Записи с темой: теория чисел (список заголовков)
20:57 

Интересные задачи по теории чисел

Ищу либо задачник, либо просто сами по себе задачи по теории чисел. Самих задачников - пруд пруди, однако мне хотелось бы встретить интересные задачи, которые не были бы задачами вида "дано A, примени B, получишь C", а предполагали либо интересное решение, либо имели реальное прикладное значение (пусть, например, в связке с криптографией) (в этом случае простительно даже типичное решение).

Кроме того, очень желательно, чтобы были ответы на задачи. В холостую решать как-то не очень хотелось бы.

Заранее благодарю.

@темы: Посоветуйте литературу!, Теория чисел

14:48 

Сумма цифр

wpoms.
Step by step ...


Пусть `S(n)` обозначает сумму цифр натурального числа `n` в десятичной системе счисления. Докажите, что для всех натуральных `n` выполняется неравенство `S(2*n) <= 2*S(n) <= 10*S(2*n)`. Докажите, что существует натуральное число `n`, для которого верно равенство `S(n) = 1996*S(3*n)`.



@темы: Теория чисел

22:23 

Выражение для НОД

wpoms.
Step by step ...


Пусть `f(n)` обозначает для всех натуральных `n` наибольший общий делитель `n! + 1` и `(n + 1)!`. Найдите и обоснуйте выражение для вычисления `f(n)` для всех `n`.



@темы: Теория чисел

17:12 

На складе

wpoms.
Step by step ...


На складе книжного магазина `125` коробок с книгами, ни одна из них не пуста. Всегда ли для любого целого положительного числа `n <= 125` можно выбрать несколько из `125` коробок так, что общее число книг в выбранных коробках будет кратно `n`?



@темы: Теория чисел, Комбинаторика

00:33 

Полный квадрат

wpoms.
Step by step ...


Существует ли число вида `qqpp`, являющееся полным квадратом, где `q` и `p` — цифры и `q != 0`? А число вида `qqqppp`?



@темы: Теория чисел

23:47 

Двоичное представление числа

wpoms.
Step by step ...


Для натурального числа `n` через `b(n)` обозначим количество натуральных чисел, чье двоичное представление содержится в двоичном представлении числа `n` в виде последовательности последовательных цифр . Например, `b(13) = 6` так как `13 = 1101_2`, а двоичная запись числа 13 содержит двоичное представления шести чисел: `13 = 1101_2`, `6 = 110_2`, `5 = 101_2`, `3 = 11_2`, `2 = 10_2` и `1 = 1_2`. Покажите, что, если `n <= 2500`, то `b(n) <= 39` и определите для каких значений `n` достигается равенство `b(n) = 39`.



@темы: Комбинаторика, Теория чисел

05:27 

Произведения цифр

Саша написал трёхзначное число, ни одна из цифр которого не равна `9`, а потом увеличил каждую цифру этого числа на `1`. Могло ли от этого произведение цифр числа увеличится вдвое?

читать дальше

Можно ли без перебора ответить?

@темы: Олимпиадные задачи, Теория чисел

22:38 

Кратные числа

wpoms.
Step by step ...


Найдите все натуральные `n`, такие что `n^2 + 2008` кратно `n + 2008`, а `n^2 + 2009` кратно `n + 2009`.



@темы: Теория чисел

00:47 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Из чисел `1, 2, 3, ..., 2n` выбираются `(n + 1)` различных. Доказать, что среди выбранных чисел есть по крайней мере два, таких что одно делит другое.



@темы: Теория чисел

00:03 

Кажется, забавная задача

Пусть есть два числа, `a` и `b`. Аддитивной комбинацией этих чисел назовем выражение `x_1 oplus x_2 oplus cdots oplus x_n`, где `x_i ` - это `a` или `b,` знак `oplus` - это `+` или ` - `, `n \in \mathbb{N}`, то есть конечное выражение, которое состоит из сумм или разностей данных элементов в любом количестве.

Будем называть пару `(a otimes b)` замечательной (`(a otimes b) in ZAMSET`), если любое число `q \in \mathbb{Z}` можно представить в виде аддитивной комбинации чисел `a` и `b`.

Введем также функцию `ZAM(a,b)=``{(1, quad (a otimes b) in ZAMSET),(0, quad (a otimes b) notin ZAMSET):}`

Найдите значение `ZAM(17888,741)`

@темы: Теория чисел

21:32 

mkutubi

Серпинский В. 100 простых, но одновременно и трудных вопросов арифметики. На границе геометрии и арифметики. Пособие для учителей - М.:Учпедгиз, 1961, 76 стр.
Настоящая книга известного математика, вице-президента Польской Академии наук Вацлава Серпинского состоит из двух частей. Первая часть: «Сто простых, но одновременно и трудных вопросов арифметики» —доступна ученикам 7—8 классов средней школы. В этой части изложены в форме вопросов и ответов простые по формулировке, но трудные для решения, очень интересные задачи по арифметике; большая часть этих задач относится к высшей арифметике, то есть к теории чисел. Многие из них являются проблемами, не решенными до настоящего времени. В книге они приведены в систему.
(djvu) rghost.ru || mirknig.com


@темы: Теория чисел, Литература

21:21 

Сумма

wpoms.
Step by step ...


Вычислить `sum_{k=5}^{k=49} ( 11_{k} )/( 2^{root(3)(1331_{k})} )`, где числа `11` и `1331` записаны в системе счисления с основанием `k > 4`.



@темы: Теория чисел

23:53 

Делители числа

wpoms.
Step by step ...


Для всех целых `n`, представимых в виде `n = p_1*p_2*p_3*p_4`, где `p_1`, `p_2`, `p_3`, `p_4` различные простые числа, пусть `d_1 = 1 < d_2 < d_3 < ... < d_15 < d_16 = n` - шестнадцать натуральных делителей числа `n`. Докажите, что если `n < 1995`, то `d_9 - d_8 != 22`.



@темы: Теория чисел

12:58 

Разбиение числа.

Цезий
В программировании была задана задача: разложить число на не повторяющиеся слагаемые.
Проблема даже не в самом коде, а в том, что я ничерта не понимаю из формул в википедии.
1 курс, прошу доступно и понятно объяснить, есть ли формула для нахождения количеств разложений и как она вообще работает.

@темы: Теория чисел, Программирование (тема закрыта

17:29 

Много целых решений

wpoms.
Step by step ...


Определите, с доказательством, все целые значения `a`, для которых уравнение `x^2 + a*x*y + y^2 = 1` имеет бесконечно много различных целых решений `x`, `y`.



@темы: Линии второго порядка, Теория чисел

01:06 

Три из шести

wpoms.
Step by step ...


Всегда ли можно из шести данных иррациональных чисел выбрать три таких, что сумма любых двух из этих трех является иррациональным числом?



@темы: Теория чисел

09:40 

Уравнения Пелля

Не могу разобраться с уравнениями Пелля. Понятно, что нужно решать с помощью цепных дробей. Посоветуйте, где можно подробно об этом почитать.

@темы: Посоветуйте литературу!, Теория чисел

17:52 

Наследство

wpoms.
Step by step ...


Отец оставил в наследство трём своим сыновьям стадо из `k` овец. Наследство распределяется следующим образом: старшему причитается `[k/2]` овец, среднему - `[k/3]` овец, а младшему - `[k/5] `овец. Найти всевозможные значения `k`, если известно, что лишних овец не осталось.
Примечание: Запись `[x]` означает наибольшее целое число, которое меньше или равно `x` (пример: `[2] = 2`, `[3.14] = 3`).



@темы: Теория чисел

13:48 

Символ Лежандра

Нужно вычислить символ Лежандра для 35/11. Путем преобразований получаю (-1)(1/5). А дальше затрудняюсь: могу я считать, что (-1/5)?

@темы: Теория чисел

23:57 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что существует бесконечно много пар различных натуральных чисел `x`, `y` таких, что `x^2 + y^3` делится на `x^3 + y^2`.



@темы: Теория чисел

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная