уравнения слева к коэффициентам уравнения справа. Тогда
`-7*x^3+18*x^2-12*x=a^3*x^3+3*a^2*x^2*b+3*a*x*b^2+b^3+c^3*x^3+3*c^2*x^2*d+3*c*x*d^2+d^3`

Тогда, коэффициент при `x^3` будет `a^3+c^3`, при `x^2` - `3*a^2*b+3*c^2*d`, при `x` - `3*a*b^2+3*c*d^2`, возле свободного члена - `b^3+d^3`

Получается система:
`{(a^3+c^3=-7),(3*a^2*b+3*c^2*d=18),(3*a*b^2+3*c*d^2=-12),(b^3+d^3=0):}`
Понятно, что во втором и третьем уравнениях модно сократить на 3, а также из последнего уравнения получить `d=-b`так как `b^3+d^3=(b+d)*(b+bd+d^2)=0`в пространстве `R`.(Комплексные корни в решении данной задачи не нужны)
Возникает вопрос: каким методом можно решить данную систему уравнений? Выражал `b` из второго уравнения, и `a+c`из третьего, потом подставлял в первое, но ничего толкового не получилось.

Заранее спасибо за ответы!

@темы: ЕГЭ, Системы НЕлинейных уравнений

18:43 

Квадратное уравнение, теория вероятностей

Здравствуйте! Есть задание:
В квадратном уравнении `ax^2+bx+c` коэффициенты `a, b, c` определяются как результат трех подбрасываний игрального кубика. Найти вероятность того, что уравнение имеет
а) рациональные корни;
б) действительные корни
Мои мысли:
а) Если мы кидаем игральную кость три раза, то вариантов выходит `6^3`. Т.к. корни рациональные, тогда дискриминант `D=b^2-4ac=0`. Нужно перебирать варианты от 1 до 6 для каждой переменной `a, b, c`. Но я не пойму, как все это связать в формулу, чтобы не перебирать в ручную все варианты?

б) Здесь такое же рассужление, как и в а), только `D=b^2-4ac>0`

Заранее спасибо!

@темы: Теория вероятностей

20:38 

Алгебра и теория чисел, подгруппы

Здравствуйте, есть задание:
Даны подстановки `x`, `y`, `p` и указаны соотношения между ними.
`x=(123)(456)`, `y=(12)(45)`, `p=(14)(25)(36)`
`x^3=x^2=p^2=1`, `yx=x^(-1)y`, `px=xp`, `py=yp`
1. Пользуясь ими, выписать все элементы группы `A` с образующими `x`, `y`, `p`.
2. Выполнить геометрический смысл элементов группы `A` как самосовмещение соответствующей фигуры (см. рисунок ниже)

Подсказка: в группе 12 элементов


Первое у меня вышло, прошу проверить.



А вот со вторым не знаю, как поступить. К примеру, взять `x=(123)(456)`. Скорее всего, производится какой-то поворот, а вот относительно чего и каков градус, я не знаю.
Прошу помощи, заранее спасибо

@темы: Теория групп

22:51 

Алгебра и теория чисел, группы

Здравствуйте! Есть такое задание:
Выяснить, является ли группой данное числовое мн-во `CC^(*)={x|x in CC, x!=0}` относительно каждой из операций `circ`, `oplus`, `*`
1. `x circ y=1/(xy)`
2. `x oplus y=|xy|`
3. `x*y=-ixy`
Проверьте, пожалуйста, правильно ли я решил. Если нет, подскажите, где ошибка.
Спасибо!

@темы: Высшая алгебра

23:51 

Математический анализ, кратные интегралы

Здравствуйте! Есть 6 заданий:
1. В `iint_D f(x,y)dxdy` расставить пределы интегрирования в том и другом порядке. Область D ограничена кривыми:
a) `D: 3y-4x=0, 3y+4x=0, x^2+y^2+9=10x`
б) `D: y=cosx, y=0, 0<=x<=pi/2`
мое решение
2. Поменять порядок интегрирования в повторной интеграле
a) `int_0^(pi/2) dx int_0^sinx f(x,y) dy`
б) `int_0^1 dx int_(y^2/2)^(sqrt(3-y^2)) f(x,y) dy`
мое решение
3. С помощью двойного интеграла вычислить площадь, ограниченную кривыми
а) `r=a(1+cosphi)`, `r=acosphi`, `a>0`
б)`x=0`, `x=2`, `y=x/2`, `y=x/2-3`
мое решение
4. Вычислить
`iint_D x dxdy` D ограничена линиями `y^2=4x+4`, `y^2=-2x+4`
`iint_D (x^2+y^2)dxdy` D ограничена линиями `x=1`, `y=x`, `y=-x`
мое решение
5. В `iint_D f(x,y) dxdy` расставить пределы интегрирования в полярных координатах, если область D ограничена линиями:
D: `-2<=x<=2`, `x^2/2<=y<=2`
мое решение
6. Переходя к полярным координатам, вычислить
`iint_D sqrt(x^2+y^2) dxdy` D - общая часть кругов `x^2+y^2=ax`, `x^2+y^2=ay` , `a>0`
мое решение
Прошу проверить мои решение, и, если не правильно, помочь исправить ошибки
Заранее большое спасибо!

@темы: Математический анализ

20:13 

Теория чисел, сравнения

Здравствуйте! Есть такие задания:
1. При каких значениях `a` система `{(x-=5 (mod18)), (x-=8 (mod 21)), (x-=a (mod 25)):}`совместна.
В общем случае, если система совместна, то имеет бесконечно много решений.
Начал решать так дальше не знаю. Прошу помощи.

2. Докажите, что 100-ая степень любого целого числа либо делится на 125, либо дает при делении на 125 остаток 1.
Думал так: можно переписать условие как `n^100-=0 (mod 125)` или `n^100-=1 (mod 125)` соответственно. Честно говоря, не знаю, как дальше поступить.

3. Докажите, что если `6` и `n` взаимно просты, то `n^2-=1 (mod 24)`
Получается, что `НОД(6, n)=1`. Можно, наверное, еще расписать `n^2-=1 (mod 24)` как систему
`{(n^2-=1 (mod 6)), (n^2-=1 (mod 4)):}` . Дальше тупик.
Прошу помощи. Заранее спасибо!

@темы: Теория чисел

23:05 

Алгебра и теория чисел

Здравствуйте! Есть задания:
1. Вычислить `(n^2)'`

Правильно ли я начал?
2. Найдите `n`, если `phi(n)=80`
решение
Прошу помощи разобраться. Заранее спасибо!

@темы: Теория чисел

17:26 

Математический анализ, функции многих переменных

Здравствуйте! Есть две задачи:
1. Предполагая, что произвольная функция `phi` дифференцируема достаточное кол-во раз, проверить следующее равенство
`(partial ^2 z)/(partial x^2)-2(partial ^2 z)/((partial x)(partial y))+(partial ^2 z)/(partial y^2)=0`, где `z=phi*(x+y)`
У меня получилось вот такое решение
мое решение
2. Шатер имеет форму цилиндра, завершенного сверху прямым круговым конусом. При данной полной поверхности шатра определить его измерения так, чтобы объем был наибольшим.
мое решение
Заранее спасибо за помощь!

@темы: Математический анализ, Функции нескольких переменных

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная