Записи с темой: теория чисел (список заголовков)
22:18 

Число и сумма натуральных делителей натурального числа

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Число и сумма натуральных делителей натурального числа
Основная теорема арифметики. Всякое натуральное число п > 1 либо просто, либо может быть представлено, и притом единственным образом - с точностью до порядка следования сомножителей, в виде произведения простых чисел (можно считать, что любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел, если считать , что это произведение может содержать всего лишь один множитель).
Среди простых сомножителей, присутствующих в разложении `n = p1*p2*...*pk`, могут быть и одинаковые. Например, `24=2*2*2*3`. Их можно объединить, воспользовавшись операцией возведения в степень. Кроме того, простые сомножители можно упорядочить по величине. В результате получается разложение
`n = p_1^(alpha_1)*p_2^(alpha_2)*.......*p_k^(alpha_k)`, где `alpha_1, alpha_2, ......, alpha_k in NN`
(1)
Такое представление числа называется каноническим разложением его на простые сомножители. Например, каноническое представление числа 2 520 имеет вид 2 520 = 23 • З2 • 5 • 7.
Из канонического разложения числа легко можно вывести следующую лемму: Если n имеет вид (1), то , то все делители этого числа имеют вид:
`d = p_1^(beta_1)*p_2^(beta_2)*......*p_k^(beta^k)`, где `0 <= beta_m <= alpha_m` ( `m = 1,2,..., k`)
(2)
В самом деле, очевидно, что всякое d вида (2) делит а. Обратно, пусть d делит а, тогда a=cd, где с — некоторое натуральное число и, следовательно, все простые делители числа d входят в каноническое разложение числа а с показателями, не превышающими соответствующих показателей числа а.
Рассмотрим две функции, заданные на множестве натуральных чисел:
а) τ(n) - число всех натуральных делителей n;
2) σ(n) сумма всех натуральных делителей числа n.
Пусть n имеет каноническое разложение (1). Выведем формулы для числа и суммы его его натуральных делителей.
Теорема 1. Число натуральных делителей числа n
`tau(n) = (alpha_1 + 1)*(alpha_2 + 1)*.....*(alpha_k + 1);`
(3)
Доказательство.
читать дальше
Пример. Число 2 520 = 23 • З2 • 5 • 7. имеет (3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48 делителей.
Теорема 2. Пусть n имеет каноническое разложение (1). Тогда сумма натуральных делителей числа n равна
`sigma(n) = (1 + p_1 + p_1^2 + ..... + p_1^(alpha_1))*(1 + p_2 + p_2^2 + ..... + p_2^(alpha_2))* ..............* (1 + p_k + p_k^2 + .....+ p_k^(alpha_k));`
(4)
Доказательство.
читать дальше
Пример. Найти сумму всех делителей числа 90.
90=2 • З2 • 5. Тогда σ(90)=[(22-1)/(2-1)]• [З3-1)/(3-1)]• [(52-1)/(5-1)]=234
Формула (4) может помочь найти все делители числа.Так, например, чтобы найти все делители числа 90, раскроем скобки в следующем произведении (не производя операцию сложения): (1+2)(1+3+З2)(1+5)=(1+1*3+1*З2+1*2+2*3+2*З2)(1+5) = 1+3+З2+2+2*3+2*З2+ 5+3*5+З2*5+2*5+2*3*5+2*З2*5 = 1+3+9+2+6+18+5+15+45+10+30+90 - слагаемыми являются делители числа 90.
Решим несколько задач на тему "Число и сумма натуральных делителей натурального числа"
Задание 1. Найдите натуральное число, зная, что оно имеет только два простых делителя, что число всех делителей равно 6, а сумма всех делителей — 28.
Решение
Задания из сборника TTZ - ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания
Задание 2. TTZ.С6.2 Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).
Решение
Задание 3. TTZ.С6.9 Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей(включая единицу и само число).
Решение
Задание 4. SPI.С6.9. У натурального числа n ровно 6 делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найти n.
Решение VEk:
Решение

Задания для самостоятельной работы
SR1. Найти все числа, имеющие ровно 2 простых делителя, всего 8 делителей, сумма которых равна 60.
SR2. Найти натуральные числа, которые делятся на 3 и на 4 и имеют ровно 21 натуральный делитель.
SR3. Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 18 натуральных делителей.
SR4. Найти наименьшее число, кратное 5, имеющее 18 натуральных делителей.
SR5. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 15 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа?
SR6. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 81 делитель. Сколько делителей имеет куб этого числа?
SR7. Найти число вида m = 2x3y5z, зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть —на 35 и пятая часть — на 42 делителя меньше, чем само число.

Топик поднят, поскольку по теме топика постоянно появляются вопросы.
запись создана: 11.11.2009 в 06:50

@темы: ЕГЭ, Теория чисел

19:31 

Сравнения

Подскажите есть ли какое то свойство чтобы сразу сказать чему равно сравнение `(29^23)-=` `(mod37)` Не понимаю как тут применить теорему Эйлера.

@темы: Теория чисел

16:54 

Сумма делителей числа

Белый и пушистый (иногда)
Пишет student123 eek.diary.ru/p85182052.htm?from=last&discuss#fo...
помогите в такой задаче : найдите натуральное число,имеющее ровно два простых делителя,если сумма всех его делителей равна 28

@темы: Теория чисел

10:50 

Шестизначное число оканчивается цифрой 5.Если эту цифру переставить из конца слова в начало,не изменяя порядка остальных цифр,то получится число,которое в 4 раза больше чем первоначальное.Найдите первоночальное число.

Я решала, но не пойму, почему при проверке не сходится. Подскажите, пожалуйста, где моя ошибка.

5*4=20 Значит новое число 5хххх0 , а первоначальное хххх05
05*4=20 5ххх20, первонач. ххх205
205*4=820 5хх820, первонач. хх8205
8205*4=32820 532820 , а первонач. 328205
Теперь сесли 328205*4 не получается 532820

@темы: Теория чисел

03:47 

Задачки на делимости.

Помогите, пожалуйста, решить, подскажите ход решения.

1.
Для натуральных чисел a,b,c верно, что
`a*b` делится на `2*c`
`b*c` делится на `3*a`
`c*a` делится на `5*b`
Найдите наименьшее значение их произведения `a*b*c`

2.
Показать, что если числитель дроби `(k^2-5k+8)/(k^2+6k+19)` кратен 11, то дробь можно сократить.

@темы: Теория чисел

02:38 

Суперпозиции функций

wpoms.
Step by step ...

Три операции `f`, `g` и `h` определены следующим образом:
`f (n) = 10n` для всех натуральных `n`;
`g(n) = 10n + 4` для всех натуральных `n`;
`h(n) = n/2` для четных натуральных `n`.
Докажите, что, начиная с `4`, каждое натуральное число может быть получено последовательным применением в некотором порядке конечного числа операций `f`, `g` и `h`.
[Например: `35 = h(f(h(g(h(h(4))))))`.]



@темы: Теория чисел, Математический анализ

12:58 

Помогите пожалуйста добрые люди!!! хоть подтолкните!

Задача 1. Пять целых чисел записаны по окружности так, что сумма никаких двух или трех подряд чисел не делиться на 3. Сколько чисел среди этих пяти делятся на 3?

Задача 2. Найти последние две цифры числа 21 в степени 2012 -11 в степени 2012.

остальные задачи вроде решил

@темы: Теория чисел, Комбинаторика

21:09 

Составить диофантово уравнение по решению

Здравствуйте, помогите пожалуйста с решением.
Дано: x=5-37n, y=-2+17n. Надо составить диофантово уравнение, для которого это является решением.
Понятно, что 5 и -2 -это частное решение, но дальше захожу в тупик.Не могу найти наибольший делитель для начальных коэффициентов-а без этого, так понимаю, никуда.
Фото решения-вместе с тем куском теории, по которому решаю.

@темы: Теория чисел

12:46 

антье

Здравствуйте , проверьте пожалуйста решение этой задачи
Условие
известно , что [nx+ny]=[nx]+[ny] выполняется при любых натуральных n , докажите , что либо x , либо y целое
Решение
1. предположим противное , пусть x=b1+a1 , y=b2+a2 , где 0<a<1
было написано неправильно надо думать

@темы: Теория чисел

20:54 

Построение последовательности

wpoms.
Step by step ...

Если число возвести в квадрат и к сумме цифр полученного числа добавить 1, то получится следующее число. Если начинать с числа `7`, то `2^7 = 49`, следовательно, получим следующее число `(4 +9) + 1 = 14`. Найти число, получаемое через 1999 шагов.



@темы: Теория чисел

19:37 

Школьники! Ау! (возвращается) (2)

wpoms.
Step by step ...

Сколько существует натуральных чисел `n` таких, что
`(2*n^2 + 4*n + 18)/(3*n+3)`

является целым числом?



@темы: Теория чисел

13:21 

НОД, Теория чисел

Для каждого целого a вычислить НОД `(3a+5,a-2)`. Подскажите здесь пользоваться алгорифмом Евклида или какие-то другие методы?

@темы: Теория чисел

02:00 

Десятичная запись числа

wpoms.
Step by step ...

Действительное число `x` (`0 < x < 1`) имеет десятичное представление `0.a_1a_2a_3a_4...` с таким свойством: количество различных блоков вида `a_ka_{k+1}a_{k+2}...a_{k+2003}` (для всех натуральных `k`) меньше или равно `2004`. Докажите, что `x` является рациональным числом.



@темы: Математический анализ, Теория чисел

01:08 

Двоичная запись числа

wpoms.
Step by step ...

Покажите, что существует целое число `n` с следующими свойствами:
(i) двоичное представление `n` имеет точно `2004` нулей и `2004` единиц;
(ii) `n` кратно `2004`.



@темы: Теория чисел

19:50 

Возможные значения произведения

wpoms.
Step by step ...

Пусть `p`, `q` и `r` - простые числа, `p` делит `qr - 1`, `q` делит `rp - 1` и `r` делит `pq - 1`. Определите все возможные значения `pqr`.



@темы: Теория чисел

17:38 

Простая прогрессия

wpoms.
Step by step ...

`p_1 < p_2 < ... < p_15` - арифметическая прогрессия с разностью `d`, состоящая из простых чисел. Докажите, что `d` делится на `2`, `3`, `5`, `7`, `11` и `13`.



@темы: Прогрессии, Теория чисел

19:42 

Число переменных

wpoms.
Step by step ...

Пусть `n` - натуральное число, для которого уравнение
`x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + ... + x_{n-1}x_n + x_nx_1 = 0`

имеет решение, где все `x_i` принимают значение `1` или `-1`. Докажите, что `n` делится на `4`.



@темы: Теория чисел

21:21 

Максимальный номер

wpoms.
Step by step ...

Действительное число `x` удовлетворяет всем неравенствам `2^k < x^k + x^{k+1} < 2^{k+1}` для `k =1, 2,..., n`. Чему равно наибольшее возможное значение `n`?



@темы: Теория чисел

20:15 

Простые числа

wpoms.
Step by step ...

Последовательность простых чисел `a_n` определена следующим образом: `a_1 = 2` и, для всех `n >= 2`, `a_n` равно наибольшему простому делителю `a_1a_2 ...a_{n-1} + 1`. Докажите, что `a_n != 5` для всех `n`.



@темы: Теория чисел

17:15 

Число в разных системах счисления

wpoms.
Step by step ...

Трехзначное число записывается как `xyz` в семиричной системе счисления и как `zyx` в девятиричной. Что это за число?



@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная