Записи пользователя: wammy (список заголовков)
16:29 

Метод Фурье. Уравнения математической физики.

Доброго дня всем!
Застрял на решении начально-граничной задачи.
Помогите развеять недопонимание.
Имеется следующая задача:

`u_t - u = u_x_x +xt(2-t)+2cost, 0 < x < pi, t > 0`
`u(x,0) = cos(2x)`
`u_x (0,t) = t^2`
`u_x (pi, t) = t^2`

Решение
Где я ошибся, скажите, пожалуйста?

@темы: Уравнения мат. физики

11:50 

Коэффициенты полинома третьей степени

Доброго дня!

Нет ли у кого-нибудь формул для коэффициентов кубической параболы `a_0*x^3+a_1*x^2+a_2*x+a_3` , проходящей через четыре точки `(x_0,y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)`?
Гугл ответ не дал. Поиск по сообществу тоже.

Пытался вывести, решая линейную неоднородную систему относительно коэффициентов методом Крамера. Плоховато получилось.

@темы: Теория многочленов

20:29 

Найти норму функционала

Здравствуйте!
Есть задание:
Найти норму линейного функционала `f(x) = int_0^1x(t)*(t^3-1)dt` в `L_(1:[0;1])`.
В `L_1` норма задана следующим образом `||x||_(L_1_[a:b]) = int_a^b|x(t)|dt`
На практике говорили делать следующим образом:
1) `|f(x)| = |int_0^1x(t)*(t^3-1)dt| <= int_0^1|x(t)*(t^3-1)|dt <= max_(t in [0;1]){|t^3-1|} * int_0^1|x(t)|dt = 1*||x||`
И тогда `||f|| <= 1`
2) Возьмем `x_0 = 0`, тогда `f(x_0) = int_0^1(0*(t^3-1))dt = int_0^1dt = 1`
Тогда `||f|| >= 1`
Используя результаты первого и второго пунктов, заключаем, что `||f|| = 1`

Конкретно не понятен второй пункт. Подскажите, пожалуйста, что за волшебство-то такое?

@темы: Функциональный анализ

23:11 

Рекуррентное соотношение

Здравствуйте.

Имеется следующее рекуррентное соотношение:
Т(0) = 2;
T(1) = 2;
T(n) = T(n-2) + 2n+7;

Получается следующая последовательность чисел: 2, 2, 13, 15, 28, . . .
Вопрос состоит в следующем:
Найти вид функции f(n), задающей данную последовательность чисел без рекурсии.
Это задание из лабораторки по алгоритмам. Под видом функции f(n) подразумевается что-то типа f(n) = 2*n + 3 или f(n) = n^2-2*n+1. На практике такие задачи решались "угадыванием", а тут что-то прям в упор ничего не вижу. Может опечатка? Заранее прошу прощения, если в сообществе такие задачи не разбираются.

@темы: Математический анализ

17:11 

Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

`y*(x+y^2)dx + (x^2)*(y-1)dy = 0`
Раскрываю скобки:
`yxdx + y^3dx + yx^2dy - x^2dy = 0`
Делю на `y^2`, `y = 0` - решение
`(x/y)*dx + ydx + (x^2)/ydy - (x^2)/(y^2)dy = 0`
Первое слагаемое умножаю и делю на `y` и из него и из последнего слагаемого выношу `x` за скобки, второе и третье слагаемое привожу к общему знаменателю:
`x*(ydx - xdy)/(y^2) + (y^2*dx + x^2*dy)/y = 0`
`x*d(x/y) + (y^2*dx + x^2*dy)/y = 0`
т.к. в первом слагаемом под дифференциалом `x/y`, то из второго слагаемого хочется вынести что-нибудь такое, что дало бы `x/y` при делении уравнения на `x`. Поэтому выношу из второго слагаемого `x^2/y`:
`x*d(x/y) + (x^2)/(y) * ((y^2)/(x^2)*dx + dy) = 0`
Ну, делю на `x`, `x = 0` - решение. Получаю:
`d(x/y) + (x/y)* ((y^2)/(x^2)*dx + dy) = 0`

А дальше как быть?

@темы: Дифференциальные уравнения

12:57 

Обход матрицы по спирали слева направо.

Добрый день.
Собственно задача: требуется написать программу, которая заполняет матрицу по спирали числами от 1 до `n^2`. Заполнение по спирали означает, что матрица заполняется следующим образом:

Для `n=4`имеем:

`((1,2,3,4),(12,13,14,5),(11,16,15,6),(10,9,8,7))`

Обращаюсь к математическому сообществу по следующей причине: преподаватель указал функцию, которые по номерам `i`, `j` индексов элемента задает его необходимое значение. Эта функция строится следующим образом:


Во вложенных циклах на каждой итерации выбирается минимум из 4 чисел: `i`, `j`, `n+1-i`, `n+1-j`, обозначаемый за `k`.

Элемент матрицы строится по правилу: `a_{ij} = 4*(k-1)*(n-k+1)+{(j-k+1, i = k), (n-3*k+i+2 , j = n-k+1), (3*n-5*k-j+4, i = n-k+1), (4*n-7*k-i+5, j = k & i !=k):}`
Где `n` - размерность матрицы, `i`, `j` - индексы элемента, `k` - выбираемый минимум.


"Этому" было дано следующее объяснение: k - номер витка спирали, который заполняется на данной итерации, на предыдущих витках ставятся `4*(k-1)*(n-k+1)` чисел.

Так же было сказано, что существует функция без всех вот этих минимумов, которая задает правильное значение элемента простым присваиванием выражения, содержащего размерность матрицы, индексы элемента и "возможно" чего-то еще.

Это - одна из зачетных задач. Я ее уже сдал, воспользовавшись другим алгоритмом, поэтому данный вопрос несет скорее любознательный характер:
Может, вы где-нибудь встречали такую функцию? В книгах, методичках, еще где-нибудь? Мои самостоятельные попытки вывести ее не увенчались успехом. Поиск гуглом тоже результатов не дал. Преподаватель бука - функцию не покажет, как ты его не умоляй...

@темы: Аналитическая геометрия

23:04 

Матанализ. Пределы.

Доброго вечера.
Есть две задачки:
Первая задача: При каких `alpha` следующий предел при натуральных `m` и `n`
`lim_(x->0)(((1+m*x)^n-(1+n*x)^m))/(x^(alpha))`.

будет конечным и отличным от нуля?

Я рассматривал два случая: 1. n > m. 2. n < m. В обоих случаях, раскрывая скобки по биному Ньютона, я получал, что при альфа равном 2 предел принимал конечное, отличное от нуля значение. При других альфа получал, что предел равен либо нулю, либо бесконечности. Ответ правильный?

Вторая задача: При каких `alpha` следующий предел при действительных `u` и `v`

`lim_(x->0)(((1+a*x)^u)*((1+b*x)^v) - 1)/(x^(alpha))`

будет конечным и отличным от нуля?

Преобразованиями я свел этот предел к пределу `lim_(x->0)(((u*a+v*b)*x)/(x^(alpha)))`, откуда получил, что при альфа равном 1 предел принимает конечное, отличное от нуля значение. Правильный ли ответ?

@темы: Математический анализ

20:40 

Найти сумму

Доброго вечера.
Есть задачка...
Найти сумму:
`1/2+2/(2^2)+3/(2^3)+...+n/(2^n)`
Задача по мат. анализу и находится в теме "Геометрическая Прогрессия", но я что-то не вижу тут этой прогрессии. Помогите, пожалуйста.

@темы: Математический анализ, Прогрессии

22:14 

Множество действительных чисел. Плотность.

Доброго вечера...
Есть задачки:
1) Доказать, что множество рац. чисел, расположенное между двумя действительными, является бесконечным и счетным.
2) Доказать, что множество иррац. чисел, расположенное между двумя действительными, является бесконечным и имеет мощность континуума.

Проблема в том, что я не знаю, за что цепляться. Я попытался сделать так: доказать, что между двумя действ. числами существует беск. много действ. чисел. Потом это множество представить в виде объединения рац. и иррац. чисел, потом, используя св-во, что беск. мн-во имеет счетное подмножество, показать, что счетным подмножеством может быть только множество рац. чисел на данном промежутке. А отсюда и делаем вывод, что мн-во рац. чисел между двумя действ. бесконечное и счетное.
Касательно второй задачи, все аналогично, только работаем с мн-вом иррац. чисел.

Доказательство у меня какое-то не такое. Да и доказательство ли это вообще? Оно как-будто одно из другого вытекает. =(
Помогите, пожалуйста, расставить все точки над i.

@темы: Множества, Математический анализ

12:18 

Множество транцендентных чисел. Множество алгебраических чисел.

Добрый день.
Есть задачка:
Доказать, что множество алгебраических чисел есть множество счетное. А множество трансцендентных чисел есть множество мощности континуума.
Мн-во алг. чисел - мн-во счетное:
1) Т.к. алг. число - корень многочлена с целыми коэффициентами, то мн-во алг. чисел - это счетное объединение конечных множеств корней многочленов с целыми коэффициентами. А счетное объединение конечных множеств - мн-во счетное. Так пойдет, или тут есть какие-то вещи, которые я не предусмотрел?

2)Тут у меня есть идея, но я не уверен, что она правильная. Если объединить множество трансцендентных чисел с множеством алгебраических чисел, то получим множество действительных чисел. Тогда:
R = A+B, где А - мн-во алг. чисел, а В - мно-во трансцендентных.
Предположим, что В - счетное множество, тогда получим, что множество действительных чисел тоже счетное множество, т.к. объединение двух счетных множеств есть множество счетное. Противоречие, т.к. R несчетно. Следовательно множество В - несчетно. Тогда, если к бесконечному несчетному мн-ву В добавить счетное мн-во А, то получим множество А+В, мощность которого равна мощности мн-ва В. Но А+B = R, тогда |B| = |A+B| = |R|, откуда следует, что мощность множества трансцендентных чисел чисел равна мощности множества действительных чисел, которая в свою очередь равна континууму. Отсюда множество трансцендентных чисел есть множество мощности континуума.

Очень прошу проверить и указать на ошибки или неточности, если таковые имеются.

@темы: Математический анализ, Множества

18:23 

Отношение эквивалентности. Дискретная математика.

Доброго вечера...
Есть задания:
1. Доказать, что следующие отношения являются отношениями эквивалентности на множестве натуральных чисел. Определить для них число классов эквивалентности и количество элементов в каждом таком классе.
b) x R y <=> количества разных цифр в десятичных записях х и у совпадают;
c) x R y <=> суммы цифр двоичных записей х и у равны;
d) x R y <=> для х и у совпадают максимальные простые делители;
e) x R y <=> число нулей в десятичной записи х равно числу нулей в десятичной записи у.

2. Показать, что следующие отношения являются отношениями эквивалентности на множестве слов в латинском алфавите. Определить число и мощности классов эквивалентности.
b) a R b <=> совпадают слова, получающиеся из a и b после удаления первых вхождений каждой буквы в них;
c) a R b <=> совпадают слова, получаемые из а и b после удаления всех четных вхождений всякой буквы в них.

С доказать\показать сложности у меня уже не возникают, благодаря Дилетанту. Сложность возникает с числом классов и кол-вом элементов в классе.
Вот например, если взять 1.b, то получим, что число классов = числу таких чисел? Если так, то тогда число классов бесконечно? А с элементами как быть?

@темы: Дискретная математика

19:06 

Отношения на множествах. Дискретная математика.

Всем доброго вечера.
Есть задания:
1) Определить св-ва отношения на множестве N: { (x,y) | |x+y|>=6 }
2) Определить св-ва отношения на множестве R: { (f,g) | f(x)g(x)>1}
Ребят, вообще не могу. Подходил к преподавателю - повторно объяснять отказывается. Помогите, пожалуйста.

@темы: Дискретная математика

20:54 

Дискретная Математика. Множества.

Добрый вечер!
Есть такое задание: "Пусть А и В подмножества множества U. Выразить АuB, используя множества А,В,U и операцию \."
Исходя из условия, я понял, что нужно пользоваться только тремя множествами и операцией разности. Но, используя только это, у меня ничего не получилось.
Я смог это сделать только использовав операцию объединения и отрицания: (U\-A)u(U\-B).
Прошу помощи!

@темы: Дискретная математика

16:26 

Планиметрия. ЕГЭ. С4.

Доброго дня...
Задача 7.
На боковых сторонах AB и CD трапеции с основаниями AD и BC отмечены точки P и Q соответственно, причем PQ || AD. Прямая PQ разбивает трапецию на части, площади которых относятся как 1 : 2. Найдите PQ если AD = a, BC = b.
Рисунок

Случай 1.
SPKQ = PK * PQ * sin(a)/2, SBKC = BK * b * sin(a)/2, тогда SPBCQ = SPKQ - SBKC. SAKD = AK * a * sin(a)/2, тогда SAPQD = SAKD - SPQK. По условию SAPQD = 2 * SPBCQ. Тогда получаем:

2 * (PK * PQ * sin(a) - BK * b * sin(a)/ 2) = AK * a * sin(a) - PK * PQ * sin(a)/2;
Преобразуем чуток и получим:
3 * PK * PQ = AK * a + 2 * BK * b. Тут я решил поделить на АК...
3 * PK/AK * PQ = a + 2 * BK/AK * b. Теперь из подобия заменяем PK/AK на PQ/a...
3* PQ^2 = a^2 + 2 * b^2 => PQ = sqrt( ( a^2 + 2* b^2 )/3 ) . Аналогично для случая 2. Подсчитав, получим, что PQ = sqrt( ( b^2 + 2* a^2 )/3 ). Прошу проверить. Если все правильно, то скажите, пожалуйста, нет ли способа получше, а то это решение какое-то паленое...

Задача 3.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B и углом a при вершине A точка D - середина гипотенузы, а точка С1 симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол AC1B.
Рисунок


Случай 1. AC1C опирается на диаметр, значит он равен 90 градусов. Т.к. тр. ОBC равнобедренный, то угол OBC = углу OCB = 90 - a. Т.к. OC1BC - выпуклый дельтоид (две пары сторон одинаковой длинны : OC1 = OC (как радиусы), C1B = BC (в силу симметрии ), ьл BO перпендикулярна C1C, откуда получаем, что тр. OC1B = тр OCB и угол OBC1 = OBC = 90-a. Тогда, угол BC1C = 90 - (90 - a) = a. Т.к. угол AC1B = угол AC1C + угол BC1C, то угол AC1B = 90+a.
Случай 2. Т.к. СС1AB - выпуклый дельтоид (две пары сторон одинаковой длинны), то BC1 перпендикулярна AC. Тогда угол AC1B = 90 - угол OAC1 = 90 -a. Второй случай подробно не расписывал... Просьба тоже проверить... Спасибо!

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

13:00 

Планиметрия. ЕГЭ. С4.

Доброго дня!
Задача 1. Медиана БМ треугольника АБС равна его высоте АН. Найдите угол МБС.
2 случая:

1 случай: MH1 || AH. Тогда MH1 - ср. линия тр. AHC и равна половине АН. По условию БМ равно АН, тогда из прямоугольного тр. БМН1 получаем, что катет МН1 равен половинке гипотенузы БМ, откуда делаем вывод, что угол МБС равен 30-ти градусам.
2 случай: МН1 || AH. Тогда МН1 - ср. линия тр. АНС и равна половине АН. По условию БМ равна АН, тогда из прямоугольного тр. БМН1 получаем, что катет МН1 равен половинке гипотенузы БМ, откуда делаем вывод, что уголь МБН1 равен 30-ти градусам, а следовательно, смежный ему угол МБС равено 180-30 = 150 градусов.
Проверьте, пожалуйста, и скажите, верны ли мои утверждения, и если на егэ проводить вот такую аргументацию, поставят ли макс. балл?

@темы: ЕГЭ, Планиметрия

10:58 

Неравенства. ЕГЭ. С3.

Доброе утро!
Прошу вас проверить два неравенства.Заранее спасибо!
1)`17^(log_(1/17)(log_3(x)))>3^(log_(1/3)(log_17(x))) =>` ОДЗ `{(log_3(x)>0),(log_17(x)>0),(x>0):} => {(x>1),(x>1),(x>0):}` теперь само нер-во: `17^(log_(1/17)(log_3(x)))>3^(log_(1/3)(log_17(x))) <=> 1/(log_3(x))>1/(log_17(x)) <=> log_x(3)>log_x(17) <=>`
`log_x(3/17)>0 <=> (x-1)*(-14/17)>0 <=> (x-1)<0 <=> x<1` С учетом одз, получаем, что корней нет. Все ли я правильно сделал? Действительно ли здесь нет корней?

2)`(1/2)^(sqrt((x^2-2x-15)^3)) * 7^((x+3)^2(x-5))<=1` ОДЗ `(x+3)(x-5)>=0 => x in (-oo;-3]uu[5;+oo)` само нер-во: `(1/2)^((x+3)(x-5)*sqrt((x+3)(x-5))) * 7^((x+3)^2(x-5))<=1` представляем, что `(1/2)^a = 7^(log_7((1/2)^a))`, тогда получаем:
`log_7((1/2)^((x+3)(x-5)*sqrt((x+3)(x-5)))) +(x+3)^2 * (x-5)<=0` выносим степень из-под аргумента логарифма: `(x+3)(x-5)*(sqrt((x+3)(x-5)))*log_7(1/2)+(x+3)^2 * (x-5)<=0 => (x+3)(x-5)*((sqrt((x+3)(x-5)))*log_7(1/2)+x+3)<=0` Подбором получаем, что в третьей скобке корень -3. Тогда, `(x+3)(x-5)*((sqrt((x+3)(x-5)))*log_7(1/2)+x+3)<=0 <=> (x+3)^2(x-5)<=0`. С учетом одз: `x in (-oo;-3] uu {5}`Не нравится мне третья скобка с корнем и логарифмом. Можно ли без подбора выделить там -3?

@темы: Логарифмические уравнения (неравенства)

11:35 

Система неравенств. ЕГЭ. С3.

Добрый день. Помогите, пожалуйста справиться с данной системой нер-ств:
`{((lg(log_3^2(x)+1)-lg(log_3(x)+3))/(x+5)>=0), (36^x+36*root(4)(6)-6^(x+1/4)<6^(x+2) + root(4)(6) * log_6(0.5x) - log_6(0.5x)^(6^x)) :}`

Задача взята из сборника для подготовки к ЕГЭ Лысенко зеленого цвета, вариант 13.

Мой ход решения:
Решаем первое нер-во:
ОДЗ:
`{(log_3^2(x)+1> 0),(log_3(x) + 3 > 0),(x>0):}` `{(x in R),(x > 1/27),(x>0):}` `=> x in (1/27:1]uu[3;+oo)`
Само нер-во преобразуем к виду: `lg((log_3^2(x) + 1) / (log_3(x) + 3))/(x + 5) >=0`, т.к. `x>1/27`, то `x+5 >0` всегда, исходя из этого я просто умножил нер-во на `(х+5)`, получим:
`lg((log_3^2(x) + 1)/(log_3(x)+3)) >=0`. Делаем замену логарифма на t, получаем `lg((t^2 + 1)/(t+3))>=0` `=> (t * (t - 1))/(t+3) >=0`, откуда `t>(-3)` , `t<=0` , `t>=1`, сделав обратную замену найдем x: `x in (1/27;1]uu[3;+oo)`

Решаем второе нер-во:
Преобразуем его к виду: `6^(2x) + 36 * root(4)(6) - root(4)(6) * 6^x - 36 * 6^x <(root(4)(6) - 6^x) * log_6(0,5x)`
Сделаем замену `6^x = t`, где `t>0` `=> t^2 + 36 * root(4)(6) - root(4)(6) * t - 36t< (root(4)(6) - t) * log_6(0,5x)`
Выносим за скобки общий множитель: `(t - 36)(t - root(4)(6))<(root(4)(6) - t) * log_6(0,5x)`
Переносим правую часть влево, выносим минус из `(root(4)(6) - t)` и еще раз выносим общий множитель за скобки: `(t - root(4)(6)) * (t - 36 + log_6(0,5x))<0`
Дальше не знаю, как быть. Подскажите, пожалуйста.

Сложная для восприятия запись, я понимаю. Еще раз прошу меня извинить.

@темы: Показательные уравнения (неравенства), Логарифмические уравнения (неравенства), ЕГЭ

23:17 

С1. ЕГЭ. Тригонометрия.

Здравствуйте!
У меня некоторые несоответствия с ответом. Вот сам пример:

1/tg^2(x) - 1/sin(x) - 1 = 0;

После решения это ур-ия нужно отобрать корни на промежутке [-3*pi ; -3*pi/2]

Очень сложно будет расписать весь ход решения, поэтому напишу только основные моменты:

1) Меняем 1/tg^2(x) на ctg^2(x);
2)Умножаем все выражение на sin^2(x); получаем cos^2(x) - sin(x) - sin^2(x) = 0;
3)Меняем квадрат косинуса в предыдущем выражении, умножаем на (-1) и делаем замену sin(x) = t, |t|<=1;
4)Решаем ур-ие 2t^2 + t - 1 = 0;
5)Получаем, что sin(x) = -1 или sin(x) = 1/2
6)Решая эти уравнения, получаем, что x = -Pi/2+2Pi*k, k in Z ; x = Pi/6+2Pi*n, n in Z ; x = 5*Pi/6+2Pi*l, l in Z.

Отбор корней получился такой:
1) Из семейства x = -Pi/2+2Pi*k, k in Z получаем -5*pi/2
2) Из семейства x = Pi/6+2Pi*n, n in Z получаем 11*Pi/6
3) Из семейства x = 5*Pi/6+2Pi*l, l in Z получаем, что целых l на этом промежутке нет.
Ответ: а) x = -Pi/2+2Pi*k, k in Z ; x = Pi/6+2Pi*n, n in Z ; x = 5*Pi/6+2Pi*l, l in Z.
б)-5*pi/2; 11*Pi/6

В ответах к примеру отсутствует семейство корней -pi/2 и, как следствие, отсутствует -5*pi/2.

Проясните мне, пожалуйста, что я не так делаю. Спасибо!

@темы: ЕГЭ, Тригонометрия

19:43 

Математика. ЕГЭ. С2.

Здравствуйте! С прошедшим праздником!
Возникли проблемы в решении данной задачи типа С2.
Вот условие:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Точка М - середина ребра SD. Найдите расстояние от точки А до прямой BM.

Я нашел величину прямой АМ=sqrt(6). Как мне показалось, это поможет в дальнейшем найти искомое расстояние. Дальше у меня возникли проблемы. По моему мнению треугольник ABM прямоугольный (угол MAB прямой), но, по всей видимости, мое мнение в корне разошлось с мнением составителей задачи. Просьба натолкнуть на решение. Вот мой рисунок:


@темы: ЕГЭ, Стереометрия

22:59 

C3

Всем доброго мм доброй ночи. Прошу прощение за столь поздний час. Но у меня что-то ступор получается. В общем, вот условие : log_[2-x](x+2) * log_[3+x](3-x) >= 0.

У меня в ответе получается промежуток [-1 ; 1). а в ответах (-2 ; 1) ( 1 ; 2). В ответах ошибка или у меня? =)

@темы: ЕГЭ

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная