• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: функциональный анализ (список заголовков)
10:30 

Функциональный анализ

Здравствуйте, помогите решить задачу по ФАНу.
1. Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными, и найти их нормы.
Оператор такой:
А: L_2[0,1] - L_2[0,1], Ax(t)=int_0^t x(tau)dtau
Проверьте мое решение))
читать дальше
Я попытался показать ограниченность, но кажется я начал выдумывать))
а вот как найти его норму, вообще не понимаю, видел определение, но без примера понять не получается
Объяснить пожалуйста простым языком или на примере)
СПАСИБО!)

@темы: Функциональный анализ

19:15 

Функциональный анализ

в Линейном пространстве многочленов, рассматриваемых на [a,b], положим
||x||=max|x(t)|
||x||=[int_a^b |x(t)|^2 dt]^(1/2)
будет ли какое либо из получивщихся пространст банаховым
Банаховым пространством называется полное линейное нормированное пространство
Нормированность есть, даны две нормы, аксиомы нормы в них выполняются
осталось доказать полноту?
спасибо за внимание)

@темы: Функциональный анализ

19:58 

Функциональный анализ

Всем привет, помогите с функциональным анализом. Такие вот задачи:
1) Будет ли замкнутым в пространстве С[a,b] множество многочленов степени: a) <=k ; б) =k
2) Доказать, что в пространстве C[a,b] множество функций x(t) таких, что для любого t in [a,b] выполняется неравенство |x(t)|<1, является открытым
честно я вообще не понимаю, с чего начать, как делать.
помогите пожалуйста:)
спасибо за внимание)

@темы: Функциональный анализ

11:46 

Функциональный анализ

Всем привет!!! Задачи по ФАНу
Задачник Треногин, Писаревский, Соболева
Задачи 1.22 пункт к), 1.23 пункт г), 6.2

В задача 6.2 надо проверить аксиомы метрики, правильно ли я сделал первый и вторую аксиомы? Как доказать третью аксиому не могу понять))

6.2. Пусть r(x,y) - метрика на множестве Х. Доказать что функция r_1(x,y)=r(x,y)/(1+r(x,y)) также являются метрикой, здесь у меня r это буква ро



В 1.22 и 1.23 надо проверить аксиомы нормы,правильно ли я доказываю? и такой вопрос " что означает сходимость последовательности в случае моего пространства?"

1.22. Убедится в том, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?
Пункт к) Пространство с сходящихся последовательностей х=(х_1,х_2,...) (х_к принадлежит R или х_к принадлежит С) с нормой ||х||=sup|x_k|

1.23. Убедится в том, что в следующих случаях выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно. Что означает сходимость последовательности в каждом из перечисленных ниже пространств?
Пункт г) Пространство К непрерывных на вещественной прямой финитных функций(равных нулю вне некоторого интервала, своего для каждой функции) с нормой ||х||=max|x(t)|



СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!))

@темы: Функциональный анализ

20:41 

Построить резольвенту Фредгольма

IWannaBeTheVeryBest
Для заданного ядра `K(s,t)` интегрального оператора, заданного на отрезке `[a, b]` построить резольвенту Фредгольма как для вырожденного ядра.
В примере дано
`K(s,t) = s - t;` `a = 0;` `b = 1;`
Рассматривается интегральное уравнение
`f - Mf = h`, где
`(Mf)(s) = \lambda * int_{a}^{b}K(s,t)*f(t)dt`
Уравнение переписывается в виде
`f(s) = h(s) + \lambda*int_{0}^{1}(s-t)f(t)dt = h(s) + \lambda*s * int_{0}^{1} f(t) dt - \lambda * int_{0}^{1} t*f(t)dt`
Вводится обозначение
`c_{1} = int_{0}^{1} f(t) dt;` `c_{2} = int_{0}^{1}t*f(t) dt` (1)
Отсюда
`f(s) = h(s) + \lambda*sc_1 - \lambdac_2` (2)
Вот дальше написана фраза и выполнены действия, которых я вообще не понял.
Подставим ВЫРАЖЕНИЕ (2) в равенства (1). Получим систему уравнений для `c_1` и `c_2`
`(1 - 1/2\lambda)c_1 + \lambda*c_2 = int_{0}^{1} h(t) dt`
`-1/3\lambda*c_1 + (1 + 1/2\lambda)*c_2 = int_{0}^{1} t * h(t) dt`
Каким образом? Что это за "ловкость рук"? Вообще не понял, что произошло. Куда s делось? Почему (2) - это выражение? Где `f(s)`?

@темы: Функциональный анализ

22:38 

Задачи по функциональному анализу

Задача 1.
Пусть M - такое подмножество в полном метрическом пространстве X, что любая вещественнозначная непрерывная и ограниченная на М функция достигает своей точной верхней и точной нижней грани. Доказать, что М - компакт.
Соображения:




Задача 2.
Пусть `A_n in B(L_2[0,1]), A_n = A^n, (Ax)(t) = int_0^t K(t,s) x(s)ds, x in L_2 ( [0,1] ), K in L_2 ([0,1]^2)`, где `B(L_2[0,1])` - множество всех линейных непрерывных операторов на указанном пространстве. Нужно доказать, что оператор сильно сходится к нулю (т.е. доказать, что `||A_n x - 0|| -> 0, n-> oo forall x in L_2[0,1]`), и показать, что не сходится равномерно к нулю (т.е., что `||A_n||`не стремится к нулю при `n-> oo`).
Соображения:




Задача 3.
Пусть `x in L_2[0,2 pi]`. `(Ax)(t) = 1/(2*pi) int_0^(2*pi) x(s) ctg((t-s)/2)ds`. Доказать, что A является частичной изометрией (т.е. `L_2[0,2 pi]` распадается в прямую сумму `Ker A oplus B` и `A: quad B -> I mA` - изометрический изоморфизм).
Соображения:




Задача 4.
Нужно найти спектр оператора (с классификацией (точечный, непрерывный и остаточный спектры)) `(Ax)(t) = -x(-t)` в `C[-1,1]`.
Соображения:

В общем, вопросов много, и, думаю, они совсем не простые, но всё же надеюсь на какие-нибудь советы.

@темы: Функциональный анализ

15:07 

Норма пространства

IWannaBeTheVeryBest
Можно ли ввести норму следующим образом
`X = C[a, b],` `\left \|| x \right \||`` = |max_{t \in [a, b]} x(t)|`
Одна из аксиом нормы
`\forall x \in X : ``\left \|| x \right \||` `>= 0, \left \|| x \right \|| = 0 <=> x = 0`
Я думаю, что нельзя. Ну например `x(t) = sin(t) - 1,` `t \in [0; pi]`
`x \neq 0`, однако норма = 0.
Это верно? Просто вроде как другие аксиомы нормы тут будут выполнены в силу аксиом модуля и поэтому к другим аксиомам не прицепится.

@темы: Линейная алгебра, Функциональный анализ

15:00 

Задача по функциональному анализу

Пусть `x in C[0,1]`. На подпространстве (линейной оболочке) `span{x} subset C[0,1]` определим линейный функционал по формуле `f(lambda*x) = lambda*x(t_0) , t_0 in [0,1]`.
Нужно доказать, что продолжение по Хану-Банаху единственно тогда и только тогда, когда `{t in [0,1] : |x(t)| = ||x||} = {t_0}`.
Доказательство

@темы: Функциональный анализ

20:29 

Найти норму функционала

Здравствуйте!
Есть задание:
Найти норму линейного функционала `f(x) = int_0^1x(t)*(t^3-1)dt` в `L_(1:[0;1])`.
В `L_1` норма задана следующим образом `||x||_(L_1_[a:b]) = int_a^b|x(t)|dt`
На практике говорили делать следующим образом:
1) `|f(x)| = |int_0^1x(t)*(t^3-1)dt| <= int_0^1|x(t)*(t^3-1)|dt <= max_(t in [0;1]){|t^3-1|} * int_0^1|x(t)|dt = 1*||x||`
И тогда `||f|| <= 1`
2) Возьмем `x_0 = 0`, тогда `f(x_0) = int_0^1(0*(t^3-1))dt = int_0^1dt = 1`
Тогда `||f|| >= 1`
Используя результаты первого и второго пунктов, заключаем, что `||f|| = 1`

Конкретно не понятен второй пункт. Подскажите, пожалуйста, что за волшебство-то такое?

@темы: Функциональный анализ

22:26 

Доказательство свойства компактных операторов

kanoChan
Здравствуйте!

Существует следующее свойство компактных (вполне непрерывных операторов): Если А и В - вполне непрерывны то А+В - тоже вполне непрерывен;

Поиск доказательства этого свойства в различных учебных пособиях не увенчался успехом. Подскажите, может в каком-либо учебнике все-таки доказательство этого факта есть. В противном случае,можете подсказать как можно доказать это свойство?

@темы: Функциональный анализ

21:24 

Задача на оператор

Дана формула: (Ax)(t) = x(0), причём A: L[0,1] -> L[0,1]
Определить, задаёт ли формула оператор

@темы: Функциональный анализ

13:35 

Норма в общем виде

kanoChan
Дано: `f: R^n -> R, f(x)=alpha_1x_1+alpha_2x_2+...+alpha_nx_n`;
`||x||=sum_{i=1}^{n} |x_i|`. Найти `||f||`.

Решение

@темы: Функциональный анализ

19:29 

Найти норму

kanoChan
Дано: `f: R^3 -> R, f(x)=4x_1-3x_2+x_3`;
`||x||` - евклидова. Найти `||f||`.

Решение:
1) Пусть `A` - линейный ограниченный оператор, `A: X->Y`. Норма оператора A `||A||` - это наименьшая константа `c`, для которой выполняется ` \exists c>0 \forall x in X ||Ax||_{y} <= c*||x||_{x}`;
2) `f`-линейный функционал, это очевидно и легко показать;
3) Докажем, что `f` - ограниченный, то есть `\exists c>0 \forall x in R^3 |f(x)|<=c*||x||`;
4) Пусть `x in R^3`.
Так как норма евклидова, то `||x||=sqrt(sum_{k=1}^{n} (x_k)^2 )`, таким образом мы должны прийти к тому, что `|f(x)|<=c*sqrt(sum_{k=1}^{3} (x_k)^2 ) = c* sqrt(x_1^2 + x_2^2 +x_3^2 )`;
Рассмотрим `|f(x)|=|4x_1-3x_2+x_3|<=4|x_1|+3|x_2|+|x_3|<=4(|x_1|+|x_2|+|x_3|) = 4*sum_{k=1}^{3} |x_k| `...
А вот с дальнейшей оценкой туговато... как можно прийти в итоге к `|f(x)| <= c* ||x||` ?

@темы: Функциональный анализ

18:58 

Привести примеры операторов

kanoChan
Привести примеры операторов в заданных пространствах:
`1) C[0,2) -> C[0,2]`
`2) m -> C[0, infty)`, где `m`-пространство ограниченных последовательностей

В первом, подозреваю, что будет интеграл с пределами от 0 до 2 от какой то функции + еще что-нибудь
А по второму ничего не могу сказать...

Подскажите, пожалуйста, как действовать в таких заданиях?

@темы: Функциональный анализ

13:07 

Задает ли формула оператор?

kanoChan
Дано: `y(t)=(Ax)(t)=1/(x(t)), A:C[0,1] -> C[0,1]`. Задает ли данная формула оператор?

Ход решения:
1) `C[0,1]` - пространство непрерывных функций на отрезке `[0,1]`;
2) Оператор - это отображение, которое каждому элементу одного множества ставит в соответствие определенный элемент из другого множества.
Так как `C[0,1]` - пространство непрерывных функций, то элементами являются непрерывные функции.
3) Проверим, что формула ставит в соответствие непрерывной функции непрерывную функцию

4) Пусть `x_1(t) \in C[0,1]`. Тогда надо проверить определение:

`forall t_0 in[0;1] \ forall epsilon > 0 \ exists \ delta > 0 \ : \ forall \ 0 < |t - t_0| < delta \ => |1/(x_1(t))-1/(x_1(t_0))| < epsilon`
Теперь нужно рассмотреть разность и оценить ее... Подскажите, пожалуйста, как дальше...

@темы: Функциональный анализ

14:28 

Проверить, задает ли формула оператор?

kanoChan
Дана формула `A=\int_{0}^{1} e^{t\tau }x(\tau )d\tau`, `A:C[0,1]\rightarrow C[0,1]`. необходимо проверить, задает ли она оператор? Решаю следующим образом:
Пусть `x1(t)=t`, получаю уравнение `\int_{0}^{1}e^{t\tau }\tau d\tau` и вычисляю его по частям. В ответе получаю `\frac{e^{t}(t-1)+1}{t^{2}}`. Что дальше с этим делать ума не приложу (

@темы: Функциональный анализ

12:15 

Доказать, что оператор является сжимающим

kanoChan
Дано: `X=[0,1], rho(x,y)=|x-y|` - полное метрическое пространство.
Оператор `f: [0,1] -> [0,1]`, является непрерывным оператором и `f(t), 0<=t<=1, |f'(t)|<1` для всякого `t`. Доказать, что `f` - сжимаюший оператор.

Оператор `f:X ->X` называется сжимающим, если `EE 0< alpha < 1 AA x_1,x_2 in X rho(fx_1,fx_2)<= alpha rho(x_1, x_2)`
Надо проверить выполнение неравенства `rho(fx_1,fx_2)<= alpha rho(x_1, x_2)`;
`rho(fx_1,fx_2)=|f(t)x_1-f(t)x_2|=|f(t)(x_1-x_2)|<|f'(t)||x_1-x_2|`, а `|f'(t)|<= alpha`, следовательно `|f(t)x_1-f(t)x_2| <= alpha |x_1-x_2|= alpha rho(x_1,x_2)`, следовательно `f` является сжимающим оператором.

Подскажите пожалуйста, ничего не нарушено при переходе к неравенству с производной?

@темы: Функциональный анализ

11:18 

Является ли полным пространство

kanoChan
Всем здравствуйте!

Является ли полным пространство `C[0,1] \\ {sint}`.

Пространство `C[0,1]` - это пространство всех непрерывных функций на отрезке `[0,1]`, очевидно, что оно является полным.
`sint` - непрерывная функция на `[0,1]`, следовательно пространство `C[0,1]` без непрерывной функции `sint` будет являться неполным.

Рассуждения верны?

@темы: Функциональный анализ

18:42 

Является ли полным метрическое пространство

kanoChan
Является ли полным метрическое пространство `(X, rho)`, где `X=(0,1)` принадлежит `R`, где `R` - полное метрическое пространство, относительно метрики `rho(x, y) = |x-y|`.

Пространство` (X, rho)` называется полным, если всякая его фундаментальная последовательность сходится.
Пусть `{x_n(t)}` - произвольная фундаментальная последовательность из `X`. Покажем, что она сходится.

Так как `{x_n(t)}` фундаментальная, то по определению фундаментальной последовательности `rho(x_n(t), x_m(t)) -> 0`, при `m,n -> oo` для всех `t` из `(0,1)`.
Значит, `|x_n(t)-x_m(t)| -> 0`, при `m,n -> oo`. Устремим `m` к бесконечности, получим` |x_n(t)-x(t)| -> 0` для любого `t` из `(0,1)`, из чего следует, что
последовательность`{x_n(t)}` сходится к `x(t)`, следовательно метрическое пространство `(X, rho)` является полным.

Проверьте, пожалуйста, ход решения

@темы: Функциональный анализ

19:59 

Доказать, l1 лежит в l2 или l2 в l1

kanoChan
Доказать, l1 лежит в l2 или l2 в l1, где l1 - пространство суммируемых последовательностей, а l2 - пространство квадратично-суммируемых последовательностей.

Решение начал так, записал определение пространства суммируемых последовательностей, это ряд |x_n| сходится
Затем записал определение пространства квадратично-суммируемых последовательностей, это ряд (x_n)^2 сходится
Далее, думаю, надо записать условие того, что одна последовательность лежит в другой, и с этим уже возникают трудности.

Подскажите как можно продолжить решение, или может идти по другому пути?

@темы: Функциональный анализ

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная