• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: VEk (список заголовков)
17:34 

IMO-2017

Белый и пушистый (иногда)
Завершилась 58-я Международная математическая олимпиада. Все участники российской команды получили медали.

Награду высшего достоинства завоевал Михаил Иванов из Санкт-Петербурга.
Серебряные медали получили Георгий Вепрев из Ярославской области, Кирилл Тыщук из Санкт-Петербурга и Никита Добронравов из Новосибирска.
Бронза у москвичей Тимофея Зайцева и Вадима Ретинского.

Руководители команды: Н. Х. Агаханов, М. Я. Пратусевич, Д. А. Терёшин.

Задачи можно посмотреть здесь www.imo-official.org/problems.aspx
Там же можно посмотреть индивидуальные результаты участников и разнообразную статистику.

PS Физики на IPhO-2017 выступили успешнее - 5 золотых медалей на 5 участников.

@темы: Олимпиадные задачи

16:22 

День учителя математики

Белый и пушистый (иногда)
9 апреля в МГПУ проходил день учителя математики xn--80aa8agek3a.xn--1-btbl6aqcj8hc.xn--p1ai/201...
Из новостей в образовании:
учитывая современные требования к ученику, может быть, стоит разрешить использовать калькулятор? Для многих это звучит дико, но ведь во многих странах мира уже принято в некоторых частях экзамена использовать умную машину, чтобы производить вычисления по сложным формулам.
― Так мы жертвуем арифметикой, зато даем человеку возможность освоить навыки, которые реально пригодятся ему в жизни, ― заметил Семенов.

Насколько понимаю посыл данного профессора, основной навык - умение нажимать кнопки на "куркуляторе". Конечно, этому надо учить 11 лет.

А вообще почитайте статью по ссылке. Интересно.

@темы: Образование

17:54 

Полезные материалы

Белый и пушистый (иногда)
В сети найден интересный сайт mathus.ru/math/index.php, ведет сайт И. В. Яковлев.
На сайте размещены материалы о подготовке к ЕГЭ, олимпиадам ВУЗов и математическим олимпиадам для школьников (5-7 и 8-11 классы). Материалы интересные, задачи собраны по темам, в каждом файле имеется разбор нескольких задач и большое количество задач для самостоятельного решения. Имеются также материалы базового курса для школьников с разбором меодов решения задач.
Кроме математики имеется большой раздел по физике, в котором также присутствуют материалы как для подготовки к олимпиадам, так и для подготовки к ЕГЭ.

Сайт можно рекомендовать как школьникам, интересующимся указанными аспектами, так и учителям, работающим со школьниками.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, Олимпиадные задачи

19:07 

Некоторые итоги ЕГЭ - 2015

Белый и пушистый (иногда)
В день знаний ФИПИ порадовало "методическими рекомендациями для учителей"по математике. www.fipi.ru/ege-i-gve-11/analiticheskie-i-metod... Поскольку в документе нормальных таблиц нет, рискну описать результаты так: в кавычках копия текста из метод. указаний.
Предположим, что сдавало ЕГЭ примерно 700 000 человек.
"Экзамен на профильном уровне сдавали около 70% всех участников по математике" это чуть меньше 500000, округлим до 501000.
"В 2015 году 100 баллов получили 66 участников экзамена по математике профильного уровня" - вспомним, что 100 баллов давали за 32 - 34 ПБ из 34 возможных
"Высокие баллы по математике профильного уровня (81–100 тестовых баллов) в 2015 году получили 1,63% участников экзамена" - округлим до 5/3%, что от приведенной оценки (501000) составит 8350 чел, возьмем для ровного счета 8500 человек.

Далее. ТБ менялись так: 80, 82. Будем считать, что все кто попали в указанный расчет (8500 человек) получили не менее 82 баллов, что соответствует 21ПБ. За что их можно было получить? 14 ПБ за первую часть и 7 баллов за вторую (например, решить тригонометрическое уравнение с отбором корней (2ПБ), неравенство (еще 2 ПБ) и насобирать оставшиеся 3 балла по остальным 5 задачам ( 2 геометрии, задача с эконом содержанием, задача с параметром и задача 21 - полуолимпиадная тематика). Интересно, каков план приема на специальности с хорошей математикой в некоторых крупных ВУЗах (МГУ, МФТИ, ВШЭ(матфак), СПбГУ, НГУ)? Даже перечисленные ВУЗы вполне могут забрать всех этих 8500 человек. Что же остается другим ВУЗам?

"Наиболее значимая дифференциация участников с высоким уровнем математической подготовки происходит при выполнении заданий 18–21."
"К повышенному уровню относятся задание 15 (около 40% участников получили хотя бы 1 балл, полный балл получили около 35%) – уравнение с отбором корней; задание 17 (около 20% получили максимальный балл) – неравенство; задание 19 (максимальный балл – около 7%) – задача с экономическим содержанием. К заданиям высокого уровня относятся задания 20 и 21 – задача с параметром и задание на умение строить и исследовать математические модели.
Задания по геометрии относятся к повышенному уровню. Задание 16 (максимальный балл получили около 7%) – стереометрическая задача. Задание 18 (максимальный балл – около 1%) – планиметрическая задача."
Статистика решения задач 20-21 не приведена.
Вот такие результаты.

@темы: ЕГЭ

02:31 

IMO 2015

Белый и пушистый (иногда)
В Таиланде прошла очередная (57) международная олимпиада по математике. Российская команда выступила достаточно ровно, завоевав 6 серебряных медалей (к сожалению, золотых медалей нет). Всего принимало участие 577 человек (школьники).

Предлагаю несколько задач с этой олимпиады.

1. Конечное множество S точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек A и B из множества S найдется точка C из множества S такая, что AC=BC. Множество S будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек A, B и C из множества S не существует точки P из множества S такой, что PA=PB=PC.
а) Докажите, что для любого целого `n >= 3` существует сбалансированное множество, состоящее из n точек.
б) Найдите все целые `n>=3`, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из n точек.

2. Найдите все тройки (a,b,c) целых положительных чисел такие, что каждое из чисел ab-c, bc-a, ca-b является степенью двойки.

3. Пусть ABC остроугольный треугольник, в котором AB > AC. Пусть G – окружность, описанная около него, Н – его ортоцентр, а F – основание высоты, опущенной из вершины А. Пусть M – середина стороны BC. Пусть Q – точка на окружности G такая, что угол `HQA=90^@`, а K – точка на окружности G такая, что угол `HKQ=90^@`. Пусть точки A,B, C, K, Q различны и лежат на окружности G в указанном порядке.
Докажите, что окружности, описанные около треугольников KQH и FKM, касаются друг друга.

4. Пусть Okr – окружность, описанная около треугольника ABC, а точка O – ее центр. Окружность Gm с центром A пересекает отрезок BC в точках D и E так, что точки B,D, E, C все различны и лежат на прямой BC в указанном порядке. Пусть F и G – точки пересечения окружностей Okr и Gm, при этом точки A,F, B, C, G лежат на окружности Okr в указанном порядке. Пусть K – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника BDF, и отрезка AB. Пусть L – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника CGE, и отрезка CA.
Пусть прямые FK и GL различны и пересекаются в точке X. Докажите, что точка X лежит на прямой AO.

5. Пусть R – множество всех действительных чисел. Найдите все функции f : R -> R, удовлетворяющие равенству f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+y∙f(x) для всех действительных чисел x и y.

Тексты задач взяты с сайта www.imo-official.org/

@темы: Планиметрия, Олимпиадные задачи

23:25 

САММАТ-2015

Белый и пушистый (иногда)
Опубликованы задачи заключительного тура олимпиады САММАТ-2015 (с решениями).
sammat.ru/files/2015/sammat2015.pdf

@темы: Олимпиадные задачи

09:03 

Скачок Виета

Белый и пушистый (иногда)
Нашел интересную статью на сайте г-жи Калининой Е.А. hijos.ru/2015/02/27/skachok-vieta/
Про этот сайт уже писал неоднократно. Рекомендую.

@темы: Олимпиадные задачи

16:02 

Интересные задачи.

Белый и пушистый (иногда)
В текущем Венгерском конкурсе (контрольная дата 12.01) есть такая задача.
Что больше `log_3 4*log_3 6*log_3 8*...*log_3 2014` или `2*log_3 3*log_3 5*...*log_3 2013`.
И вспомнилось , что подобная задача фигурировала в публикациях памяти Валерия Сендерова. Это задача из "избранных" задач вступительных экзаменов в МГУ в 1986 году.
Сравнить `(log_3 4*log_3 6*log_3 8*...*log_3 80)/(2*log_3 5*log_3 5*...*log_3 79)` и 1.
Текст задачи 1986 года взят по ссылке у Шеня А.Х.

Еще одна задача, геометрическая, с того же конкурса. Пусть E - точка пересечения диагоналей вписанного четырехугольника ABCD, O - центр описанной окружности. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке F, продолжения сторон BC и AD пересекаются в точке G. Вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников BFC и CGD обозначим H. Докажите, что точки O, E и H лежат на одной прямой.

Задачи приводятся для желающих порешать.

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Планиметрия

13:23 

Интересное неравенство

Белый и пушистый (иногда)
Заинтересовала задача, увиденная на соседнем форуме.
Решить неравенство `2^(2x+1)+2^(4x+3) >= 17*2^(x^2+2x)`.
Умножим неравенство на 2 и сделаем замену `t=x+1`, получим `2^(2t)+2^(4t) >= 17*2^(t^2)`. Поделим неравенство на положительное число `2^(t^2)`и приведем к виду
`1/(2^(t(t-2))) + 16/2^((t-2)^2) >= 17`. Легко видеть, что `t=2` является решением. При `t> 2` знаменатели дробей в левой части неравенства больше 1, поэтому неравенство не выполняется. Также очевидно, что оно не выполняется при `t <= 0`. При `t in (0;1]` левая часть неравенства монотонно возрастает до значения 9, и, соответственно, решений не имеет.
Остается исследовать как себя ведет неравенство на участке `t in (1;2)`. Перепишем неравенство в виде `2^(2(2-t)-(2-t)^2)+16*2^(-(2-t)^2) >= 17`, сделаем замену `u=2-t`, получим `2^(2u-u^2)+16*2^(-u^2) >= 17`, `u in (0;1)`.
Аккуратного обоснования, что решений на указанном промежутке нет, пока получить не могу. Буду признателен, если кто-либо подскажет.

Upd WolframAlfa подсказывает, что решение будет при `u in [0;0.128]`. Похоже надо смотреть первоисточник условия, может там речь была о целых решениях неравенства.

@темы: Задачи вступительных экзаменов

15:03 

Math Prize For Girls

Белый и пушистый (иногда)
Наткнулся на одном из сайтов на раздел "Math Prize For Girls ". Не могу догадаться, из каких соображений раздел так назван.
Вот одна из задач (адаптирована к текущему году).
Вычислите `2015^4-4*2014^4+6*2013^4-4*2012^4+2011^4`. Стало очень интересно, а если дать это нашим школьникам на ЕГЭ в качестве 10-й задачи (несложные вычисления, типа `sqrt(197^2-28^2)`), сколько из них справятся.

Рекомендую школьникам попробовать решить эту задачу, пример в скобках также можно решить.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

18:34 

Геометрическая задача.

Белый и пушистый (иногда)
Пишет Гость eek.diary.ru/p103177145.htm?from=60#664530585

В треугольнике ABC угол при вершине В равен 60 град. На стороне АВ взята точка D так что BD:AD=1 : 3. Найдите длину стороны АВ, если известно, что радиус окружности,касающейся прямой ВС и проходящей через точки А и D, равен 7 sqrt(3).
не знаю как решать

Рекомендуется решать примерно таким образом:
Пусть K - точка касания указанной окружности со стороной BC.
1. Докажите, что отрезок `KD _|_ AB` (для этого найдите сначала BK);
2. Докажите, что AK - диаметр проведенной окружности
3. Остается собственно нахождение длины стороны. Ответ: 1428

Upd (Спасибо за подсказку)
Пусть точка K лежит на продолжении прямой BC за точку B.
Тогда последовательно находим BK, KD (выражаем их через BD), а затем, по теореме синусов, диаметр окружности.
Ответ: 12

@темы: Планиметрия

08:53 

Турнир Городов

Белый и пушистый (иногда)
На просьбу Alemand. Задачи сложного тура ТГ-35 (8-9 классы)

1. Дед Мороз раздал детям 47 шоколадок так, что каждая девочка получила на одну шоколадку больше, чем каждый мальчик. Затем дед Мороз раздал тем же детям 74 мармеладки так, что каждый мальчик получил на одну мармеладку больше, чем каждая девочка. Сколько всего было детей? (3б)

2. На клетчатой доске 5 × 5 Петя отмечает несколько клеток. Вася выиграет, если сможет накрыть все эти клетки неперекрывающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трёх клеток (уголки разрешается класть только «по клеточкам»). Какое наименьшее число клеток должен отметить Петя, чтобы Вася не смог выиграть? (5б)

3. На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, ее размеры могут отличаться от размеров стола.) (6б)

4. Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по натуральному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков? (7б)

5. Дано несколько белых и несколько черных точек. От каждой белой точки идет стрелка в каждую черную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту из стрелок, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли тогда можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на ее концах? (7б)

6. Из кубиков 1 × 1 × 1 склеен куб 3 × 3 × 3. Какое наибольшее количество кубиков можно из него выкинуть, чтобы осталась фигура с такими двумя свойствами:
• со стороны любой грани исходного куба фигура выглядит как квадрат 3 × 3 (глядя перпендикулярно этой грани, мы не увидим просвета — видны 9 кубиков фигуры);
• переходя в фигуре от кубика к кубику через их общую грань, можно от любого кубика добраться до любого другого? (9б)

7. На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A1, A2, . . . , A10, причём известно, что их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A1, A2, . . . , A9, а десятый кузнечик сидит на дуге A9A10A1. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A10? (9б)

@темы: Олимпиадные задачи

05:43 

Геометрические скульптуры

Белый и пушистый (иногда)
Уже не один раз ссылался на сайт Калининой Е.А. "Математика, которая мне нравится" . Вот одна из последних статей с ее сайта:
Профессор Беркли пробует себя в математическом искусстве (и обратно) hijos.ru/2014/01/12/geometricheskie-skulptury/

Карло Сейкин живет в мире невозможных объектов и потрясающих форм. Посещение кабинета почетного профессора информатики похоже на путешествие вниз по кроличьей норе. Парадоксальные тела встречаются в каждом его уголке, лежат на полках, стоят на пьедесталах, свисают с потолка — оптические иллюзии, воплощенные в бумаге, картоне, пластике и металле.

В статье есть ссылка на фото геометрических скульптур. Рекомендую.

@темы: Новости

03:04 

Революция в образовании

Белый и пушистый (иногда)
Останется десять университетов (Интервью Сергея Сумленного с профессором Хеберле, опубликовано в журнале "Эксперт").

Формирование глобальной системы дистанционного получения высшего образования через интернет только началось, и потому до конца не ясно, насколько успешной окажется эта модель. Однако понятно, что если модель окажется жизнеспособной, то доминировать в ней будут американские университеты.
Экспансия университетского образования в интернет приведет к тотальному изменению научного мира. В нем останется лишь несколько университетов, профессора утратят свой статус, а наука сконцентрируется в США, считает немецкий профессор Эрвин Хеберле, долгие годы преподававший в Свободном университете Берлина, Университете Женевы и Университете Сан-Франциско.

читать дальше

@темы: Образование

16:54 

Сумма делителей числа

Белый и пушистый (иногда)
Пишет student123 eek.diary.ru/p85182052.htm?from=last&discuss#fo...
помогите в такой задаче : найдите натуральное число,имеющее ровно два простых делителя,если сумма всех его делителей равна 28

@темы: Теория чисел

04:31 

Интервью Александра Попова, дир. лицея 31, Челябинск

Белый и пушистый (иногда)
Александр Попов,
директор Челябинского физико-математического лицея №31: «Не хочу жить рабом в этом городе»
образование, школа, директор, конфликт
Пять месяцев тому назад челябинцы узнали, что одного из самых известных на Урале и в России школьных директоров – Александра Попова – заподозрили в посредничестве при даче взятки. В защиту директора школы учениками, родителями, коллегами, российскими писателями было написано множество писем. Но письма остались без внимания. Мало того, бывший физрук 31-го лицея на днях вдруг вспомнил о давней обиде и захотел привлечь Александра Попова к уголовной ответственности. Что это – намеренная травля человека, не желающего быть послушным? Долгое время Александр Евгеньевич отказывался комментировать ситуацию, но сегодня согласился ответить на наши вопросы.

читать дальше

Взято здесь.

@темы: Люди

04:56 

IMO2013 Планиметрия

Белый и пушистый (иногда)
Вот две задачи по планиметрии с IMO2013 (проходила в Колумбии). Команда России получила 4 золотых и 2 серебрянных медали.

1. (№3) Пусть вневписанная окружность треугольника `ABC`, лежащая напротив вершины `A`, касается стороны `BC` в точке `A_1`. Точки `B_1` на стороне `CA` и `C_1` на стороне `AB` определяются аналогичным образом с использованием вневписанных окружностей, лежащих напротив вершин `B` и `C`, соответственно. Известно, что центр описанной окружности треугольника `A_1B_1C_1` лежит на описанной окружности треугольника `ABC`. Докажите, что треугольник `ABC` прямоугольный.

2. (№4) Пусть `H`  точка пересечения высот остроугольного треугольника `ABC`. Пусть `W` произвольная точка на отрезке `BC`, отличная от точек `B` и `C`. Обозначим через `M` и `N` основания высот треугольника `ABC`, проведенных из вершин `B` и `C`, соответственно. Пусть `omega_1` -  окружность, описанная около треугольника `BWN`, а `X`  такая точка на `omega_1`, что `WX` - диаметр `omega_1`. Аналогично, пусть `omega_2` - окружность, описанная около треугольника `CWM`, и `Y`  такая точка на `omega_2`, что `WY` -диаметр `omega_2`. Докажите, что точки `X`, `Y` и `H` лежат на одной прямой.

@темы: Планиметрия, Олимпиадные задачи

10:29 

О ЕГЭ 2013

Белый и пушистый (иногда)
Пишет valevst (valevst.livejournal.com/317062.html)

ЕГЭ 2013. Провал.

Что ж, пора подводить промежуточные итоги. Вчера прошёл второй общий для всех выпускников страны экзамен, и стало ясно, что в этом году битва за ЕГЭ проиграна его сторонниками. читать дальше

Ходят слухи, что физика также была выложена в сети.

@темы: ЕГЭ

18:45 

Учителям и любителям геометрии

Белый и пушистый (иногда)
Наткнулся сегодня в магазине на очередной выпуск изд-ва Илекса, сер. "Математика уровня C".
Книга называется "Избранные задачи по геометрии. Окружность.", авторы: В.Б. Алексеев, В.С. Панферов, В.А. Тарасов.
Рассматриваются задачи на расположение точки на окружности, внутри и вне окружности. Также рассматриваются случаи касания окружностей , их пересечение и вневписанные окружности.
Все разобранные задачи и задачи для самостоятельного решения взяты со вступительных экзаменов на различные факультеты МГУ. Каждый тип задач обязательно разбирается (приводится решение и комментарии).
Вот пара примеров.

1. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E, AB=AD, CA - биссектриса угла C, `/_BAD=140^@`,`/_BEA=110^@`. Найти угол CDB.

2. Диаметр AB и хорда CD окружности пересекаются в точке E, причем CE=DE. Касательные к окружности в точках B и C пересекаютcя в точке K. отрезки AK и CE пересекаются в точке M. Найти площадь треугольника CKM, если AB=10, AE=1.

@темы: Литература, Планиметрия

18:17 

Олимпиада САММАТ-2013. Заключительный тур

Белый и пушистый (иногда)
Прошел заключительный тур XXI Межрегиональной олимпиады школьников по математике "САММАТ-2013". Предлагаем ознакомиться с задачами для 11 класса.

1. В первом туре олимпиады "САММАТ" 2013 школьников прошли во второй тур ( т.е. решили не менее пяти задач из десяти). Докажите, что среди них найдутся по крайней мере четверо школьников, которые решили одни и те же задачи.

2. Пусть `x_1,x_2,...,x_(2012)` удовлетворяют равенству `(1-x_1)^2+(x_1-x_2)^2+...+(x_(2011)-x_(2012))^2+x_(2012)^2=1/(2013)`. Чему равно `x_1-x_(2012)`?

3. Два одинаковых куба с ребром `a` имеют общую диагональ, но один повернут относительно этой диагонали на `60^@` по отношению к другому. Найти объем их общей части.

4. При каком наименьшем `n` выполняется неравенство `log_2^n 3*log_3^n 4*...*log_(n-1)^n n*log_n^n (n+1) > 2013`?

5. Пусть задана последовательность `a_n`: `a_(n+1)=a_n^2-a_n+1`, `a_1=2`. Вычислить `1/a_1+1/a_2+...+1/a_(100)` с точностью до 20 знаков после запятой. Какая цифра стоит на 13 месте?

6. Для некоторых функций `f(x)` и `g(x)` при всех `x` верно `{(f(x)=g(x+1)*g(x-1)),(g(x)=f(x+1)*f(x-1)):}`, причем `f(3)+g(9)=2013`. Чему равно `f(2013)+g(2013`?

7. Дан треугольник ABC, площадь которого равна 2013. На сторонах AB и AC взяты точки D и E соответственно. На отрезке DE взята точка F. Найти, чему равно выражение `root(3) (S_(BDF))+root(3) (S_(CEF))`, если точки D, E, F выбраны так, что `(AD)/(AB)=(EC)/(AC)=(EF)/(DE)`.

8. Решите уравнение `[x^2]+1/([x^2])={x}+1/({x})`, где `[x], {x}` - целая и дробная части числа `x`.

9. Ни одно из 2n натуральных чисел не делится на (2n+2) и все эти числа дают при делении на (2n+2) разные остатки. Сумма этих чисел делится на (2n+2). Найти все указанные остатки от деления.

10. Сколько решений уравнения `cos(pi/(1+sqrt(x)))+cos(pi/(1+2x))=0` находится в [-2013;2013]?

@темы: Олимпиадные задачи

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная