• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: уравнения мат. физики (список заголовков)
21:17 

Вариационное исчисление. Экстремум функционала

IWannaBeTheVeryBest
Задача такая
`int_{0}^{1} (y')^3 dx -> inf`
`{(y(0) = 0), (y(1) = 1):}`
Эта задача разбирается в учебнике. Я добрался до условия Якоби. Для того, чтобы его проверить, надо выписать уравнение Якоби для данного случая. Но почему-то я всюду нахожу разные уравнения. В задачнике, где я разбираю эту задачу дано такое
`-d/dx(f_{y'y'}(x) * h'(x) + f_{y'y}(x) * h(x)) + f_{yy'}(x) * h'(x) + f_{yy}(x) * h(x) = 0`
В другом месте дано уравнение
`(f_{yy} - d/dx f_{yy'}) * h(x) - d/dx(f_{y'y'}*h'(x)) = 0`
Но что больше всего выносит мозг - это то, что уравнение Якоби в задачнике выписано для этого случая так
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`
С решением
`h(x) = C_1 * x + C_2`
Вот и мне не ясно, какое из уравнений верное, так как очевидно, что в первом из них 4 слагаемых, а в другом - 3. К тому же, с какой стати уравнение Якоби тут
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`?
Двойная производная по `y'` функции `(y')^3` будет равна `6y'` и уравнение Якоби должно выглядеть так
`-d/dx 6y' * h'(x) = 0`

@темы: Уравнения мат. физики

09:53 

Методы Якоби, Зейделя (метод сеток)

Здравствуйте! Скажите, пожалуйста, понять никак не могу...вот в методах Якоби и Зейделя для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа используется четырехточечный шаблон... Допустим, надо найти значение y1,1, Тогда значения y0,1 и y1,0 нам известны из граничный условий, а как найти y2,1 и y1,2? Самим задавать?

@темы: Уравнения мат. физики

15:10 

Обобщенные функции

IWannaBeTheVeryBest
"Решить уравнение в обобщенных функциях
`(x - 1)(x - 2)y'' = P(1/x^2)`"
Вообще есть у кого какая литературка по этому? Находил лекции по обобщенным функциям, но проблема в том, что из лекций далеко не всегда понятно, как что-то решать. А примеров я тоже не нашел...

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

18:54 

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей Дирихле для уравнения Пуассона:
Δu=-f(x, y), x в П;
u на Г=[ln((x-a)^2+(y-b)^2)]/2, где Г - граница прямоугольника.
где f=0, П={0<=x<=1, 0<=y<=4}, a, b не принадлежат П.
Нужно найти точное решение данной задачи.
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении действовать? Методом Фурье?

@темы: Уравнения мат. физики

21:07 

Уравнения математической физики

Всем привет!)
у меня такой вопрос, функция f(-2*x)=7*x^2+13*x+2, тогда функция f(y-2*x) как будет записана? и как эта тема называется, замена переменных? как это делать в случае других функций
я предполагаю ответ такой: f(y-2*x)=7*(-y/2+x)^2+13(-y/2+x)+2, это как-то интуитивно записал, не знаю правильно ли, а сам метод не знаю, где он нем почитать?
эту операцию я проделываю, чтобы записать общее решение дифф уравнения в частных производных второго порядка, один шаг остался)))
спасибо!!!
P.S. я бы хотел записать это уравнения и с кем нибудь сверится ответом)) просто не знаю как правильно писать уравнение, например смешанная производная по u, как правильно написать, чтобы было понятно, немного вопрос не по теме, извините)

@темы: Уравнения мат. физики

18:29 

Задача Штурма-Лиувилля

Здравствуйте! Не могли бы Вы объяснить, откуда у уравнения Y"(x)+λY(x)=0 в его общем решении Y(x)=Asin(ρx)/ρ+Bcos(ρx) взялось деление на ρ?

@темы: Уравнения мат. физики

16:29 

Метод Фурье. Уравнения математической физики.

Доброго дня всем!
Застрял на решении начально-граничной задачи.
Помогите развеять недопонимание.
Имеется следующая задача:

`u_t - u = u_x_x +xt(2-t)+2cost, 0 < x < pi, t > 0`
`u(x,0) = cos(2x)`
`u_x (0,t) = t^2`
`u_x (pi, t) = t^2`

Решение
Где я ошибся, скажите, пожалуйста?

@темы: Уравнения мат. физики

22:56 

Решение волнового уравнения

IWannaBeTheVeryBest
Не могу найти, как решить уравнение с условиями
`9u_{t t} = u_{x x}`
`u_x(0, t) = u_x(2, t) = 0`
`u(x, 0) = x, 0<=x<=1; u(x, 0) = 1, 1<=x<=2`
`u_t(x, 0) = 0`
Везде, что я только не смотрел, везде рассматриваются примеры, где во втором условии данной системы фигурируют сами функции `u`, а не их производные. Вообще не знаю, что с ними делать.

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

21:22 

Привести к каноническому виду ДУ

IWannaBeTheVeryBest
Привести к каноническому виду ДУ в каждой из областей, где его тип сохраняется.
`sgn(y)u_{x\x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
`D/4 = 1 - 4sgn(y)`
Думал сам смогу, но что-то запоролся.
Рассматриваем 2 случая
`sgn(y) = -1` здесь уравнение будет гиперболично.
`u_{x x} - 2u_{xy} - u_{yy} = 0`
Составляем характеристическое уравнение.
`dy^2 + 2dxdy - dx^2 = 0`
Решаем относительно `dy`
`D/4 = dx^2 + dx^2 = 2dx^2`
`dy = -dx(1 + sqrt(2))`
`y = -(1 + sqrt(2))x + C`
`dy = -dx(1 - sqrt(2))`
`y = (sqrt(2) - 1)*x + C`
Делаем замену `\xi = y + (1 - sqrt(2))x`; `\eta = y + (1 + sqrt(2))x`
`u_{x x} = u_{\xi \xi} * \xi_x^2 + 2u_{\xi \eta} * \xi_x * \eta_x + u_{\eta \eta} * \eta_x^2 + u_{\xi} * \xi_{x x} + u_{\eta} * \eta_{x x} = `
`= u_{\xi \xi} * (1 - sqrt(2))^2 - 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta} (1 + sqrt(2))^2`
`u_{y y} = u_{\xi \xi} * \xi_y^2 + 2u_{\xi \eta} * \xi_y * \eta_y + u_{\eta \eta} * \eta_y^2 + u_{\xi} * \xi_{y y} + u_{\eta} * \eta_{y y} = `
`= u_{\xi \xi} + 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta}`
`u_{x y} = u_{\xi \xi} * \xi_x * \xi_y + u_{\xi \eta}(\xi_x * \eta_y + \xi_y * \eta_x) + y_{eta \eta} * \eta_x * \eta_y + u_{xi} * \xi_{x y} + u_{\eta} * \eta_{x y} = `
`= u_{\xi \xi}(1 - sqrt(2)) + 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta} (1 + sqrt(2))`
Подставляя в уравнение я получил
`8u_{\xi \eta} = 0`
Это норма?
`sgn(y) = 1` здесь уравнение будет параболично.
`u_{x x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
Хар. ур-е
`dy^2 - 2dxdy + dx^2 = 0`
`(dy - dx)^2 = 0`
`y = x + C` (кр. 2)
Дело в том, что если я делаю замену `\xi = \eta = y - x`, то я получу равенство `0 = 0` в конце. Поэтому я думаю, что замену надо наверное какую-то другую делать.

@темы: Уравнения мат. физики, Дифференциальные уравнения

18:35 

Привести к каноническому виду ДУ

IWannaBeTheVeryBest
Привести к каноническому виду ДУ в каждой из областей, где его тип сохраняется.
`sgn(y)u_{x\x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
`D/4 = 1 - 4sgn(y)`
Ну тут 3 случая
`sgn(y) = -1` здесь уравнение будет гиперболично.
`sgn(y) = 1` здесь уравнение будет эллиптично.
А что со случаем `sgn(y) = 0`? Ведь тогда у нас останется уравнение `2u_{xy} + u_{yy} = 0`. Или оно тоже будет гиперболично?
Если да, то можно приводить к каноническому виду не 3 раза, а 2. Просто в одном случае я буду писать `sgn(y)`, а в другом конкретно рассмотрю случай `sgn(y) = 1`

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

16:24 

Однородное волновое уравнение

kanoChan
Здравствуйте! Дано волновое уравнение `U_{t t}=a^2 U_{x x}` с однородными начальными условиями `U(x,0)=U_{t}(x,0)=0` и граничными условиями `U(0,t)=U_{x}(l,t)=Q/E`, где `Q/E` - это константа.
Верно ли, что сначала надо найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля при условиях `y(0)=0,y'(l)=Q/E`?

@темы: Уравнения мат. физики

15:37 

Уравнение в частных производных

DarthSidious
Тигр, Тигр, жгучий страх, Ты горишь в ночных лесах. Чей бессмертный взор, любя, Создал страшного тебя?
`U_(xi eta) + 3U_xi - U_eta + 2U = 0, U(xi, eta)`

@темы: Уравнения мат. физики

00:28 

Производная

DarthSidious
Тигр, Тигр, жгучий страх, Ты горишь в ночных лесах. Чей бессмертный взор, любя, Создал страшного тебя?
`(delta u)/(delta x) = (delta u)/(delta xi) (delta xi)/(delta x) + (delta u)/(delta eta) (delta eta)/(delta x) = (-cosx-1) (delta u)/(delta xi) + (-cosx+1) (delta u)/(delta eta)`
Тогда,
`(delta^2 u)/(delta x^2) = delta(((-cosx-1) (delta u)/(delta xi) + (-cosx+1) (delta u)/(delta eta)))/(delta x) = ...`
Далее у меня возник вопрос, как посчитать следующее,
`(-cosx-1) delta(((-cosx-1) (delta u)/(delta xi) + (-cosx+1) (delta u)/(delta eta)))/(delta xi)` ? (Это одно из слагаемых из производной выше)

Или на более просто примере,
читать дальше

@темы: Уравнения мат. физики, Математический анализ

22:10 

Задача на собственные значения

Здравствуйте! Посмотрите, пожалуйста, задачу на наличие ошибок. Вторую часть задачи пока не писала, т.к. с первой совсем не уверена

Решить задачу на собственные значения

`Delta R + lambda R = 0`

` r_1 < r < r_2`

`Delta = 1/r^2 (partial )/(partial r) r^2 (partial )/(partial r)`

`R' ( r_1 ) = R( r_2 ) =0`
и найти квадрат нормы собственных функций
читать дальше

@темы: Уравнения мат. физики

12:13 

Телеграфные уравнения

Здравствуйте! Помогите мне, пожалуйста, исправить ошибки в задаче, я плохо разбираюсь в этой теме.

Дана линия `0 < x < l` с параметрами R,C,G, (L=0), концы которой заземлены. Найти потенциал u(x,t) при `t>0`. если

`u(x,0)= {(u_0 , 0 < x < l/2 ),(-u_0 , l/2 < x < l.):}`

Мое решение

читать дальше

@темы: Уравнения мат. физики

17:23 

Lorem Solis
Добрый вечер. Тема такая: лин и нелин ур. физики
Лекций не было, методичек и учебников не посоветовали, в инете чет все не такое, как надо.
Помогите, пожалуйста :3

Вот, значит, первое уравнени:
Uxx-2*Uxy+Uyy+a*Ux+b*Uy+c*U=0
тут дискриминант равен нулю. получается в характеристическом уравнении один корень. а новых переменных надо две. то есть одну нахожу, все норм. а вторую откуда взять? я посмотрела в ответе. они взяли s=y. но как они это нашли?\

мое недоведенное до конца решение

А вот второе уравнение.
Uxx-2*cosx*Uxy-(3+sin^2x)*Uyy-y*Uy=0
Тут сами коэффициенты тоже зависят от перменных. я все делаю, как обычно, но вижу, что что-то идет не так. я явно не понимаю, как учитывать эту зависимость от переменных у коэффициентов. Подскажите, пожалуйста
читать дальше

@темы: Уравнения мат. физики

15:37 

Помогите решить пожалуйста

Решала задачу Дирихле для круга воспользовалась интегралом Пуассона, но теперь не знаю как его решить:

`int_0^{2*pi} ( -e^cos(x)*(1 - r^2))/(1 - 2*r*cos(y - x) + r^2) dx`

Я подумала что может попробовать через вычеты, но экспонента в степени косинус меня смущает, что с ней сделать? разложить в ряд?

@темы: Уравнения мат. физики

12:35 

Разностные схемы + конечный ряд Фурье

Ethera
I'll put a gun to your head and pull the fuckin' trigger. (c)
Всем доброго времени суток.
Я решаю одномерное уравнение теплопроводности в дискретном виде, и мне нужно (по заданию) использовать разложение в конечный ряд Фурье. (Не путать с методом Фурье, где используется разделение переменных). Выжав из гугла всё, что можно, обращаюсь к вам за кое-какими разъяснениями :)
По теме (в более-менее понятном виде) я нашла одну-единственную книжку. ССЫЛКА
Вместе покумекав с преподавателями, мы решили, что алгоритм следующий:
1) Взяв начальное распределение температуры, разложить его в конечный ряд Фурье и найти коэффициенты с[k] по формуле на стр.247(255) учебника по ссылке.
При этом начальное распределение у меня просто в виде набора значений в дискретных точках.
2) Зная коэффициенты, найти на каждом временном слое значение температуры по формуле 14 со стр.247.

Как и следовало ожидать, на выходе у меня какие-то бессвязные астрономические цифры.
Если изначально у меня температура всего стержня 20 градусов в каждой точке, а температура на его концах - 0 градусов в каждый момент времени, при этом коэф-т теплопроводности единица, то температура всего стержня должна уменьшаться до нуля. Но этого не происходит. Отсюда у меня несколько вопросов:

1) Не должна ли в алгоритме использоваться собственно разностная схема, представленная на стр. 246 (254) учебника по ссылке? Мы ищем u[m][p], но подставляем их на новые временные слои, не говоря о u[m][p+1], где u - значение температуры, p - индекс по времени, а m - индекс по координате.
2) Второй вопрос, наверное, вытекает из первого. Мне непонятно, как мы собираемся найти значения температуры, забив на температуру на концах стержня? Т.е. я на каждом шаге говорю что она равна нулю, но в формулах для соседних ячеек это никак не фигурирует.

Всем спасибо за внимание :mosk:

@темы: Численные методы, Уравнения мат. физики

19:19 

Уравнение теплопроводности в конечных разностях в цилиндрической СК на оси

Само уравнение теплопроводности имеет вид:
$ \frac{\partial T}{\partial t} = a\left \{\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial^{2} T}{\partial r^{2}} + \frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}}\right \}$

Решаю его методом конечных разностей численно в цилиндрической СК. С точками внутри цилиндра и на его границах все вроде понятно. Внутри, например, получается:
$T_{i+1,j,k} &=& a(T_{i,j,k}) \Delta t \left \{\frac{1}{jh} + \frac{T_{i,j+1,k} -T_{i,j,k}}{h} + \frac{T_{i,j-1,k} - 2T_{i,j,k} + T_{i,j+1,k}}{h^{2}} + \frac{T_{i,j,k+1} - 2T_{i,j,k} +T_{i,j,k-1}}{h^{2}}\right \}$

Но как быть с точками на оси, когда r=0, возникает неопределенность. Не знаю, как избавиться от неё (Т.е. как вывести формулу расчета, а она существует....). Текущий радиус 1/r ведь никуда не деть. Как быть?
Заранее спасибо.

@темы: Численные методы, Уравнения мат. физики

18:30 

Уравнение в частных производных

Дано уравнение:
`(partial u)/(partial t) - u (partial u)/(partial x) = 0`

С начальным условием:
`u_0 = {(0, x <= 0),(4x, 0 < x <= 0.25),(1, x > 0.25):}`

Помогите разобраться, с чего начать, и где можно посмотреть примеры похожих задач.

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная