Записи с темой: теория чисел (список заголовков)
18:26 

Целая часть числа

wpoms.
Step by step ...

Каково наибольшее целое число, меньшее или равное `(3^31+2^31)/(3^29 + 2^29)`?



@темы: Теория чисел

20:59 

Забывчивый фермер

wpoms.
Step by step ...

Забывчивый фермер хочет вспомнить, каковы были цены на цыплят в прошлом году. Он нашел потрепанный счет, на котором смог прочесть: "72 цыпленка проданы за *679* рублей" (первая и последняя цифры были нечитаемы).
По какой цене продавались цыплята в прошлом году?



@темы: Теория чисел

19:24 

wpoms.
Step by step ...

(i) Докажите, что если `n` является натуральным числом, то
`((2n),(n)) = ((2n)!)/(n!)^2`

является натуральным числом, которое делится на все простые числа `p` из интервала `n < p <= 2n`, и что
`((2n),(n)) < 2^{2n}`.

(ii) Для положительного действительного числа `x` обозначим через `pi(x)` количество простых чисел `p <= x`. Например, `pi(10) = 4` так как есть четыре простых числа, не превосходящих `10`: `2`, `3`, `5` и `7`. Докажите, что для натуральных чисел `n >= 3` выполняется:
(a) `pi(2n) < pi(n) + (2n)/(log_2(n))`;
(b) `pi(2^n) < (2^{n+1) log_2(n-1))/n`;
(c) Выведите, что для всех действительных чисел `x >= 8`,
`pi(x) < (4x log_2(log_2(x)))/(log_2(x))`.




@темы: Теория чисел

20:36 

Натуральное число

wpoms.
Step by step ...

Пусть `a` является положительным действительным числом и пусть `b = root 3 {a + sqrt(a^2+1)} + root 3 {a - sqrt(a^2+1)}`.
Докажите, что `b` является натуральным числом тогда и только тогда, когда `a` является натуральным числом вида `1/2 n(n^2 + 3)` для некоторого натурального числа `n`.



@темы: Теория чисел

00:56 

Делимость на 1989

wpoms.
Step by step ...

Пусть `x = a_1a_2...a_n` является `n`-значным числом, где `a_1, a_2, ... , a_n` (`a_1 != 0`) - его цифры. `n` чисел `x_1 = x = a_1a_2...a_n`, `x_2 = a_na_1...a_{n-1}`, `x_3 = a_{n-1}a_na_1...a_{n-2}`, `x_4 = a_{n-2}a_{n-1}a_na_1...a_{n-3}`, `...` , `x_n = a_2a_3...a_na_1` получены из числа `x` циклической перестановкой его цифр. [Например, если `n = 5` и `x = 37001`, то полученными в результате циклической перестановки цифр числами будут `x_1 = 37001`, `x_2 = 13700`, `x_3 = 01370` (`= 1370`), `x_4 = 00137` (`= 137`), `x5 = 70013`.]
Найдите, с доказательством,
(i) наименьшее натуральное число `n` для которого существует `n`-значное число `x`, такое что все `n` чисел, полученных циклической перестановкой цифр из числа `x`, делятся на `1989`;
(ii) наименьшее натуральное число `x`, обладающее этим свойством.



@темы: Теория чисел

19:19 

Одинаковые цифры

wpoms.
Step by step ...

Заметим, что `12^2 = 144` оканчивается на две четверки и `38^2 = 1444` оканчивается на три четверки. Найдите наибольшее количество неравных нулю одинаковых цифр, на которые оканчивается квадрат натурального числа.



@темы: Теория чисел

13:25 

Магический квадрат

wpoms.
Step by step ...

Магическим квадратом размера `3 times 3` с магическим числом `m` называется матрица размером `3 times 3`, сумма элементов которой в каждом ряду, в каждой строке и на каждой диагонали равна `m`. Покажите, если квадрат состоит из натуральных чисел, то `m` делится на `3`, и каждый элемент квадрата не превосходит `2n - 1`, где `m = 3n`.
[Пример магического квадрата с `m = 6` - `((2, 1, 3), (3, 2, 1),(1, 3, 2))`.]



@темы: Теория чисел

19:33 

Преобразование дробей

wpoms.
Step by step ...

Хорошо известно, что если `p/q = r/s`, то обе эти дроби равны `(p - r)/(q - s)`.
Запишем равенство:
`(3x - b)/(3x - 5b) = (3a - 4b)/(3a - 8b)`
По указанному выше свойству эти дроби должны быть равны:
`(3x - 5b - 3a + 8b)/(3x - b - 3a + 4b) = (3x - 3a + 3b)/(3x - 3a + 3b) = 1`,
Но обе исходные дроби отличны от единицы.
Объясните, почему получился такой результат.



@темы: Теория чисел

16:05 

Ответы на тест

wpoms.
Step by step ...

Тест состоит из двадцати вопросов. За каждый правильный ответ начисляют семь очков, за каждый неправильный вычитают два очка, и ничего не начисляют за отсутствие ответа на вопрос. На сколько вопросов не даст ответ Незнайка, если за тест он получил 87 баллов?


@темы: Комбинаторика, Теория чисел

00:15 

Уравнение с факториалом

wpoms.
Step by step ...

Найдите все натуральные числа `a`, `b`, `c`, удовлетворяющие уравнению `a! * b! = a! + b! + c!`.


@темы: Теория чисел

02:31 

Факториал

wpoms.
Step by step ...

`34! = 295 \ 232 \ 799 \ cd9 \ 604 \ 140 \ 847 \ 618 \ 609 \ 643 \ 5ab \ 000 \ 000`. Найдите цифры `a`, `b`, `c`, `d`.


@темы: Теория чисел

23:42 

Остатки от деления

wpoms.
Step by step ...

Даны `n` целых чисел `x_1, ... , x_n` и натуральное число `p`, `p < n`. Обозначим
`S_1 = x_1 + x_2 + ... + x_p`;
`T_1 = x_{p+1} + x_{p+2} + ... + x_n`;
`S_2 = x_2 + x_3 + ... + x_{p+1}`;
`T_2 = x_{p+2} + x_{p+3} + ... + x_n + x_1`;
`...`
`S_n = x_n + x_1 + ... + x_{p-1}`;
`T_n = x_{p} + x_{p+2} + ... + x_{n-1}`;
Для `a = 0, 1, 2, 3` и `b = 0, 1, 2, 3` пусть `m(a, b)` будет равно количеству чисел `i`, `1 <= i <= n`, для которых `S_i` дает остаток `a` при делении на `4` и `T_i` дает остаток `b` при делении на `4`. Покажите, что `m(1, 3)` и `m(3, 1)` дают одинаковый остаток при делении на `4` тогда и только тогда, когда `m(2, 2)` четно.


@темы: Теория чисел

00:17 

ЕГЭ 15 июля 2013 (вторая волна, резерв)

ЕГЭ 15 июля 2013 (вторая волна, резерв)

С1. а) Решите уравнение `5tg^2 x + 3/(cos x) + 3 = 0`. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку `[5pi//2; 4pi]`.

С2. В правильной треугольной пирамиде `MABC` с вершиной `M` высота равна `8`, а боковые ребра равны `17`. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон `AB` и `BC` параллельно прямой `MB`.

С3. Решите систему неравенств: `2^x + 5*2^(2-x) le 21`, `(x^2-2x-10)/(x-4) + (2x^2-12x+3)/(x-6) le 3x+2`.

С4 Радиусы окружностей с центрами `O_1` и `O_2` равны соответственно `2` и `10`. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и прямой `O_1O_2`, если `O_1O_2=28`.

С5. Найдите все значения `a`, при которых уравнение `(4a)/(a-6)*3^(|x|) = 9^(|x|) + (3a+4)/(a-6)` имеет ровно два различных корня.

С6. Натуральные числа `a`, `b`, `c` и `d` удовлетворяют условию `a > b > c > d`. а) Найдите `a`, `b`, `c` и `d`, если `a + b + c + d = 15`, а `a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 19`. б) Может ли быть `a + b + c + d = 23` и `a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 23`? в) Пусть `a + b + c + d = 1200` и `a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 1200`. Найдите количество возможных значений числа `a`.

Материалы alexlarin.net.

@темы: Тригонометрия, Теория чисел, Стереометрия, Системы НЕлинейных уравнений, Рациональные уравнения (неравенства), Показательные уравнения (неравенства), Планиметрия, Задачи с параметром, ЕГЭ

00:58 

Своеобразный год

wpoms.
Step by step ...

Год `1978` был "своеобразным" в том смысле, что сумма чисел, образованных первыми двумя и последними двумя его цифрами, равна числу, которое образовано его средними двумя цифрами, то есть `19 + 78 = 97`. Найдите предыдущий и следующий "своеобразные" года.


@темы: Теория чисел

13:18 

ЕГЭ 10 июля 2013 (вторая волна)


ЕГЭ 10 июля 2013 (вторая волна)

C1. Решите уравнение `1+log_3(10x^2+1)=log_{sqrt(3)} sqrt(3x^4+30)` и найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-2.75; 0.(6)]`.

C2. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно `3sqrt(13)`, а высота равна `2sqrt(10)` вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

C3. Решите систему неравенств `11*3^{2x+2}-4*3^{x+2} + 1 le 0`, `(x^2+3x-3)/(x^2+3x) + (11x-10)/(x-1) le (12x-1)/(x)`

C4. Угол `C` треугольника `ABC` равен `30^@`, `D` - отличная от `A` точка пересечения окружностей, построенных на сторонах `AB` и `AC` как на диаметрах. Известно, что `BD:DC = 1:3`. Найдите синус угла `A`.

C5. Найдите все значения `a`, при каждом из которых уравнение `a^2-7a+7sqrt(2x^2+49)=3|x-7a|-6|x|` имеет хотя бы один корень.

C6. Дано трехзначное натурального число (число не может начинаться с нуля) не кратное 100. Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 70? Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81? Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

www.securitylab.ru

@темы: ЕГЭ, Задачи с параметром, Комбинированные уравнения и неравенства, Логарифмические уравнения (неравенства), Планиметрия, Показательные уравнения (неравенства), Рациональные уравнения (неравенства), Стереометрия, Теория чисел

01:36 

Начальные элементы последовательности

wpoms.
Step by step ...

Дана последовательность ненулевых действительных чисел `x_1`, `x_2`, `x_3`, ... удовлетворяющая
`x_n = (x_{n-2}*x_{n-1})/(2x_{n-2} - x_{n-1})`, `n = 3, 4, 5, ...`

Определите необходимые и достаточные условия для `x_1`, `x_2`, при выполнении которых `x_n` будет целым числом для бесконечного количества значений `n`.


@темы: Теория чисел, Математический анализ

22:37 

АЛФАВИТ

wpoms.
Step by step ...

Вы не находите странным, что некоторые "почти равные" числа записываются абсолютно по-разному? Например, в десятичной системе счисления числа `29` и `30` отличаются всего на единицу, но их запись не содержит ни одной общей цифры.
Во избежание такой ситуации код АЛФАВИТ предлагает запись чисел последовательностью нулей и единиц:
Десятичная система счисления: `|0|1|2|3|4|5|6|7|8`
АЛФАВИТ: `| 0 | 1 | 11 | 10 | 110 | 111 | 101 | 100 | 1100`
Правило построения следующего числа в коде АЛФАВИТ таково: в предыдущем числе нужно изменить крайний правый символ, если это возможно, если нет — приписать слева единицу.
(a) Какому числу в десятичной системе счисления соответствует запись в АЛФАВИТе `111111`?
(b) Какое число следует за ним в этом коде?
(c) Опишите алгоритм, рассчитывающий для каждого числа в коде АЛФАВИТ число, следующее за ним.


@темы: Теория чисел

01:12 

Экзамен мех-мата МГУ.

Здравствуйте!
Меня интересует какие темы входят в экзамен мех-мата, не освещающиеся в общеобразовательной программе (или которые вскользь упоминаются в ней).
Прежде всего меня интересует геометрия (планиметрия, стереометрия) и теория чисел.Так же буду рад узнать литературу с вариантами экзамена.
Заранее спасибо за ответы.

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Посоветуйте литературу!, Стереометрия, Теория чисел

18:08 

Решить уравнение в натуральных числах

Решить уравнение в натуральных числах
`m^3+n^3=2(m^2*n^2+mn)`
Пытался решить, но натыкался только на противоположное, например (0;0) или m=n, а до ответа никак не дойду.

@темы: Теория чисел

00:46 

Последовательность

wpoms.
Step by step ...

Докажите, что последовательность, определенная условиями `y_0 = 1`, `y_{n+1} = 1/2(3y_n + sqrt(5y_n^2 - 4))`, (`n >= 0`), состоит только из целых чисел.


@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная