Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: Груша Вильямс (список заголовков)
16:30 

Составить функцию

Суть задачи в следующем - есть полоса длиной в 5 клеток (в общем случае `N` клеток), нумерация клеток идет последовательно с нуля (0,1,2,3,4), на последней клетке (4) стоит шашка, которая начинает прыгать по краям, на прошлые места она не возвращается, то есть она прыгает 4 - 0 - 3 - 1 - 2. Мне надо составить функцию такого передвижения, то есть такую функцию `f(x)`, что `f(4) = 0`, `f(0) = 3`, `f(3) = 1`. Как это можно сделать? Сижу где-то час мыслей вообще нет. Скажем для трёх, начиная с нуля `(x+1)^2` будет.

p.s. Собственно придумалось такое из программирования вместо for(i = 0; i < N; i++) записать что-то поинтереснее захотелось for(i = N, j = 0; j < N; хитрое выражение с i, j++)

@темы: Математический анализ

02:21 

Исследовать на сходимость

Исследовать на сходимость ряд `sum_{n=1}^infty (sqrt(n+1) - sqrt(n-1))/n`.
Так как `sqrt((n+1)/n) > (sqrt(n+1) - sqrt(n-1))/n` и ряд `sum_{n=1}^infty sqrt((n+1)/n)`сходится по необходимому признаку, то и исходный ряд сходится в силу признака сравнения.
Правильно? И можно ли как-нибудь покороче?

@темы: Ряды

14:14 

Поверхностный интеграл 2-го рода

Найти поток векторного поля `vec(F) = x^2*vec(i) + y*(j) + z^2*vec(k)` через замкнутую поверхность `{ (x^2 + y^2 = 1), (z = 0), (z = 1) :}` в направлении внешней нормали.

`di vartheta vec(F) = 2x +1 + 2z`,

Не совсем понимаю как интеграл составить. Цилиндр симметричен относительно плоскости `XOZ` значит сумма потоков по идее через эти полуцилиндры должна стать равной нулю, т.е. потоки взаимно уничтожаются или нет? То же самое и для потоков относительно плоскости `YOZ`. Тут ещё такой вопрос: поток через боковую поверхность полуцилиндра равен ли потоку через прямоугольник (осевое сечение цилиндра) и почему?
`iiint_D (2x+1+2z)dxdydz = 2iiint_D xdxdydz + iiint_D dxdydz + 2iiint_D zdxdydz = `

p.s. дивергенцию не понял как набирать, чтобы отображалась...

@темы: Теория поля

01:40 

Вычислить интеграл по заданной кривой

Никак ни с ответом не сходится, ни с вольфрамой.
`int_{gamma} bar(z)e^zdz`, где `gamma` - отрезок прямой от точки `z_0 = 1` до точки `z_1 = i`.
Рисуем, параметризуем.

читать дальше

Вольфрам даёт
`int_{1}^{0} (t-i+it)*e^(t+i-it)*(1-i)dt = -2i*e^i - (1-i)e`

Где ошибка?

@темы: ТФКП

04:47 

Восстановленная функция

Задание было следующее.
Проверить, является ли заданная функция `u(x,y)` действительной частью аналитической функции `f(z)`, при выполнении условий восстановить `f(z)` и найти `f'(1-i)`.
Дано: `u(x,y)=x^2-y^2-3x`, `f(0)=i`.
Собственно я задание сделал, но интересен такой момент.
Если получилась функция `f(z)=x^2-y^2-3x+i(2xy-3y+1)=x^2+2xyi-y^2-3(x+iy)+i=z^2+z+i`, то так и оставлять её? Или всё же правильнее записать в виде `f(z)=z^2+z+e^(i*pi/2)` ?
Просто никогда не видел вроде чтоб `i` сама по себе была...

@темы: ТФКП

01:00 

Параметризация кривой.

Криволинейный интеграл первого рода.
Саму задачу дословно не помню.
Найти массу кривой `(xy)^2=10`, ограниченной точками (точно не помню координаты) пусть будут `M(x_1;y_1)` и `N(x_2;y_2)`, если её линейная плотность (тоже не помню) пусть будет `rho(x,y)=xy`.
Собственно вопрос как мне параметризовать кривую `(xy)^2=10` ?

@темы: Теория поля

23:34 

Отображение

Найти образ координатных линий `OX` и `OY` при отображении `omega = (z+i) / (z-i)`

`OX: y=0`
`OY: x=0`
`omega_1 = (x+i) / (x-i) = (x^2 +2x*i - 1) / (x^2 + 1) = (x^2 - 1) / (x^2+1) + i* (2x) / (x^2+1) `
`(x, 0) -> ( (x^2 - 1) / (x^2+1), (2x) / (x^2+1) )`
Собственно вот тут я не пойму как преобразовать, чтоб ось эту отобразить на `u-v` координатах
`{ (u = 1 - 2 / (x^2+1)), (v = (2x) / (x^2+1) ) :}`
У меня в тетради написано `u =1`, `u^2 + v^2 = 1`. Как считал не помню или с доски переписал результат на семинаре.
`omega_2 = ( i(y+1) ) / ( i(y-1) ) = (y+1) / (y-1)`.
`(0, y) -> ( (y+1) / (y-1), 0)`
Тут соответственно тот же самый вопрос...
`{ (u = (y+1) / (y-1)), (v = 0) :}`

@темы: ТФКП

07:20 

Простенькие программы для трехмерных рисунков

Надо нарисовать несколько трёхмерных фигур. Они вроде бы простые в воображении, но как это всё реализовать не знаю.
Например, такая ситуация - сфера, через внутреннюю точку которой проходит двойной конус типа песочных часов, причем этот конус на поверхности сферы вырезает замкнутую кривую (вроде бы это окружность будет). И надо чтоб я мог оставить эту фигуру двойной конус + колпаки (ограничивающие поверхности-основания от сферы) либо оставить всю конструкцию, либо нарисовать ещё сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось + ко всему этому можно добавить ещё сечение проходящее через эту замкнутую кривую. То есть рисунок довольно крупный должен быть. Также хотелось бы чтобы на всём этом можно было отметить углы, стороны. Это вообще возможно довольно просто и быстро сделать? И в какой программе?

@темы: Стереометрия

18:43 

К теореме Пикара-Линделёфа

На экзамене сегодня попалась эта теорема. Хотелось бы разобраться хотя бы с условием.

Вопросов пока три

@темы: Дифференциальные уравнения

00:18 

Как дифференцируют?

Задача: из дифференциальной формы получить интегральную форму поля напряженности некоторых тел (плоскость, пластинка, сфера, шар, нить, цилиндр).
Берут шар, ввиду шаровой симметрии `vec E = E(r) vec r / r` или `E_x=E(r)x/r`, `E_y=E(r)y/r` и `E_z=E(r)z/r`.
Дифференцируя `E_x` и учитывая, `(partial r)/(partial x)=x/r` (последнее получается дифференцированием равенства `r^2=x^2+y^2+z^2`), находим
`(partial E_x)/(partial x) = (dE)/(dr)*x^2/r^2-E/r^3+E/r`.
Как так продифференцировали `(partial E_x)/(partial x)`?

@темы: Функции нескольких переменных

01:57 

Поле в сфере

Пусть поверхность сферы равномерно заряжена электричеством. Через произвольную точку А окружаемой ею полости проведём пучок лучей, вырезающей из сферы бесконечно малые площадки `s_1` и `s_2`. Проекции этих площадок `s'_1` и `s'_2` на плоскость, перпендикулярную к оси пучка, пропорциональны квадратам расстояний `r_1` и `r_2`. То же справедливо для самих площадок `s_1` и `s_2` и находящихся на них зарядов `q_1` и `q_2`. Действительно, если через ось пучка и центр сферы O провести плоскость (плоскость рисунка), то углы `alpha_1` и `alpha_2` равны между собой и, кроме того, `s'_1=s_1sin(alpha_1)` и `s'_2=s_2sin(alpha_2)`. Отсюда и следует наше утверждение. Из него получаем `q_1/r_1^2=q_2/r_2^2`.
Значит кулоновы электрические поля, возбуждаемые в точке А зарядами `q_1` и `q_2`, равны по модулю и противоположны по направлению. Это справедливо для каждой пары зарядов типа `q_1` и `q_2`, на которые можно мысленно разбить всю поверхность заряженной сферы. Поэтому полное электрическое поле должно обращаться в нуль в каждой точке сферической полости.


Как получили `s'_1=s_1sin(alpha_1)` ?

1) Как понимаю стереометрическая картина примерно такая
,
и эта штука высекает на сфере малые площадки `s_1` и `s_2`. То, что проекции этих площадок на ось пучка пропорциональны квадратам расстояний вроде бы понятно, если `d vartheta` - телесный угол под которым видна площадка `s_1`, то `s'_1=r_1^2d vartheta`, аналогично `s'_2=r_2^2d vartheta`, если `s'_1` площадь круга `piR_1^2`, то можно `R_1^2` выразить через `r_1^2` это понятно.
2) То, что заряд `q_1` пропорционален площадке `s_1` тоже понятно - чем меньше площадка, тем меньше заряда на ней, чем больше, тем больше.
3) Равенство углов `alpha_1` и `alpha_2` тоже понятно, опираются на одну дугу (угол между хордой и касательной, в случае альфа 2 равны как вертикальные).
Вроде бы всё понятно `s' sim r^2`, ` s sim q`, а с площадью проекции не ясно.

@темы: Стереометрия, Планиметрия

09:11 

Метод вариации произвольных постоянных

Решить задачу Коши, применив метод вариации произвольных постоянных `y''+y'-2y=1/(e^x+1)`, начальные условия `y(0)=1`, `y'(0)=(1-ln2)/3`.

`{(y_1=cos(x)), (y_2=sin(x)):}` и тогда `y_0=C_1y_1+C_2y_2=C_1cos(x)+C_2sin(x)`
`{(C_1'cos(x)+C_2'sin(x)=0), (-C_1'sin(x)+C_2'cos(x)=1/(e^x+1)):}`,
`{(C_1'=-C_2'(sin(x))/(cos(x))), (C_2'((sin^2(x))/(cos(x))+cos(x))=1/(e^x+1)):}`,
`{(C_1'=(sin(x))/(e^x+1)=phi_1(x)),(C_2'=(cos(x))/(e^x+1)=phi_2(x)):}`
`{(C_1 int phi_1(x)dx=int (sin(x))/(e^x+1)dx), (C_2=int phi_2(x)dx=int (cos(x))/(e^x+1)):}`
Проблема с интегралами. Вообще вспоминается такая формула `z=|z|(cos(phi)+isin(phi))=|z|e^(iphi)`, то есть `e^(iphi)=cos(phi)+isin(phi)`, `z=x+iy` и если `x` выражать то `z` с `y` появятся :nope:

@темы: Дифференциальные уравнения

07:35 

Набольший объём

Из всех прямоугольных параллелепипедов, сумма ребер которых равна `12a`, найти параллелепипед с наибольшим объемом.

Всё вроде бы сделал как надо, но `d^2L > 0`, а это минимум...в чём ошибка?

1) функция Лагранжа: `L(x,y,z; lambda)=xyz+lambda(x+y+z-12a)`
2) необходимые условия:
`{((partial L)/(partial x)=yz+lambda=0), ((partial L)/(partial y)=xz+lambda=0), ( (partial L)/(partial z)=xy+lambda=0), (x+y+z=3a):}`,
`{(-(lambda)/(xyz)=1/x), ((-(lambda)/(xyz)=1/y), (-(lambda)/(xyz)=1/z)):}`
`{(x=y=z=a), (lambda=-a^2):}`
3) достаточные условия:
`(partial^2 L)/(partial x^2)=(partial^2 L)/(partial y^2)=(partial^2 L)/(partial z^2)=0`
`(partial^2 L)/((partial x)(partial y))=z`, `(partial^2 L)/((partial x)(partial z))=y`, `(partial^2 L)/((partial y)(partial z))=x`.
И тогда знак второго дифференциала функции Лагранжа следующий:
`d^2L=2(zdxdy+ydxdz+xdydz)=2a(dx^2+dy^2+dz^2)=6ada^2>0` - условный минимум...:confused:

@темы: Функции нескольких переменных

16:11 

Наибольшее и наименьшее значения

Найти наибольшее и наименьшее значение функции `f(x,y)=xy^2` в области `x^2+y^2<=1`.

В самом начале проблема.
`{((partial f)/(partial x)=y^2=0), ((partial f)/(partial y)=2xy=0):}`
И получается, что у нас `-1 <= x <= 1`, `y=0`, то есть стационарных точек бесконечно много и значение функции `f(x,y)` в этих точках равно нулю.
Оформлять это как, так и писать словами пояснения?

@темы: Функции нескольких переменных

09:02 

Площадь фигуры (гипербола и прямая)

Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой `x^2/a^2-y^2/b^2=1` и прямой `x=2a`.


`f(x)=bsqrt((x/a)^2-1)`
`bint_{a}^{2a} sqrt((x/a)^2-1)dx=bint_{a}^{2a} sqrt(-(1-(x/a)^2))dx=[(x/a=sint), (x=asint), (dx=acostdt)]=abint_{pi/2)^{arcsin2} sqrt(-(1-sin^2t))dt`... но тогда подкоренное выражение отрицательно на указанном интервале...как быть?

@темы: Интегралы

02:48 

Исследовать на сходимость

`int_{1}^{+infty} (dx)/sqrt(x(x+1)(x+2))`, получилось, что сходится через предельный признак сравнения (`g(x)=1/x^(3/2)`).
`int_{1}^{+infty} (sqrt(x^3)+root(3)(x^2))/(x^3+3x+1)dx`, получилось, что сходится через предельный признак сравнения (`g(x)=1/x^(3/2)`).
А как сделать через признак сравнения?
читать дальше

@темы: Интегралы, Математический анализ

18:59 

Формула Гаусса-Остроградского

Помогите пожалуйста разобраться с выводом, не понимаю с самого начала.

Пусть `f(x,y,z)` - некоторая функция, а `S` - замкнутая поверхность, ограничивающая объём `V` (рис. 26).

На отрезке `12`, параллельном оси `x`, `f` является функцией одного аргумента `x`. Интегрируя вдоль этого отрезка, получим `int_(12) (partial f)/(partial x)dx=f_2-f_1`,
где `f_1` и `f_2` - значения функции `f` на концах рассматриваемого отрезка.
Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок `12`. Пусть `dsigma` - площадь его поперечного сечения (величина существенно положительная). Умножим предыдущее соотношение на `dsigma`. Так как `dsigmadx` есть элементарный объём `dV`, заштрихованный на рисунке, то в результате получится
`int_(DeltaV) (partial f)/(partial x)dV=(f_2-f_1)dsigma`, где `Delta V` - часть объема `V`, вырезаемого из него поверхностью цилиндра.


Как понимаю `f(x,y,z)` - некоторая функция трёх переменных, областью определения которой являются некоторые точки пространства `RR^3`.
1) Не понимаю предложения На отрезке `12`, параллельной оси `x`, `f` является функцией одного аргумента `x` - это как представить? Как проекцию `f(x,y,z)` на ось `x`?
2) Если рассматривать функцию двух переменных `f(x,y)`, то тут даже не понятно, что будет её проекцией на ось, ведь она (функция) будет некоторой поверхностью в пространстве. Если геометрический смысл частной производной это тангенс угла `(partial z)/(partial x)=tg(alpha)`, то тогда подынтегральное выражение вроде как будет `dz=(partial z)/(partial x)dx`, то есть приращение `dz`, а не `dx`. Как получают кусок `dx`?

3) Как понимать интеграл по отрезку? Как определенный интеграл от `x_1` до `x_2`? А по объёмной области?

@темы: Математический анализ

23:15 

Пределы

При каком `p` предел `Delta=lim_(x->+infty) x^p(sqrt(x-1)+sqrt(x+1)-2sqrt(x))!=0`?
И так и сяк пробовал, но чет никак. Хотелось бы к Лопиталю свести, но скобка с корнями `infty+infty-infty` в тупик вводит, что за скобку выносить...

@темы: Пределы

01:59 

Геометрическая задача по физике

Предлагаю Вашему вниманию задачу со Всероссийской студенческой олимпиады (Московский тур) по физике (в технических вузах) от 27.02.2016 г.

Первая частица движется по окружности радиуса `r` со скоростью `v`. Вторая частица догоняет первую, двигаясь по окружности с постоянной скоростью. Вторая частица в начальный момент времени находится от первой на расстоянии `l` под углом `alpha` к вектору скорости первой частицы в сторону от окружности радиуса `r` и движется таким образом, что в любой момент времени векторы скоростей обеих частиц параллельны друг другу. Определить радиус траектории `R` и скорость второй частицы `u`.

p.s. вся физика здесь - при равномерном движении по окружности скорость перпендикулярна радиусу.

@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная