Записи с темой: теория чисел (список заголовков)
20:40 

Делитель

wpoms.
Step by step ...

Для каждого натурального `n` найдите наибольшее положительное число `k` такое, что `2^k` является делителем `3^n + 1`.



@темы: Теория чисел

19:07 

Хорды

wpoms.
Step by step ...

Хорда `CD` перпендикулярна к диаметру `AB` и пересекает его в точке `H` (см. рисунок). Длина отрезка `AB`является натуральным двухзначным числом, таким что, если поменять порядок цифр, то получим длину отрезка `CD`. Найти длину `AB`, если длина отрезка `OH` является рациональным числом.




@темы: Планиметрия, Теория чисел

23:05 

Алгебра и теория чисел

Здравствуйте! Есть задания:
1. Вычислить `(n^2)'`

Правильно ли я начал?
2. Найдите `n`, если `phi(n)=80`
решение
Прошу помощи разобраться. Заранее спасибо!

@темы: Теория чисел

22:50 

Алгебра и Теория Чисел

Посоветуйте литературу, или идею для решения данных задач..
1.Придумать бесконечное множество попарно взаимно простых целых чисел и с его помощью доказать теорему о бесконечности множества простых чисел.
2.Описать все чётные числа, для которых разложение в произведение чётно-простых сомножителей единственно (с точностью до порядка).

@темы: Теория чисел

20:51 

Сборник задач по теории чисел

pemac
Название: Сборник задач по теории чисел. 112 задач с подробными решениями
Автор: Елена Деза, Лидия Котова
Год издания: 2012
Издательство: Либроком
Страниц: 11 Mb
Формат: Pdf



rusfolder.com/38700845

Пособие написано на основе лекций, которые в течение многих лет читаются студентам математического факультета Московского государственного педагогического университета, и может быть использовано для проведения семинарских занятий и организации самостоятельной работы студентов высших учебных заведений (прежде всего педагогических вузов) по дисциплине "Теория чисел", а также для проведения элективных курсов арифметической тематики и активизации учебно-исследовательской деятельности старшеклассников, выбравших естественно-математический профиль обучения; оно будет полезно для всех читателей, интересующихся арифметикой и элементарной теорией чисел.

@темы: Теория чисел, Литература

20:51 

Упорядоченные пары чисел

wpoms.
Step by step ...

Дано натуральное число `N`. Ровно `2005` упорядоченных пар `(x,y)` натуральных чисел удовлетворяют равенству `1/x+1/y=1/N`. Докажите, что `N` является квадратом натурального числа.




@темы: Теория чисел

00:17 

Подмножество рациональных чисел

wpoms.
Step by step ...

`S` - подмножество множества рациональных чисел, обладающее следующими свойствами:
i) `1/2 in S`;
ii) Если `x in S`, то `1/(x+1) in S` и `x/(x+1) in S`.
Докажите, что `S` содержит все рациональные числа в интервале `0 < x < 1`.




@темы: Теория чисел, Множества

22:11 

Прогрессия

wpoms.
Step by step ...

Определите наименьшее возможное значение наибольшего члена арифметической прогрессии из семи различных простых чисел.



@темы: Прогрессии, Теория чисел

21:07 

Раскраска чисел

wpoms.
Step by step ...

Определите наименьшее натуральное число `n`, для которого верно утверждение:
Вне зависимости от того, как элементы множества `{1, 2,..., n}` окрашены в красный или синий цвет, существуют одноцветные элементы этого множества `x`, `y`, `z`, `w` (не обязательно различные), удовлетворяющие `x + y + z = w`.



@темы: Комбинаторика, Теория чисел

13:26 

Подскажите, пожалуйста. нужно доказать, что если все n>=3, то φ(n) - четные.
φ(n)- это функции Эйлера

@темы: Теория чисел

13:20 

Подскажите, пожалуйста, как найти наруральное n,если оно имеет ровно два простых делителя и сумма его делителей равна 28.
В интернете нашла такую же задачу, но там было ещё дано, что число все делителей равно 6. А в моей задачи такого нет........ поэтому не понятно, как тут что найти(

@темы: Теория чисел

23:45 

Представление элементов подмножества

wpoms.
Step by step ...


Пусть непустое множество `S` - подмножество множества рациональных чисел `QQ`, обладает следующими свойствами:
(a) `0` не принадлежит `S`;
(b) для любых `s_1, s_2` из `S` рациональное число `{s_1}/{s_2}` тоже принадлежит `S`;
(c) существует ненулевое число `q in QQ setminus S`, обладающее таким свойством: любое ненулевое число из `QQ setminus S` можно представить в виде `q*s`, где `s` принадлежит `S`.
Докажите, что если `x in S`, то существуют `y,z in S`, для которых `x = y + z`.




@темы: Множества, Теория чисел

19:11 

Задача на делимость

1.
Докажите, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7.

Из первого условия получила '100*A + 10*B + B = 7*x' => '100*A + 11*B = 7*x'
из второго условия 'A + 2B = 7*y'
из признака делимости на 7 (число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7) '3*(10*A+B) + B = 7*z' => '30*A + 4*B = 7*z'
Что дальше делать не знаю( Помогите, пожалуйста...

@темы: Теория чисел

20:52 

Сумма квадратов

wpoms.
Step by step ...

Сумма двух квадратов последовательных натуральных чисел может быть квадратом: например, `3^2 + 4^2 = 5^2`.
(a) Докажите, что сумма квадратов `m` последовательных натуральных чисел не может быть квадратом для `m = 3,4, 5, 6`.
(b) Найдите пример одиннадцати последовательных натуральных чисел таких, что сумма их квадратов будет квадратом натурального числа.



@темы: Теория чисел

17:37 

Теория чисел, док-во

Здравствуйте! Есть задание:
Доказать, что если число `2^n-1` - простое, то и `n` - простое число.
Док-во(от противного)
Пусть `n`- составное, `n=ab`, `a>1, b>1`, тогда данное число `2^n-1` можно представить в виде
`2^n-1=2^(ab)-1=(2^a)^b-1 ` - число составное
Написали, что последнее утверждение следует пояснить. Но мне не понятно, как это сделать, прошу помощи.
Заранее спасибо!

@темы: Теория чисел

22:18 

Число и сумма натуральных делителей натурального числа

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Число и сумма натуральных делителей натурального числа
Основная теорема арифметики. Всякое натуральное число п > 1 либо просто, либо может быть представлено, и притом единственным образом - с точностью до порядка следования сомножителей, в виде произведения простых чисел (можно считать, что любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел, если считать , что это произведение может содержать всего лишь один множитель).
Среди простых сомножителей, присутствующих в разложении `n = p1*p2*...*pk`, могут быть и одинаковые. Например, `24=2*2*2*3`. Их можно объединить, воспользовавшись операцией возведения в степень. Кроме того, простые сомножители можно упорядочить по величине. В результате получается разложение
`n = p_1^(alpha_1)*p_2^(alpha_2)*.......*p_k^(alpha_k)`, где `alpha_1, alpha_2, ......, alpha_k in NN`
(1)
Такое представление числа называется каноническим разложением его на простые сомножители. Например, каноническое представление числа 2 520 имеет вид 2 520 = 23 • З2 • 5 • 7.
Из канонического разложения числа легко можно вывести следующую лемму: Если n имеет вид (1), то , то все делители этого числа имеют вид:
`d = p_1^(beta_1)*p_2^(beta_2)*......*p_k^(beta^k)`, где `0 <= beta_m <= alpha_m` ( `m = 1,2,..., k`)
(2)
В самом деле, очевидно, что всякое d вида (2) делит а. Обратно, пусть d делит а, тогда a=cd, где с — некоторое натуральное число и, следовательно, все простые делители числа d входят в каноническое разложение числа а с показателями, не превышающими соответствующих показателей числа а.
Рассмотрим две функции, заданные на множестве натуральных чисел:
а) τ(n) - число всех натуральных делителей n;
2) σ(n) сумма всех натуральных делителей числа n.
Пусть n имеет каноническое разложение (1). Выведем формулы для числа и суммы его его натуральных делителей.
Теорема 1. Число натуральных делителей числа n
`tau(n) = (alpha_1 + 1)*(alpha_2 + 1)*.....*(alpha_k + 1);`
(3)
Доказательство.
читать дальше
Пример. Число 2 520 = 23 • З2 • 5 • 7. имеет (3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48 делителей.
Теорема 2. Пусть n имеет каноническое разложение (1). Тогда сумма натуральных делителей числа n равна
`sigma(n) = (1 + p_1 + p_1^2 + ..... + p_1^(alpha_1))*(1 + p_2 + p_2^2 + ..... + p_2^(alpha_2))* ..............* (1 + p_k + p_k^2 + .....+ p_k^(alpha_k));`
(4)
Доказательство.
читать дальше
Пример. Найти сумму всех делителей числа 90.
90=2 • З2 • 5. Тогда σ(90)=[(22-1)/(2-1)]• [З3-1)/(3-1)]• [(52-1)/(5-1)]=234
Формула (4) может помочь найти все делители числа.Так, например, чтобы найти все делители числа 90, раскроем скобки в следующем произведении (не производя операцию сложения): (1+2)(1+3+З2)(1+5)=(1+1*3+1*З2+1*2+2*3+2*З2)(1+5) = 1+3+З2+2+2*3+2*З2+ 5+3*5+З2*5+2*5+2*3*5+2*З2*5 = 1+3+9+2+6+18+5+15+45+10+30+90 - слагаемыми являются делители числа 90.
Решим несколько задач на тему "Число и сумма натуральных делителей натурального числа"
Задание 1. Найдите натуральное число, зная, что оно имеет только два простых делителя, что число всех делителей равно 6, а сумма всех делителей — 28.
Решение
Задания из сборника TTZ - ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания
Задание 2. TTZ.С6.2 Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).
Решение
Задание 3. TTZ.С6.9 Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей(включая единицу и само число).
Решение
Задание 4. SPI.С6.9. У натурального числа n ровно 6 делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найти n.
Решение VEk:
Решение

Задания для самостоятельной работы
SR1. Найти все числа, имеющие ровно 2 простых делителя, всего 8 делителей, сумма которых равна 60.
SR2. Найти натуральные числа, которые делятся на 3 и на 4 и имеют ровно 21 натуральный делитель.
SR3. Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 18 натуральных делителей.
SR4. Найти наименьшее число, кратное 5, имеющее 18 натуральных делителей.
SR5. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 15 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа?
SR6. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 81 делитель. Сколько делителей имеет куб этого числа?
SR7. Найти число вида m = 2x3y5z, зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть —на 35 и пятая часть — на 42 делителя меньше, чем само число.

Топик поднят, поскольку по теме топика постоянно появляются вопросы.
запись создана: 11.11.2009 в 06:50

@темы: ЕГЭ, Теория чисел

19:31 

Сравнения

Подскажите есть ли какое то свойство чтобы сразу сказать чему равно сравнение `(29^23)-=` `(mod37)` Не понимаю как тут применить теорему Эйлера.

@темы: Теория чисел

16:54 

Сумма делителей числа

Белый и пушистый (иногда)
Пишет student123 eek.diary.ru/p85182052.htm?from=last&discuss#fo...
помогите в такой задаче : найдите натуральное число,имеющее ровно два простых делителя,если сумма всех его делителей равна 28

@темы: Теория чисел

10:50 

Шестизначное число оканчивается цифрой 5.Если эту цифру переставить из конца слова в начало,не изменяя порядка остальных цифр,то получится число,которое в 4 раза больше чем первоначальное.Найдите первоночальное число.

Я решала, но не пойму, почему при проверке не сходится. Подскажите, пожалуйста, где моя ошибка.

5*4=20 Значит новое число 5хххх0 , а первоначальное хххх05
05*4=20 5ххх20, первонач. ххх205
205*4=820 5хх820, первонач. хх8205
8205*4=32820 532820 , а первонач. 328205
Теперь сесли 328205*4 не получается 532820

@темы: Теория чисел

03:47 

Задачки на делимости.

Помогите, пожалуйста, решить, подскажите ход решения.

1.
Для натуральных чисел a,b,c верно, что
`a*b` делится на `2*c`
`b*c` делится на `3*a`
`c*a` делится на `5*b`
Найдите наименьшее значение их произведения `a*b*c`

2.
Показать, что если числитель дроби `(k^2-5k+8)/(k^2+6k+19)` кратен 11, то дробь можно сократить.

@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная