Записи с темой: теория чисел (список заголовков)
01:16 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


`S` - подмножество множества чисел `{1, 2, 3,..., 2008}`, которое состоит из `756` различных чисел. Покажите, что оно содержит два различных элемента `a`, `b`, такие, что `a + b` делится на `8`.



@темы: Теория чисел

22:49 

Целочисленная последовательность

wpoms.
Step by step ...


Последовательность `x_n` определяется правилами: `x_1 = 2` и `nx_n = 2(2n - 1)x_{n-1}`, `n = 2, 3, .. .` Докажите, что `x_n` является целым для всех натуральных `n`.



@темы: Теория чисел

13:54 

Дано Множество матриц {((1,-x),(0,0)) x ϵ R}
`А*В=АВН`, где Н=((1,1),(0,-1))
Является ли группой?

1. Проверяю, определена ли операция. (перемножаю матрицы A, D, H)
А*В=((1,-а),(0,0)) ((1,-b),(0,0)) ((1,1),(0,-1)) = ((1,1),(0,0))

Получается, операция не определена... и тогда не являтся группой...?? или нет?

@темы: Теория чисел

17:27 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Набор Блаблабла содержит все семизначные числа, в которых все цифры различны, состоящие из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Покажите, что ни одно из чисел набора Блаблабла не делится на другое число этого набора.



@темы: Теория чисел

00:27 

Пары чисел

wpoms.
Step by step ...


Покажите, что существует бесконечно много пар натуральных чисел `(m, n)`, для которых `(m + 1)/n+ (n + 1)/m` является натуральным числом.



@темы: Теория чисел

00:29 

Полный квадрат

wpoms.
Step by step ...


`n` - целое число. Покажите, что, если `2 + 2sqrt(1 + 12n^2)` является целым числом, то это число является полным квадратом.



@темы: Теория чисел

13:46 

Делители

wpoms.
Step by step ...


Найдите четыре простых числа, меньших `100`, являющихся делителями `3^32 - 2^32`.



@темы: Теория чисел

15:46 

теория чисел

вот задача для подготовки к высшой пробе по математике:
докажите что числа 2^(2^n)+1 и 2^(2^m)+1 взаимно просты (m и n различные натуральные числа)

@темы: Теория чисел

01:31 

Про диагональ

wpoms.
Step by step ...


(a) Прямоугольник `PQRS`, длины сторон которого выражаются натуральными числами `l`, `m`, разделен на `l*m` единичных квадратов прямыми, параллельными `PQ` и `QR`. Докажите, что диагональ `PR` пересекает `l + m - d` этих квадратов, где `d` - наибольший общий делитель `(l, m)` чисел `l` и `m`.
(b) Прямоугольный параллелепипед с сторонами `l`, `m`, `n`, где `l`, `m`, `n` - натуральные числа, разделен на `l*m*n` единичных кубов плоскостями, параллельными его граням. Сколько кубов пересекает самая длинная диагональ параллелепипеда?



@темы: Комбинаторика, Планиметрия, Стереометрия, Теория чисел

21:37 

Произведения

wpoms.
Step by step ...


Даны `2n` действительных чисел `a_1, a_2, ... , a_n`, `b_1, b_2, ... , b_n`, где `a_1, a_2, ... , a_n` различны. Предположим, что существуют действительное число `alpha` для которого произведение
`(a_i + b_1)(a_i + b_2) ... (a_i + b_n)` равно `alpha` для `i = 1, 2,..., n`. Докажите, что существует действительное число `beta` для которого произведение
`(a_1 + b_j)(a_2 + b_j) ... (a_n + b_j)` равно `beta` для `j = 1 , 2, . . . , n`.



@темы: Теория чисел

21:23 

"Хорошие" числа

wpoms.
Step by step ...


Натуральное число `n` называется "хорошим", если оно может быть представлено единственным образом как сумма `a_1 + a_2 + ... + a_k` и произведение `a_1*a_2* ... *a_k` некоторых `k >= 2` натуральных чисел `a_1,a_2,... ,a_k`. (Например, `10` является хорошим числом, так как `10 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 5*2*1*1*1` и эти представления единственны.) Определите, в терминах простых чисел, какие натуральные числа являются "хорошими".



@темы: Теория чисел

20:24 

Кратные числа

wpoms.
Step by step ...


Пусть `n` — натуральное число. Покажите, что существует число, кратное `n`, состоящее только из цифр `0` и `1`.



@темы: Теория чисел

20:56 

На экзамене

wpoms.
Step by step ...


Экзамен, содержащий шесть заданий, сдали `2006` детей. Каждое задание оценивалось как верное или неверное. Любые три ребенка вместе дали правильные ответы по крайней мере на пять из шести заданий. Пусть `N` обозначает общее количество верных ответов всех детей (т.е. общее количество верно выполненных первым ребенком заданий + общее количество верно выполненных вторым ребенком заданий + ... + общее количество верно выполненных `2006`-м ребенком заданий). Найдите наименьшее возможное значение `N`.




@темы: Комбинаторика, Теория чисел

21:37 

Корни уравнения и их делители

wpoms.
Step by step ...


Все простые делители натуральных чисел `x` и `y` не превышают `5`. Найдите все `x` и `y`, которые удовлетворяют равенству `x^2 - y^2 = 2^k` для некоторого неотрицательного целого числа `k`.



@темы: Теория чисел

20:13 

Теория чисел, сравнения

Здравствуйте! Есть такие задания:
1. При каких значениях `a` система `{(x-=5 (mod18)), (x-=8 (mod 21)), (x-=a (mod 25)):}`совместна.
В общем случае, если система совместна, то имеет бесконечно много решений.
Начал решать так дальше не знаю. Прошу помощи.

2. Докажите, что 100-ая степень любого целого числа либо делится на 125, либо дает при делении на 125 остаток 1.
Думал так: можно переписать условие как `n^100-=0 (mod 125)` или `n^100-=1 (mod 125)` соответственно. Честно говоря, не знаю, как дальше поступить.

3. Докажите, что если `6` и `n` взаимно просты, то `n^2-=1 (mod 24)`
Получается, что `НОД(6, n)=1`. Можно, наверное, еще расписать `n^2-=1 (mod 24)` как систему
`{(n^2-=1 (mod 6)), (n^2-=1 (mod 4)):}` . Дальше тупик.
Прошу помощи. Заранее спасибо!

@темы: Теория чисел

23:25 

Делимость на 720

wpoms.
Step by step ...


Натуральное число `n` больше `6`. Докажите, что если `n - 1` и `n + 1` простые числа, то `n^2(n^2 + 16)` делится на `720`. Будет ли верно обратное?




@темы: Теория чисел

20:07 

Степени двойки

wpoms.
Step by step ...


Последовательность степеней двойки (записанная в десятичной системе, начиная с `2^1 = 2`) содержит три члена, состоящих из одной цифры, три члена из двух цифр, три из трех, четыре из четырех, три из пяти и так далее. Обоснуйте ответы на следующие вопросы:
a) Может ли быть только два члена с определенным количеством цифр?
b) Могут ли пять последовательных членов иметь одинаковое количество цифр?
c) Могут ли за четырьмя членами, состоящими из `n` цифр следовать четыре члена, содержащие `n+1` цифру?
d) Какова максимальная длина последовательности степеней двойки, которая не содержит четырех степеней с одинаковым количеством цифр?



@темы: Теория чисел

22:40 

Числовой корень

wpoms.
Step by step ...

Для натурального числа `a_1` образуем последовательность `a_1, a_2, a_3, ...` по следующему принципу: `a_k` равно произведению цифр числа `a_{k-1}` при `k >= 2`. Если для некоторого `k >= 1` `a_k` является однозначным числом, то `a_k` называется числовым корнем `a_1`. Легко проверить, что для каждого натурального числа существует единственный числовой корень. (например, если `a_1 = 24378`, то `a_2 = 1344`, `a_3 = 48`, `a_4 = 32`, `a_5 = 6`, и, таким образом, `6` является числовым корнем для `24378`.) Докажите, что числовой корень натурального числа `n` равен `1` тогда и только тогда, когда все цифры `n` равны `1`.



@темы: Теория чисел

21:14 

Сумма кубов

wpoms.
Step by step ...

Дано натуральное число `n > 2`. Пусть `m = sum k^3`, где сумма вычисляется по всем целым `k` (`1 <= k < n`) взаимно простым с `n`. Докажите, что `n` делит `m`.



@темы: Теория чисел

12:22 

podaite ideu

Vsem privet. Podskajite hod reshenii zadachi:

nado naiti NOD chisel 15n+18 i 45n+12 (chisla vziati na obym)
Найти НОД чисел `(15n + 18)` и `(45n + 12)`, `n in NN`
n - naturalnoe chislo

@темы: Теория чисел, Олимпиадные задачи

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная