Записи пользователя: Sunline1990 (список заголовков)
23:06 

Проблема с решением двух заданий

Здравствуйте. Есть два задания:
Даны функции `p(x)=|x^2-3*|x-6|-1|` и `g(x)=sqrt(|x|-3)`
1. Решить неравенство `p(x-1)<=2*p(x+1)`
2. Найти область определения функции `g(sqrt(x+sqrt(x)))`
Мои попытки.
1.Я так понимаю, что подстановка в функцию `p(x)` аргументов `x-1` и `x+1` намного усложнит решение задачи. Не знаю, какой алгоритм решения здесь применить.
2. Здесь область определения после подстановки аргумента `sqrt(x+sqrt(x))` в функцию `g(x)=sqrt(|x|-3)` следующая:
`|sqrt(x+sqrt(x))|-3>=0`
`|sqrt(x+sqrt(x))|>=3`

a) `sqrt(x+sqrt(x))>=3 `
`x+sqrt(x)>=9 `
`sqrt(x)>=9-x ` ,причем `9-x>=0` или `x<=9`
`x>=81-18x+x^2` ,причем `(9-x)^2>=0`, что верно для любого x
`x^2-19x+81<=0`
`x in ((19-sqrt(37))/2 ; 9) uu (9 ; (19+sqrt(37))/2)` (с учетом `x<=9`)
b) `sqrt(x+sqrt(x))<=-3` не имеет смысл.
Тогда, ответ: `x in ((19-sqrt(37))/2 ; 9)`

Правильное ли рассуждение во втором примере? Также, прошу подсказать, что нужно делать в первом задании.
Заранее спасибо за помощь!

P.S. проверил второе на вольфрам альфа, там вышло, что `x >= (19-sqrt(37))/2` Как так получилось, не знаю.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, Функции

20:44 

Проблема с решением двух заданий

Здравствуйте. Есть две задачи:
1. Дана арифметическая прогрессия `a_1,a_2,...,a_316`у которой `a_1=5, a_316=21`.Найдите сумму `1/(a_1*a_2)+1/(a_2*a_3)+...+1/(a_315*a_316)`
Мои попытки: используя формулу `a_n=a_1+(n-1)d`, `21=5+315*d=21`, `d=16/315`
Найдем первые четыре элемента прогрессии `a_2=5+16/315=1591/315`, `a_3=1607/315`, `a_4=1623/315`
Введем новую последовательность `b_k=b_1+(k-1)*d_1` , где `b_1=1/(a_1*a_2)`, `b_2=1/(a_2*a_3)`, а `d_1=b_2-b_1`
Тогда, `b_1=63/1591`, `b_2=315^2/(1591*1607)`, `d_1=(315^2-1607^2*1591)/(1591*1607*315)`
Но в итоге получается очень специфический ответ с большими числами, если искать `S_k=k*(2*b_1+d_1*(k-1))/2`, где `k=315`, что вызывает у меня подозрения, что я что-то делаю неправильно.

2. Найдите `f(1000)` если `f(x+3)=f(x)+x-7` для всех действительных `x`, и `f(1)=1`.
Мои попытки: `f(x)=f(x+3)-x+7 => f(1)=f(4)-1+7=1 => f(4)=-5`
Дальше не понятно, что делать.

Прошу подсказать, что нужно в этих задачах делать дальше. Заранее спасибо за помощь.

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Прогрессии

12:00 

Проблема с решением системы

Здравствуйте! Есть такое задание: Известно, что `-7*x^3+18*x^2-12*x=(a*x+b)^3+(c*x+d)^3`, (`a`, `b`, `c`, `d` – некоторые числа). Найдите `a+b+c+d`.

Моё решение: Раскрыть скобки в выражении справа, после чего приравнять коэффициенты уравнения слева к коэффициентам уравнения справа. Тогда
`-7*x^3+18*x^2-12*x=a^3*x^3+3*a^2*x^2*b+3*a*x*b^2+b^3+c^3*x^3+3*c^2*x^2*d+3*c*x*d^2+d^3`

Тогда, коэффициент при `x^3` будет `a^3+c^3`, при `x^2` - `3*a^2*b+3*c^2*d`, при `x` - `3*a*b^2+3*c*d^2`, возле свободного члена - `b^3+d^3`

Получается система:
`{(a^3+c^3=-7),(3*a^2*b+3*c^2*d=18),(3*a*b^2+3*c*d^2=-12),(b^3+d^3=0):}`
Понятно, что во втором и третьем уравнениях модно сократить на 3, а также из последнего уравнения получить `d=-b`так как `b^3+d^3=(b+d)*(b+bd+d^2)=0`в пространстве `R`.(Комплексные корни в решении данной задачи не нужны)
Возникает вопрос: каким методом можно решить данную систему уравнений? Выражал `b` из второго уравнения, и `a+c`из третьего, потом подставлял в первое, но ничего толкового не получилось.

Заранее спасибо за ответы!

@темы: ЕГЭ, Системы НЕлинейных уравнений

18:43 

Квадратное уравнение, теория вероятностей

Здравствуйте! Есть задание:
В квадратном уравнении `ax^2+bx+c` коэффициенты `a, b, c` определяются как результат трех подбрасываний игрального кубика. Найти вероятность того, что уравнение имеет
а) рациональные корни;
б) действительные корни
Мои мысли:
а) Если мы кидаем игральную кость три раза, то вариантов выходит `6^3`. Т.к. корни рациональные, тогда дискриминант `D=b^2-4ac=0`. Нужно перебирать варианты от 1 до 6 для каждой переменной `a, b, c`. Но я не пойму, как все это связать в формулу, чтобы не перебирать в ручную все варианты?

б) Здесь такое же рассужление, как и в а), только `D=b^2-4ac>0`

Заранее спасибо!

@темы: Теория вероятностей

20:38 

Алгебра и теория чисел, подгруппы

Здравствуйте, есть задание:
Даны подстановки `x`, `y`, `p` и указаны соотношения между ними.
`x=(123)(456)`, `y=(12)(45)`, `p=(14)(25)(36)`
`x^3=x^2=p^2=1`, `yx=x^(-1)y`, `px=xp`, `py=yp`
1. Пользуясь ими, выписать все элементы группы `A` с образующими `x`, `y`, `p`.
2. Выполнить геометрический смысл элементов группы `A` как самосовмещение соответствующей фигуры (см. рисунок ниже)

Подсказка: в группе 12 элементов


Первое у меня вышло, прошу проверить.



А вот со вторым не знаю, как поступить. К примеру, взять `x=(123)(456)`. Скорее всего, производится какой-то поворот, а вот относительно чего и каков градус, я не знаю.
Прошу помощи, заранее спасибо

@темы: Теория групп

22:51 

Алгебра и теория чисел, группы

Здравствуйте! Есть такое задание:
Выяснить, является ли группой данное числовое мн-во `CC^(*)={x|x in CC, x!=0}` относительно каждой из операций `circ`, `oplus`, `*`
1. `x circ y=1/(xy)`
2. `x oplus y=|xy|`
3. `x*y=-ixy`
Проверьте, пожалуйста, правильно ли я решил. Если нет, подскажите, где ошибка.
Спасибо!

@темы: Высшая алгебра

23:51 

Математический анализ, кратные интегралы

Здравствуйте! Есть 6 заданий:
1. В `iint_D f(x,y)dxdy` расставить пределы интегрирования в том и другом порядке. Область D ограничена кривыми:
a) `D: 3y-4x=0, 3y+4x=0, x^2+y^2+9=10x`
б) `D: y=cosx, y=0, 0<=x<=pi/2`
мое решение
2. Поменять порядок интегрирования в повторной интеграле
a) `int_0^(pi/2) dx int_0^sinx f(x,y) dy`
б) `int_0^1 dx int_(y^2/2)^(sqrt(3-y^2)) f(x,y) dy`
мое решение
3. С помощью двойного интеграла вычислить площадь, ограниченную кривыми
а) `r=a(1+cosphi)`, `r=acosphi`, `a>0`
б)`x=0`, `x=2`, `y=x/2`, `y=x/2-3`
мое решение
4. Вычислить
`iint_D x dxdy` D ограничена линиями `y^2=4x+4`, `y^2=-2x+4`
`iint_D (x^2+y^2)dxdy` D ограничена линиями `x=1`, `y=x`, `y=-x`
мое решение
5. В `iint_D f(x,y) dxdy` расставить пределы интегрирования в полярных координатах, если область D ограничена линиями:
D: `-2<=x<=2`, `x^2/2<=y<=2`
мое решение
6. Переходя к полярным координатам, вычислить
`iint_D sqrt(x^2+y^2) dxdy` D - общая часть кругов `x^2+y^2=ax`, `x^2+y^2=ay` , `a>0`
мое решение
Прошу проверить мои решение, и, если не правильно, помочь исправить ошибки
Заранее большое спасибо!

@темы: Математический анализ

20:13 

Теория чисел, сравнения

Здравствуйте! Есть такие задания:
1. При каких значениях `a` система `{(x-=5 (mod18)), (x-=8 (mod 21)), (x-=a (mod 25)):}`совместна.
В общем случае, если система совместна, то имеет бесконечно много решений.
Начал решать так дальше не знаю. Прошу помощи.

2. Докажите, что 100-ая степень любого целого числа либо делится на 125, либо дает при делении на 125 остаток 1.
Думал так: можно переписать условие как `n^100-=0 (mod 125)` или `n^100-=1 (mod 125)` соответственно. Честно говоря, не знаю, как дальше поступить.

3. Докажите, что если `6` и `n` взаимно просты, то `n^2-=1 (mod 24)`
Получается, что `НОД(6, n)=1`. Можно, наверное, еще расписать `n^2-=1 (mod 24)` как систему
`{(n^2-=1 (mod 6)), (n^2-=1 (mod 4)):}` . Дальше тупик.
Прошу помощи. Заранее спасибо!

@темы: Теория чисел

23:05 

Алгебра и теория чисел

Здравствуйте! Есть задания:
1. Вычислить `(n^2)'`

Правильно ли я начал?
2. Найдите `n`, если `phi(n)=80`
решение
Прошу помощи разобраться. Заранее спасибо!

@темы: Теория чисел

17:26 

Математический анализ, функции многих переменных

Здравствуйте! Есть две задачи:
1. Предполагая, что произвольная функция `phi` дифференцируема достаточное кол-во раз, проверить следующее равенство
`(partial ^2 z)/(partial x^2)-2(partial ^2 z)/((partial x)(partial y))+(partial ^2 z)/(partial y^2)=0`, где `z=phi*(x+y)`
У меня получилось вот такое решение
мое решение
2. Шатер имеет форму цилиндра, завершенного сверху прямым круговым конусом. При данной полной поверхности шатра определить его измерения так, чтобы объем был наибольшим.
мое решение
Заранее спасибо за помощь!

@темы: Математический анализ, Функции нескольких переменных

17:37 

Теория чисел, док-во

Здравствуйте! Есть задание:
Доказать, что если число `2^n-1` - простое, то и `n` - простое число.
Док-во(от противного)
Пусть `n`- составное, `n=ab`, `a>1, b>1`, тогда данное число `2^n-1` можно представить в виде
`2^n-1=2^(ab)-1=(2^a)^b-1 ` - число составное
Написали, что последнее утверждение следует пояснить. Но мне не понятно, как это сделать, прошу помощи.
Заранее спасибо!

@темы: Теория чисел

03:13 

Математический анализ, функции многих переменных

Здравствуйте! Есть задания:
1. Найти дифференциал второго порядка функции `w`
`w=w(u,v), u=x^2-y^2, v=e^(xy)`
мое решение
2. Найти `dz, d^2z`, если функция `z=z(x,y)` задана неявно уравнением
`x+y+z=e^z`
мое решение
3. Исследовать на экстремум функцию в `D(f)`
`z=e^(2x)(x+y+2y^2)`
мое решение
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции u(x,y) на компакте D
`u=xy(6-x-y); D:x+y<=12, x>=0, y>=0`
мое решение
5. Найти первые и вторые производные неявных функций y(x), заданных уравнением
`x^3y^2-xy^5+5x+y=0`
мое решение
Проверьте, пожалуйста, правильно ли я все сделал?
Заранее спасибо!
запись создана: 20.10.2013 в 16:52

@темы: Математический анализ, Функции нескольких переменных

20:44 

Математический анализ, дифференциалы

Функции `u(x,y), v(x,y)`независимых переменных `x` и `y` определены системой
`{(xe^(u+v)+2uv=1), (ye^(u-v)-u/(1+v)=2x):}`
Найти `du, dv, d^2u, d^2v` в точке `x_0=1, y_0=2` при `u_0=v_0=0`
Не знаю, как здесь все сделать. Пытался выразить `u` из первого и подставить во второе-но экспонента получается в ужасной степени.
Думал тогда след. образом:
Выразить из первого икс, из второго игрек. Найти `dx, dy` и выразить `du, dv`, а потом посчитать `d^2u, d^2v`.
Проверьте, у меня получилось вот такое (не выражал еще `du, dv`):


Скажите: правильно ли я пока думаю?
Спасибо.

@темы: Математический анализ

20:07 

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменых, помогите разобраться

Здравствуйте! Есть пример:
Преобразовать уравнение, принимая u, v за новые независимые переменные и w за новую функцию.
`(partial^2 z)/(partial x^2)-2*(partial^2 z)/((partial x)(partial y))+(partial^2 z)/(partial y^2), \ \ u=x^2, \ \ v=x+y`
`(partial z)/(partial x)=(partial z)/(partial u)*(partial u)/(partial x)+(partial z)/(partial v)*(partial v)/(partial x)`
`(partial z)/(partial x)=2x(partial z)/(partial u)+(partial z)/(partial v)`
Понятно, что
`(partial)/(partial x)((partial z)/(partial x))=(partial^2 z)/(partial x^2)=((partial z)/(partial u)*(partial u)/(partial x)+(partial z)/(partial v)*(partial v)/(partial x))'_x=...`, но мне не ясно, как это расписать. Прошу записать полную формулу, т.к не могу разобраться
Спасибо!

@темы: Функции нескольких переменных, Математический анализ

15:43 

Математический анализ, дифференциальное исчисление функций нескольких переменых

Здравствуйте! Естьь задание:
Пусть `f` - дважды дифференцируемая функция. Найти второй дифференциал функции `phi`, если
`phi(x;y)=f(u;v;w), u=x^2+y^2, v=x^2-y^2, w=2xy`
Первый дифференциал будет выглядеть так:
`dphi=f'_udu+f'_vdv+f'_wdw`
`du=2xdx+2ydy`
`dv=2xdx-2ydy`
`dw=2ydx+2xdy`
Дальше нужно найти второй дифференциал. он будет выглядеть так
`d^2f=d(f'_udu+f'_vdv+f'_wdw)=d(f'_udu)+d(f'_vdv)+d(f'_wdw)=d(f'_u)du+f'_ud(du)+d(f'_v)dv+f'_vd(dv)+d(f'_w)dw+f'_wd(dw)=...`
Дальше я не знаю. Преподаватель написал такое:
`d(f'_u)=f''_(u^2)du+f''_(uv)dv+f''_(wv)dw`
Подскажите, пожалуйста, как это получилось
Заранее спасибо!

@темы: Математический анализ, Функции нескольких переменных

20:38 

Математический анализ, функции двух переменных

Здравствуйте! Есть три задачи:
1. Исследовать функцию `f`на дифференцируемость в точке `A(0;0)`
`f(x,y)=sqrt(|x*y|)`
мое решение
Прошу єто проверить, правильно я сделал или нет
2. Найти `dz`, если функция `z=z(x,y)` задана неявно уравнением `x+y+z=e^(-x-y-z)` . Проверить ее существование.
Не знаю, как подойти. Знаю только, если дана, например,функция`z=f(u)`, то `dz=f'(u)du`.
Тогда, наверное, по аналогии, здесь
`dz=z'(x,y)d(x,y)`? Тогда `z'(x,y)` считабельно или нет?
3. Исследовать функцию `f` на непрерывность в `D(f)`. Можно ли ее доопределить до непрерывной в `A(0;0)`?
`f(x,y)={((x*y)/((2y^4+3x^4)^(1/4)), x^2+y^2!=0), (a, x^2+y^2=0):}`
Тоже не знаю, как делать. D(f) здесь, видимо,`x!=0, y!=0`. Т.е нужно найти предел `(x*y)/((2y^4+3x^4)^(1/4)` при `x->0, y->0`? Тогда вторая часть задание совпадает(тут ведь тоже искать предел нужно, причем если он будет не равен нулю, то нельзя доопределить до непрерывной в `A(0;0)`)
Прошу помощи. Заранее спасибо!

@темы: Математический анализ, Функции нескольких переменных

00:28 

Линейная алгебра, линейные операторы

Здравствуйте! Есть такие задания:
1. Линейный оператор `A` , действующий в `R^2` переводит вектора `bar(a)=(2,3)`,`bar(b)=(3,4)` соответственно в векторы `bar(c)=(1,1)`,`bar(d)=(2,2)`. Найти матрицу этого оператора в стандартном базисе.
Решение
2. Доказать линейность оператора `A` , найти его ядро и образ. Составить матрицу оператора `A` в базисе `P_1=((0,1), (0,0))`, `P_2=((1,1),(0,0))`, `P_3=((0,1),(0,1))`, `P_4=((1,1),(1,1))`.
`A(X)=X*P_1`
Решение
3. Доказать линейность оператора `A` , найти его ядро и образ. Составить матрицу оператора `A` в базисе `f_1(x)=1+x`; `f_2(x)=x+x^2`; `f_3(x)=x+x^3`; `f_4(x)=x^3` пространства всех многочленов степени не выше 3 над `R`
`A(f(x))=f(x)-x*f'(0)`
Решение
Прошу проверить (особенно второе не ладится) и, если неправильно, помочь исправить.
Заранее спасибо за помощь!

@темы: Линейная алгебра

19:14 

Линейная алгебра, билинейные и квадратичные формы

Здравствуйте!
1. Привести квадратичную форму `(1,5,5,4,2,0)` к каноническому виду методом Лагранжа. Выяснить по каноническому виду положительную(отрицательную) определенность.
Мое решение
Преподаватель написал, что в этом задании ошибка. Я пересматривал, ничего не нашел. Помогите ее найти. Заранее спасибо.

@темы: Линейная алгебра

17:05 

Линейная алгебра, линейные операторы

Здравствуйте! Есть такие задания:
1. Линеен ли оператор, действующий в пространстве всех многочленов от `x` над `R` степени не выше второй и переводящий многочлен `p(x)` в `p(2x)` многочлен?
2. `A` - фиксированная ненулевая `(2x2)`-матрица над `R`. Линеен ли оператор, действующий в пространстве всех `(2x2)`-матриц над `R` и переводящий каждую матрицу `X` в матрицу вида `AX+XA`?
3. Доказать линейность оператора `phi`, действующего в арифметическом пространстве `R^3` и переводящего строку `(x,y,z)` в `(y+x+3z,x,x)`. Также найти матрицу этого оператора в базисе`a_1=(1,1.1)` ,`a_2=(1,1,0)`, `a_3=(1,0,0)`.
4. В трехмерном евклидовом пространстве с ортонормированным базисом `e_1, e_2, e_3` действует отражение относительно плоскости `(e_1+e_2, e_3)`
Составить матрицу каждого из этих операторов в данном базисе и выяснить, во что при этом переводится вектор `e_1-e_2+e_3`?
Мои решения:
Прошу проверить, и, если неправильно, помочь исправить. Заранее спасибо.

@темы: Линейная алгебра

21:25 

Линейная алгебра, евклидовы пространства

Здравствуйте! Есть такое задание:
Можно ли в пространстве `R^2` задать скалярное произведение формулой `Ax_1y_1+Bx_1y_2+Cx_2y_1+Dx_2y_2`(для краткости указанная функция обозначается через(`A, B, C, D`)
Мои решения
Преподаватель написал, что не все правильно. Я не знаю, где здесь ошибка. Прошу помочь найти ее.
Заранее спасибо!

@темы: Линейная алгебра

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная